Hola Luis.
Adjunto varias proposiciones y un corolario basados en resultados y conclusiones previas. En el corolario me parece que se produce una contradicción en una igualdad donde uno de los términos no tiene la misma multiplicidad que el resto.
Son muchas cuentas y seguro que me he comido multiplicar por \( 3 \) en algún momento. Tanto en los papeles como en la transcripción aquí en este hilo del foro no veo donde está el error.
Prop8El último resultado \( s^2=4p_2^3-3^3C^2 \) lo podemos escribir como \( (q-r)^2=4p_2^3-3^3C^2 \) (lo mismo que \( s^2=(q-r)^2 \))
Prueba.
De la solución que teníamos a la ec. de segundo grado
\( r^2+(3^{\frac{m-2}{3}}p_1P_2)r+(P_2^3-3^2p_2^3)=0\Rightarrow{} \)
\( r=\dfrac{-(3^{\frac{m-2}{3}}p_1P_2)+\sqrt{(3^{\frac{m-2}{3}}p_1P_2)^2-4(P_2^3-3^2p_2^3)}}{2} \)
Entonces podemos ver si lo de dentro de la raiz puede ser un cuadrado \( s^2 \) con \( s\in{\mathbb{Z}} \)
\( s^2=(3^{\frac{m-2}{3}}p_1P_2)^2-4(P_2^3-3^2p_2^3) \)
Como \( (3^{\frac{m-2}{3}}p_1P_2)=-(q+r) \)
Hola Luis.
Voy a volver unas páginas más atrás:
. . .
Habiamos tomado \( 3^{\frac{m-2}{3}}P=-(q+r) \) que con la notación de la prop4 quedaría
\( 3^{\frac{m-2}{3}}p_1P_2=-(q+r) \)
y también de la prop4 tenemos
\( P_2^3-3^2p_2^3=qr \)
Podemos plantear el siguiente sistema de dos ecuaciones con \( q \) y \( r \) como incógnitas
\( \left\{
\begin{array}{c}
-(q+r)&=&3^{\frac{m-2}{3}}p_1P_2 \\
qr&=&P_2^3-3^2p_2^3
\end{array}
\right. \)
\( r=\dfrac{(q+r)\pm{}\sqrt{(3^{\frac{m-2}{3}}p_1P_2)^2-4(P_2^3-3^2p_2^3)}}{2} \)
se tiene que dar
\( r=\dfrac{(q+r)\pm{}\sqrt{(q-r)^2}}{2} \)
Como teníamos
Entonces podemos ver si lo de dentro de la raiz puede ser un cuadrado \( s^2 \) con \( s\in{\mathbb{Z}} \)
\( s^2=(3^{\frac{m-2}{3}}p_1P_2)^2-4(P_2^3-3^2p_2^3)= \)
\( =3^{\frac{2m-4}{3}}p_1^2P_2^2-4P_2^3+4\cdot3^2p_2^3 \) (I)
por lo que
\( s^2=4p_2^3-3^3C^2 \Rightarrow{} \)
\( s^2=(q-r)^2=4p_2^3-3^3C^2 \)
\( \blacksquare \)
Prop9\( -4qr=(q-r)^2-(3^{\frac{m-2}{3}}p_1(3^\frac{2m-7}{3}p_1^2-2p_2))^2 \)
Prueba.
Como
\( -4qr=(q-r)^2-(q+r)^2 \) (I)
y teníamos
. . .
Podemos plantear el siguiente sistema de dos ecuaciones con \( q \) y \( r \) como incógnitas
\( \left\{
\begin{array}{c}
-(q+r)&=&3^{\frac{m-2}{3}}p_1P_2 \\
qr&=&P_2^3-3^2p_2^3
\end{array}
\right. \)
\( -(q+r)=3^{\frac{m-2}{3}}p_1P_2\Rightarrow{} \)
\( (q+r)=-3^{\frac{m-2}{3}}p_1P_2\Rightarrow{} \)
\( (q+r)^2=(3^{\frac{m-2}{3}}p_1P_2)^2 \) (II)
Utilizamos el valor de \( P_2 \) que teníamos en
Ahora sustituyendo en el lado izquierdo de la igualdad de la prop1, los valores de \( P2 \), \( p2 \) y \( a \) previos
\( \dfrac{P-2p}{3^\frac{2m-7}{3}}=a \)
nos queda
\( \dfrac{P_2p_1-2p_2p_1}{3^\frac{2m-7}{3}}=p_1^3 \)
\( P_2-2p_2=3^\frac{2m-7}{3}p_1^2\Rightarrow{} \)
\( P_2-2p_2-3^\frac{2m-7}{3}p_1^2=0 \)
\( P_2=3^\frac{2m-7}{3}p_1^2\color{red}-2p_2\color{black} \) -> Error de signo
\( P_2=3^\frac{2m-7}{3}p_1^2+2p_2 \) -> CORREGIDO
sustituyendo en (II)
\( (q+r)^2=(3^{\frac{m-2}{3}}p_1P_2)^2\Rightarrow{} \)
\( (q+r)^2=(3^{\frac{m-2}{3}}p_1(3^\frac{2m-7}{3}p_1^2\color{red}-2p_2\color{black}))^2 \) -> Error de signo
\( (q+r)^2=(3^{\frac{m-2}{3}}p_1(3^\frac{2m-7}{3}p_1^2+2p_2))^2 \) -> CORREGIDO
Sustituyendo en (I)
\( -4qr=(q-r)^2-(3^{\frac{m-2}{3}}p_1(3^\frac{2m-7}{3}p_1^2\color{red}-2p_2\color{black}))^2 \) -> Error de signo
\( -4qr=(q-r)^2-(3^{\frac{m-2}{3}}p_1(3^\frac{2m-7}{3}p_1^2+2p_2))^2 \) -> CORREGIDO
\( \blacksquare \)
Prop10\( -4qr=-4J+4p_2^3 \)
con \( J=(3^Mp_1^2)^3+3\cdot(3^Mp_1^2)^2\cdot2p_2+3\cdot(3^Mp_1^2)\cdot(2p_2)^2 \)
y
\( M=\frac{2m-7}{3} \)
Prueba.
Teníamos
. . .
Podemos plantear el siguiente sistema de dos ecuaciones con \( q \) y \( r \) como incógnitas
\( \left\{
\begin{array}{c}
-(q+r)&=&3^{\frac{m-2}{3}}p_1P_2 \\
qr&=&P_2^3-3^2p_2^3
\end{array}
\right. \)
\( qr=P_2^3-3^2p_2^3\Rightarrow{} \)
\( -4qr=4P_2^3-4\cdot3^2p_2^3 \) donde sustituimos el valor de \( \color{red}P_2=3^\frac{2m-7}{3}p_1^2+2p_2\color{black} \) ->
Marco en rojo desde aquí el cambio con la corrección sin mantener el valor original o erroneo. No afectaba a los resultados \( -4qr=4(\color{red}3^\frac{2m-7}{3}p_1^2+2p_2\color{black})^3-4\cdot3^2p_2^3 \)
si llamo \( M=\frac{2m-7}{3} \)
\( -4qr=-4(\color{red}3^Mp_1^2+2p_2\color{black})^3+4\cdot3^2p_2^3 \)
y hacemos el desarrollo
\( -4qr=-4\left[(3^Mp_1^2)^3+3\cdot(3^Mp_1^2)^2\cdot2p_2+3\cdot(3^Mp_1^2)\cdot(2p_2)^2+(2p_2)^3\right]+4\cdot3^2p_2^3\Rightarrow{} \)
\( -4qr=-4\left[(3^Mp_1^2)^3+3\cdot(3^Mp_1^2)^2\cdot2p_2+3\cdot(3^Mp_1^2)\cdot(2p_2)^2\right]-4\cdot(2p_2)^3+4\cdot3^2p_2^3\Rightarrow{} \)
\( -4qr=-4\left[(3^Mp_1^2)^3+3\cdot(3^Mp_1^2)^2\cdot2p_2+3\cdot(3^Mp_1^2)\cdot(2p_2)^2\right]+4p_2^3\Rightarrow{} \)
Entonces
\( -4qr=-4J+4p_2^3 \)
con \( J=(3^Mp_1^2)^3+3\cdot(3^Mp_1^2)^2\cdot2p_2+3\cdot(3^Mp_1^2)\cdot(2p_2)^2 \)
\( \blacksquare \)
Prop11\( 4J-(3^{\frac{m-2}{3}}p_1(\color{red}3^\frac{2m-7}{3}p_1^2+2p_2\color{black}))^2=3^3C^2 \)
con \( J=(3^Mp_1^2)^3+3\cdot(3^Mp_1^2)^2\cdot2p_2+3\cdot(3^Mp_1^2)\cdot(2p_2)^2 \)
\( M=\frac{2m-7}{3} \)
y
\( C=(3^{\frac{m-5}{3}}p_1)(2p_2+3^{\frac{2m-10}{3}}p_1^2) \)
Prueba.
De la Prop9
\( -4qr=(q-r)^2-(3^{\frac{m-2}{3}}p_1(\color{red}3^\frac{2m-7}{3}p_1^2+2p_2\color{black}))^2 \)
De la Prop10
\( -4qr=-4J+4p_2^3 \)
Igualando los valores de \( -4qr \)
\( (q-r)^2-(3^{\frac{m-2}{3}}p_1(\color{red}3^\frac{2m-7}{3}p_1^2+2p_2\color{black}))^2=-4J+4p_2^3\Rightarrow{} \)
\( 4J-(3^{\frac{m-2}{3}}p_1(3^\frac{2m-7}{3}p_1^2+2p_2))^2=4p_2^3-(q-r)^2 \) (III)
De la Prop8
\( (q-r)^2=4p_2^3-3^3C^2\Rightarrow{} \)
\( 3^3C^2=4p_2^3-(q-r)^2 \) (IV)
y \( s^2=(q-r)^2 \)
De
Si llamo \( C=(3^{\frac{m-5}{3}}p_1)(2p_2+3^{\frac{2m-10}{3}}p_1^2) \)
entonces
\( s^2=4p_2^3-3^3C^2 \)
tenemos el valor de \( C \)
Sustituyendo (IV) en (III)
\( 4J-(3^{\frac{m-2}{3}}p_1(\color{red}3^\frac{2m-7}{3}p_1^2+2p_2\color{black}))^2=3^3C^2 \)
\( \blacksquare \)
CorolarioEn
\( 4J-(3^{\frac{m-2}{3}}p_1(\color{red}3^\frac{2m-7}{3}p_1^2+2p_2\color{black}))^2=3^3C^2 \)
los términos de la parte izquierda de la igualdad son múltiplos de \( 3^{\frac{2m-4}{3}} \) y el de la derecha \( 3^3C^2 \) es múltiplo de \( 3^{\frac{2m-1}{3}} \)
luego la igualdad anterior no puede darse para números enteros.
Prueba
1)
El valor de \( J \) que teníamos en la Prop10
\( J=(3^Mp_1^2)^3+3\cdot(3^Mp_1^2)^2\cdot2p_2+3\cdot(3^Mp_1^2)\cdot(2p_2)^2 \)
la potencia mínima de \( 3 \) es la del término
\( 3\cdot3^M \)
como \( M=\frac{2m-7}{3} \)
entonces
\( 3\cdot3^M=3^{1+\frac{2m-7}{3}}=3^{\frac{2m-4}{3}} \)
2)
El segundo término \( (3^{\frac{m-2}{3}}p_1(\color{red}3^\frac{2m-7}{3}p_1^2+2p_2\color{black}))^2 \)
es múltiplo de \( (3^{\frac{m-2}{3}})^2=3^{\frac{2m-4}{3}} \)
3)
Como \( C=(3^{\frac{m-5}{3}}p_1)(2p_2+3^{\frac{2m-10}{3}}p_1^2) \)
entonces
\( 3^3C^2=3^3\cdot(3^{\frac{m-5}{3}}p_1)^2(2p_2+3^{\frac{2m-10}{3}}p_1^2)^2 \)
luego
\( 3^3C^2 \) es múltiplo de \( 3^3\cdot(3^{\frac{m-5}{3}})^2=3^{3+\frac{2m-10}{3}}=3^{\frac{2m-1}{3}} \)
\( \blacksquare \)
No encuentro el error o donde he podido perder el \( 3 \) que debería multiplicar a \( 3^3C^2 \) para que todos los términos de \( 4J-(3^{\frac{m-2}{3}}p_1(\color{red}3^\frac{2m-7}{3}p_1^2+2p_2\color{black}))^2=3^3C^2 \) sean múltiplos de \( 3^{\frac{2m-4}{3}} \)
Muchas gracias!
Saludos
