[aureodd]

Hola Luis.
Otra proposición:

Prop 6 Si \( (q+r) \) es múltiplo de \( 3 \), el único posible divisor común de \( (q+r) \) y \( (q^2-qr+r^2) \) es \( 3 \)

Prueba:
Supongamos \( q+r=3a\Rightarrow{q=3a-r} \). Sustituyendo en  \( (q^2-qr+r^2) \)
\( (3a-r)^2-(3a-r)r+r^2=3^2a^2-2.3ar+r^2-3ar+r^2+r^2=3^2a^2-3^2ar+3r^2 \)
entonces como \( q \), \( r \) son coprimos también lo son con \( a=q+r \)
y
\( (q^2-qr+r^2)=3^2a^2-3^2ar+3r^2 \) es coprimo con a, pero sí es múltiplo de \( 3 \)

¿Es correcto?
Muchas gracias!
Saludos

[aureodd]

Hola Luis. Si las proposiciones 5 y 6 anteriores están bien y no hay ninguna "columna" en las cuentas, me aventuro con el siguiente corolario/conclusión 

... aunque cuando son cuentas aisladas digamos sin ninguna conclusión concreta, me cuesta más fijarme en los detalles. Pero es psicología personal. 

Saludos.

Corolario
Si \( qr \) lo podemos poner como diferencia de cuadrados, \( (q+r)=-3^{\frac{m-2}{3}}p_1P_2 \) y \( qr=P_2^3-3^2p_2^3 \) entonces \( q^2-qr+r^2 \) es múltiplo de \( P_2 \) contradiciendo la prop6.
Prueba:

De la prop5, si ambos \( q \) y \( r  \) son impares podemos escribir \( qr \) como diferencia de cuadrados.
\( qr=\left(\dfrac{q+r}{2}\right)^2-\left(\dfrac{q-r}{2}\right)^2 \) (I)

Como \( (q+r)=-3^{\frac{m-2}{3}}p_1P_2 \)
y
\( qr=P_2^3-3^2p_2^3 \)

Sustituyendo en (I)

\( P_2^3-3^2p_2^3=\left(\dfrac{-3^{\frac{m-2}{3}}p_1P_2}{2}\right)^2-\left(\dfrac{q-r}{2}\right)^2 \)
entonces

\( P_2^3+\left(q-r\right)^2\equiv 0 \pmod{3} \)
y
\( 3^2p_2^3-\left(q-r\right)^2\equiv 0 \pmod{P_2} \)

y existen \( K_1 \) y \( K_2 \) de modo que
\( P_2^3+\left(q-r\right)^2=3K_1 \)
y
\( 3^2p_2^3-\left(q-r\right)^2=P_2K_2 \)

entonces

(*) \( \left\{ \begin{array}{c} (q-r)^2&=&3K_1-P_2^3\\ (q-r)^2&=&-P_2K_2+3^2p_2^3 \end{array} \right. \)

por lo tanto
\( 3K_1-P_2^3=-P_2K_2+3^2p_2^3 \) (II)
lo mismo que
\( 3(K_1-3p_2^3)=P_2(-K_2+P_2^2) \) (III)

Además podemos elegir \( k_1 \) y \( k_2 \), soluciones particulares, para que
\( k_1-3p_2^3=P_2 \)
\( -k_2+P_2^2=3 \)

entonces
\( k_1=3p_2^3+P_2 \)
\( -k_2=3-P_2^2 \)

Todas las soluciones de (III) tienen que ser entonces de esta forma:

\( 3(\underbrace{P_2k_3+k_1}_{K_1}-3p_2^3)=P_2(\underbrace{3k_4-k_2}_{-K_2}+P_2^2) \) (IV)

para \( k_3 \) y \( k_4 \) enteros.

Como \( k_1  \)y \( k_2 \) son soluciones particulares de (II) tenemos que 
\( 3k_1-3^2p_2^3=-P_2k_2+P_2^3 \)

luego en (IV) se da que \( k_3=k_4 \), las renombro por \( k \) en (IV)

\( 3(\underbrace{P_2k+k_1}_{K_1}-3p_2^3)=P_2(\underbrace{3k-k_2}_{-K_2}+P_2^2) \)

Tenemos entonces
\( K_1=P_2k+k_1 \)
\( -K_2=3k-k_2 \)

sustituyendo en (*)

\( \left\{ \begin{array}{c} (q-r)^2&=&3(P_2k+k_1)-P_2^3\\ (q-r)^2&=&3^2p_2^3+P_2(3k-k_2) \end{array} \right. \)
Estas dos ecuaciones son equivalentes, tomando la primera
\( (q-r)^2=3(P_2k+k_1)-P_2^3 \)
y sustituyendo el valor que teníamos de \( k_1=3p_2^3+P_2 \)

\( (q-r)^2=3(P_2k+3p_2^3+P_2)-P_2^3\Rightarrow{} \)

\( (q-r)^2=3P_2k+3^2p_2^3+3P_2-P_2^3\Rightarrow{} \)
\( (q-r)^2=3P_2(k+1)+3^2p_2^3-P_2^3 \)

como \( 3^2p_2^3-P_2^3=-qr \)
\( (q-r)^2=3P_2(k+1)-qr\Rightarrow{} \)
\( q^2-2qr+r^2=3P_2(k+1)-qr\Rightarrow{} \)

\( q^2-qr+r^2=3P_2(k+1) \)
pero teníamos que
\( (q+r)=-3^{\frac{m-2}{3}}p_1P_2 \)
luego \( q^2-qr+r^2 \) y \( q+r \) tienen a \( P_2 \) como factor común contradiciendo la prop6.

¿Es correcto?
Muchas gracias!
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

\( q=\dfrac{(q+r) +\sqrt{(q-r)^2}}{2} \)
y lo mismo para \( r \)

\( r=\dfrac{(q+r) -\sqrt{(q-r)^2}}{2} \)

Si uno de ellos, \( q \) o \( r \), es par, entonces el otro también lo sería y eso contradice que sean coprimos. Luego ambos tienen que ser impares.

Pero esas igualdades son ciertas para cualquier par de números \( q\geq r \). Para llegar a eso no te hace falta todo lo anterior. Y no veo porque de ahí se deduce que son impares los dos:

\( 3=\dfrac{(3+2)+\sqrt{(3-2)^2}}{2} \)

\( 2=\dfrac{(3+2)-\sqrt{(3-2)^2}}{2} \)

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Prop 6 Si \( (q+r) \) es múltiplo de \( 3 \), el único posible divisor común de \( (q+r) \) y \( (q^2-qr+r^2) \) es \( 3 \)

Prueba:
Supongamos \( q+r=3a\Rightarrow{q=3a-r} \). Sustituyendo en  \( (q^2-qr+r^2) \)
\( (3a-r)^2-(3a-r)r+r^2=3^2a^2-2.3ar+r^2-3ar+r^2+r^2=3^2a^2-3^2ar+3r^2 \)
entonces como \( q \), \( r \) son coprimos también lo son con \( a=q+r \)
y
\( (q^2-qr+r^2)=3^2a^2-3^2ar+3r^2 \) es coprimo con a, pero sí es múltiplo de \( 3 \)

Está bien. Usando que \( mcd(a,b)=mcd(a,kb) \):

\( mcd(q+r,q^2-qr+r^2)=mcd(q+r,q^2-qr+r^2-(q+r)^2)=mcd(q+r,-3qr)=mcd(q+r,3qr) \)

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

De la prop5, si ambos \( q \) y \( r  \) son impares

En principio la proposición 5 no está bien. No veo porqué han de ser ambos impares.

\( P_2^3-3^2p_2^3=\left(\dfrac{-3^{\frac{m-2}{3}}p_1P_2}{2}\right)^2-\left(\dfrac{q-r}{2}\right)^2 \)  (*)
entonces

\( P_2^3+\left(q-r\right)^2\equiv 0 \pmod{3} \)
y
\( 3^2p_2^3-\left(q-r\right)^2\equiv 0 \pmod{P_2} \)

No veo porqué se tiene la igualdad en rojo. De (*) quitando denominadores y trabajando módulo \( P_2 \). Sería:

\( 6^2p_2^3-(q-r)^2\equiv 0\pmod P_2 \)

A partir de ahí debes de revisar todo lo demás.

Ahora una observación importante. Tu partes de:

\( (q+r)=-3^{\frac{m-2}{3}}p_1P_2 \)
\( qr=P_2^3-3^2p_2^3 \)

A partir de ahí todo lo que usas son IDENTIDADES, es decir, en el fondo reescrituras de esas mismas ecuaciones. No usas NADA EXTERNO a eso. Son válidas además tanto para enteros como para reales. Tu pretendes llegar a que \( q^2-qr+r^2 \) es múltiplo de \( P_2 \). Pero:

\( q^2-qr+r^2=(q+r)^2-3\color{red}qr\color{black} \)

Si llegases a que  \( q^2-qr+r^2 \) es múltiplo de \( P_2 \) entonces también debería de serlo \( qr \) y no lo es. Entonces seguro que si ningún argumento extra, con puras manipulaciones algebraicas como las que haces, no vas a poder llegar a esa conclusión.

Saludos.

CORREGIDO

[aureodd]

Hola Luis.

Hola

De la prop5, si ambos \( q \) y \( r  \) son impares

En principio la proposición 5 no está bien. No veo porqué han de ser ambos impares.

Sí, con lo argumentado no se ve que sean impares. Me lié con la división por \( 2 \).   

\( P_2^3-3^2p_2^3=\left(\dfrac{-3^{\frac{m-2}{3}}p_1P_2}{2}\right)^2-\left(\dfrac{q-r}{2}\right)^2 \)  (*)
entonces

\( P_2^3+\left(q-r\right)^2\equiv 0 \pmod{3} \)
y
\( 3^2p_2^3-\left(q-r\right)^2\equiv 0 \pmod{P_2} \)

No veo porqué se tiene la igualdad en rojo. De (*) quitando denominadores y trabajando módulo \( P_2 \). Sería:

\( 6^2p_2^3-(q-r)^2\equiv 0\pmod P_2 \)

De acuerdo. También se me escapó 

A partir de ahí debes de revisar todo lo demás.

Ahora una observación importante. Tu partes de:

\( (q+r)=-3^{\frac{m-2}{3}}p_1P_2 \)
\( qr=P_2^3-3^2p_2^3 \)

A partir de ahí todo lo que usas son IDENTIDADES, es decir, en el fondo reescrituras de esas mismas ecuaciones. No usas NADA EXTERNO a eso. Son válidas además tanto para enteros como para reales.

Entiendo.
Previo a las últimas proposiciones, he estado dando vueltas en círculo sobre los mismos resultados llegando a tautologías que no aportan nada y provocados por los errores de cálculo que no había visto en un principio y que tus revisiones y correcciones me han permitido verlos.

En este mismo hilo, ya habíamos visto hace tiempo los mismos resultados de estas proposiciones, quedándome en intentar resolver la ecuación de segundo grado:
\( q^2+3^{\frac{m-2}{3}}p_1P_2q+P_2^3-3^2p_2^3=0 \)

donde las soluciones son
\( q=\dfrac{-(3^{\frac{m-2}{3}}p_1P_2)+\sqrt{(3^{\frac{m-2}{3}}p_1P_2)^2-4(P_2^3-3^2p_2^3)}}{2}=\dfrac{(q+r) +\sqrt{(q+r)^2-4qr}}{2}=\dfrac{(q+r) +\sqrt{(q-r)^2}}{2} \)
Si el utf fuera correcto, se tendría que dar que lo de dentro de la raiz tendría que ser el cuadrado de un entero, e intentamos sin éxito, utilizando ecuaciones diofánticas de segundo grado llegar a que \( q-r \) tendría que ser el cuadrado de un entero.
No se me ocurría como demostrar que \( (3^{\frac{m-2}{3}}p_1P_2)^2-4(P_2^3-3^2p_2^3) \) tuviera que ser un cuadrado. Como dices en algunas ocasiones "¿Demostrar esto será más fácil que demostrar el UTF?", pues es la impresión que me dió, que era más difícil.

Sin embargo, podemos introducir la siguiente ecuación basada en diferencias de cuadrados, donde aparece el elemento \( (q-r)^2 \)

\( P_2^3-3^2p_2^3=\left(\dfrac{-3^{\frac{m-2}{3}}p_1P_2}{2}\right)^2-\left(\dfrac{q-r}{2}\right)^2 \)  (*)

¿Y utilizar las dos ecuaciones siguientes módulo \( 3 \) y módulo \( P_2 \) para ver si aportan algo?

\( P_2^3+\left(q-r\right)^2\equiv 0 \pmod{3} \)
\( 6^2p_2^3-(q-r)^2\equiv 0\pmod {P_2} \)  (corregida)

Donde introduciremos otras variables \( K_1  \)y \( K_2 \) y la divisibilidad que tiene que darse en las dos ecuaciones.
 

Tu pretendes llegar a que \( q^2-qr+r^2 \) es múltiplo de \( P_2 \). Pero:

\( q^2-qr+r^2=(q+r)^2-3P_2 \)

Creo que quieres decir \( q^2-qr+r^2=(q+r)^2-qr \)?

Si llegases a que  \( q^2-qr+r^2 \) es múltiplo de \( P_2 \) entonces también debería de serlo \( qr \) y no lo es. Entonces seguro que si ningún argumento extra, con puras manipulaciones algebraicas como las que haces, no vas a poder llegar a esa conclusión.

Saludos.

He revisado el error y efectivamente después de corregirlo no se llega a esa conclusión. Pero me gustaría ver después de esa corrección si se llega a algo distinto.
 
Siento de verdad todos los errores de cálculo que cometo, aunque los reviso una y otra vez, y muchos de ellos no los llego a hacer públicos por haberlos encontrado antes. Intento, sinceramente, ser riguroso con ellos, y lamento no darme cuenta antes de que en efecto no hay aportes nuevos y que es dar vueltas sobre lo mismo para expresar de otra forma lo que ya sabemos.

Como siempre agradezco enormemente tu paciencia y tiempo en la revisión detallada de las propuestas y en tus comentarios y consejos.
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Tu pretendes llegar a que \( q^2-qr+r^2 \) es múltiplo de \( P_2 \). Pero:

\( q^2-qr+r^2=(q+r)^2-3P_2 \)

Creo que quieres decir \( q^2-qr+r^2=(q+r)^2-qr \)?

Era:

\( q^2-qr+r^2=(q+r)^2-3\color{red}qr\color{black} \)

Saludos.

[aureodd]

Hola Luis.
Si no hay errores en las siguientes cuentas sobre lo que ya teníamos, aparece al final un resultado contractorio. Agradecería como siempre "ayuda para la revisión"  

Hola
. .  .
Tenemos entonces
\( q^3+r^3+3^mp^3=2\cdot 3^{\frac{m+1}{3}}pqr \)
\( q^3+r^3+3^{m-2}P^3=3^{\frac{m+1}{3}}Pqr \)
. . .

\( q^3+r^3=2\cdot 3^{\frac{m+1}{3}}pqr-3^mp^3=3^{\frac{m+1}{3}}Pqr-3^{m-2}P^3 \)
Dividiendo por \( 3^{\frac{m+1}{3}} \)
\( 2pqr-3^{m-\frac{m+1}{3}}p^3=Pqr-3^{m-2-\frac{m+1}{3}}P^3 \Rightarrow{} \)
\( 2pqr-3^{\frac{2m-1}{3}}p^3=Pqr-3^{\frac{2m-7}{3}}P^3 \) (I)

Sustituimos los valores de \( p \) y \( P \) de la prop4 en (I)

Prop4.
Si tomamos \(  P=p_1P_2 \) y \( p=p_1p_2 \)  entonces \(  P_2^3-3^2p_2^3=qr \)

\( 2p_1p_2qr-3^{\frac{2m-1}{3}}{(p_1p_2)}^3=p_1P_2qr-3^{\frac{2m-7}{3}}{(p_1P_2)}^3 \) dividiendo por \( p_1 \)
\( 2p_2qr-3^{\frac{2m-1}{3}}{p_1}^2{p_2}^3=P_2qr-3^{\frac{2m-7}{3}}{p_1}^2{P_2}^3 \Rightarrow{} \)
\( p_2(2qr-3^{\frac{2m-1}{3}}{p_1}^2{p_2}^2)=P_2(qr-3^{\frac{2m-7}{3}}{p_1}^2{P_2}^2) \) (II)

Prop7.
\( p_2 \) y \( P_2 \) tienen que se coprimos.

Prueba:
En la Prop 4 tenemos 
\(  P_2^3-3^2p_2^3=qr \)
\( p_2 \) y \( P_2 \) tienen que se coprimos ya que si hubiera algún factor común lo tendrían con \( qr \) contradiciendo que \( p \) es coprimo con \( qr \)

Entonces en (II) se tiene que dar que
\( \dfrac{2qr-3^{\frac{2m-1}{3}}{p_1}^2{p_2}^2}{P_2}=\dfrac{qr-3^{\frac{2m-7}{3}}{p_1}^2{P_2}^2}{p_2} \) (III)
sustituimos el valor de \( qr \) de la Prop4 en (III)
\( \dfrac{2(P_2^3-3^2p_2^3)-3^{\frac{2m-1}{3}}{p_1}^2{p_2}^2}{P_2}=\dfrac{(P_2^3-3^2p_2^3)-3^{\frac{2m-7}{3}}{p_1}^2{P_2}^2}{p_2} \Rightarrow{} \)
\( \dfrac{2P_2^3-2\cdot3^2p_2^3-3^{\frac{2m-1}{3}}{p_1}^2{p_2}^2}{P_2}=\dfrac{P_2^3-3^2p_2^3-3^{\frac{2m-7}{3}}{p_1}^2{P_2}^2}{p_2} \Rightarrow{} \)
\( \dfrac{2P_2^3-3^2p_2^2(2p_2-3^{\frac{2m-7}{3}}{p_1}^2)}{P_2}=\dfrac{P_2^2(P_2-3^{\frac{2m-7}{3}}p_1^2)-3^2p_2^3}{p_2}  \) (IV)
Entonces
\( P_2 \) tiene que dividir a \( (2p_2-3^{\frac{2m-7}{3}}{p_1}^2) \)
y
\( p_2 \) tiene que dividir a \( (P_2-3^{\frac{2m-7}{3}}p_1^2) \)

Podemos encontrar \( s \) y \( t \) de modo que

\( (V)\left\{
\begin{array}{c}
2p_2-3^{\frac{2m-7}{3}}{p_1}^2&=&sP_2 \\
P_2-3^{\frac{2m-7}{3}}p_1^2&=&tp_2
\end{array}
\right. \)

por lo que
\( 2p_2-sP_2=P_2-tp2 \Rightarrow{} \)
\( P_2(s+1)=p_2(t+2) \)

Como \( p_2 \) y \( P_2 \) son coprimos, entonces
\( (VI)\left\{
\begin{array}{c}
p_2=s+1 \Rightarrow{} s=p_2-1 \\
P_2=t+2 \Longrightarrow{ }t=P_2-2
\end{array}
\right. \)

Sustituimos (VI) y (V) en (IV)

\( \dfrac{2P_2^3-3^2p_2^2((p_2-1)P_2)}{P_2}=\dfrac{P_2^2((P_2-2)p_2)-3^2p_2^3}{p_2} \Rightarrow{}  \)

\( 2P_2^2-3^2p_2^2(p_2-1)=P_2^2(P_2-2)-3^2p_2^2  \)

Unas cuentas más:

\( 2P_2^2-3^2p_2^3+3^2p_2^2=P_2^3-2P_2^2-3^2p_2^2 \Rightarrow{}  \)
\( 4P_2^2-P_2^3=3^2p_2^3-2\cdot3^2p_2^2 \Rightarrow{}  \)
\( P_2^2(4-P_2)=3^2p_2^2(p_2-2) \Rightarrow{}  \)

\( (VII)\left\{
\begin{array}{c}
4-P_2=3^2p_2^2 \\
p_2-2=P_2^2
\end{array}
\right. \)
Entonces
\( P_2=4-3^2p_2^2 \)
sustituimos en \( p_2-2=P_2^2 \)
\( p_2-2=(4-3^2p_2^2)^2\Rightarrow{} \)
\( p_2=4^2-2\cdot4\cdot3^2p_2^2+3^4p_2^4+2\Rightarrow{} \)
\( p_2=18-2\cdot4\cdot3^2p_2^2+3^4p_2^4 \)
Entonces el lado izquierdo de la igualdad, \( p_2 \), tendría que ser multiplo de \( 3 \) y hemos supuesto que no puede ser.

De otro modo. Si en (VII) tomamos el valor de \( p_2=P_2^2+2 \) y lo sustituimos en
\( 4-P_2=3^2p_2^2 \) nos queda
\( 4-P_2=3^2(P_2^2+2)^2\Rightarrow{} \)
\( 4-36-P_2=3^2(P_2^4+4P_2^2)\Rightarrow{} \)
\( -32=3^2(P_2^4+4P_2^2)+P_2\Rightarrow{} \)
\( -32=P_2(3^2\cdot P_2^3+3^2\cdot 4P_2+1) \) no puede darse para números enteros...
¿Es correcto?
Muchas gracias!
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

\( 2p_2-sP_2=P_2-tp2 \Rightarrow{} \)
\( P_2(s+1)=p_2(t+2) \)

Como \( p_2 \) y \( P_2 \) son coprimos, entonces
\( (VI)\left\{
\begin{array}{c}
p_2=s+1 \Rightarrow{} s=p_2-1 \\
P_2=t+2 \Longrightarrow{ }t=P_2-2
\end{array}
\right. \)

Ahí estás usando que si \( P_2 \) y \( p_2 \) son coprimos entonces:

\( P_2\cdot x=p_2\cdot y \quad \Rightarrow{}\quad p_2=x,\quad P_2=y \)

Pero eso no tiene porque ser cierto. Por ejemplo

\( 2\cdot 15=3\cdot 10 \) pero \( 3\neq 15,\qquad 2\neq 10 \)

Más adelante aparece el mismo error:

\( P_2^2(4-P_2)=3^2p_2^2(p_2-2) \Rightarrow{}  \)

\( (VII)\left\{
\begin{array}{c}
4-P_2=3^2p_2^2 \\
p_2-2=P_2^2
\end{array}
\right. \)

Saludos.

[aureodd]

Muchas gracias Luis!
Entonces si tenemos

Sustituimos (VI) y (V) en (IV)

\( \dfrac{2P_2^3-3^2p_2^2((p_2-1)P_2)}{P_2}=\dfrac{P_2^2((P_2-2)p_2)-3^2p_2^3}{p_2} \Rightarrow{}  \)

\( 2P_2^2-3^2p_2^2(p_2-1)=P_2^2(P_2-2)-3^2p_2^2  \)

Unas cuentas más:

\( 2P_2^2-3^2p_2^3+3^2p_2^2=P_2^3-2P_2^2-3^2p_2^2 \Rightarrow{}  \)
\( 4P_2^2-P_2^3=3^2p_2^3-2\cdot3^2p_2^2 \Rightarrow{}  \)
\( P_2^2(4-P_2)=3^2p_2^2(p_2-2) \Rightarrow{}  \)

\( P_2^2(4-P_2)=3^2p_2^2(p_2-2) \)
como \( P_2 \) y \( p_2 \) son coprimos, entonces tenemos dos casos:

1)
\( \dfrac{4-P_2}{3^2p_2^2}=\dfrac{p_2-2}{P_2^2}=k  \) (VIII)
\( p_2-2=P_2^2k\Rightarrow{} \)
\( p_2=P_2^2k+2 \)
Sustituyendo el valor de \( p_2 \) en la primera parte de la igualdad (VIII)
\( 4-P_2=3^2(P_2^2k+2)^2k\Rightarrow{} \)
\( 3^2(P_2^2k+2)^2k+P_2-4=0 \)

Si llamo \( f(P_2,k)=3^2(P_2^2k+2)^2k+P_2-4 \)
La única solución para \( f(P_2,k)=0 \) es para \( k=0 \) y \( P_2=4 \) (ver Nota1). Sustituyendo en \( p_2=P_2^2k+2 \Rightarrow{} p_2=2 \) (Ver Nota2)

Pero teníamos
\( (VI)\left\{
\begin{array}{c}
p_2=s+1 \Rightarrow{} s=p_2-1 \\
P_2=t+2 \Longrightarrow{ }t=P_2-2
\end{array}
\right. \)

luego \( s=1 \) y  \( t=2 \)

Susituyendo en
\( (V)\left\{
\begin{array}{c}
2p_2-3^{\frac{2m-7}{3}}{p_1}^2&=&sP_2 \\
P_2-3^{\frac{2m-7}{3}}p_1^2&=&tp_2
\end{array}
\right. \)

Se dá si \( p_1=0\Rightarrow{} p=0 \) y estamos buscando soluciones, no triviales.

Nota1:
Para el resto de valores de \( k \) y \( P_2 \) tenemos:

i) si \( k<0\Rightarrow{} f(P_2,k)<0 \)
 
ii) si \( k=0\Rightarrow{} f(P_2,k)<0 \) si \( P_2<4 \)

iii) si \( k>0  \) y \( P_2>4 \Rightarrow{} f(P_2,k)>0 \)

Nota2:
Si \( P_2=4 \) y \( p_2=2 \) se contradice la prop7
Prop7.
\( p_2 \) y \( P_2 \) tienen que se coprimos.

Si hasta aquí no hay errores quedaría ver el caso
2)

\( \dfrac{3^2p_2^2}{4-P_2}=\dfrac{P_2^2}{p_2-2}=j  \)
Muchas gracias!
Saludos