[aureodd]

Hola Luis.
Antes de intentar llegar a algún resultado que pudiera ser concluyente me gustaría revisar estas dos proposiciones.

Prop1. Si \( \dfrac{P-2p}{3^\frac{2m-7}{3}}=\dfrac{P^3-3^2p^3}{qr}=a \) entonces \( a|p^3 \) y \( a|P^3 \)

Prueba:
Si \( P-2p=3^\frac{2m-7}{3}a \)
\( P^3=(2p+3^\frac{2m-7}{3}a)^3\Rightarrow{} \)
\( P^3=(2p)^3+aK \) (I)
con \( K \) igual al desarrollo que falta.
También tenemos \( P^3-3^2p^3=aqr \) (II)
Sustituyendo el valor anterior de \( P^3 \) en (I)
\( 3^2p^3+aqr=(2p)^3+aK\Rightarrow{} \)
\( 3^2p^3-(2p)^3=a(K-qr)\Rightarrow{} \)
\( p^3=a(K-qr) \)
entonces \( p^3 \) es múltiplo de \( a \) y en (II) \( P^3 \) también es múltiplo de \( a \)

Prop2.
Si \( a|p^3 \) y \( a|P^3 \) entonces \( p \) y \( P \) tienen algún factor común con \( a \).

Prueba:
Si \( a|p^3 \) y \( a|P^3 \) podemos elegir algún \( p_1 \) en \( p^3=p_1.p_2 \), algún \( P_1 \) en \( P^3=P_1.P_2 \) y algún \( a_1 \) en \( a=a_1.a_2 \) de modo que
\( a_1=p_1=P_1 \) y distintos de \( 1 \)

¿Estás de acuerdo?
Mucha gracias!
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Si, creo que está bien.

Saludos.

[aureodd]

Hola Luis. Entonces voy a por otra proposición.

Hola Luis.
Antes de intentar llegar a algún resultado que pudiera ser concluyente me gustaría revisar estas dos proposiciones.

Prop1. Si \( \dfrac{P-2p}{3^\frac{2m-7}{3}}=\dfrac{P^3-3^2p^3}{qr}=a \) entonces \( a|p^3 \) y \( a|P^3 \)

Prueba:
Si \( P-2p=3^\frac{2m-7}{3}a \)
\( P^3=(2p+3^\frac{2m-7}{3}a)^3\Rightarrow{} \)
\( P^3=(2p)^3+aK \) (I)
con \( K \) igual al desarrollo que falta.
También tenemos \( P^3-3^2p^3=aqr \) (II)
Sustituyendo el valor anterior de \( P^3 \) en (I)
\( 3^2p^3+aqr=(2p)^3+aK\Rightarrow{} \)
\( 3^2p^3-(2p)^3=a(K-qr)\Rightarrow{} \)
\( p^3=a(K-qr) \)
entonces \( p^3 \) es múltiplo de \( a \) y en (II) \( P^3 \) también es múltiplo de \( a \)

Prop2.
Si \( a|p^3 \) y \( a|P^3 \) entonces \( p \) y \( P \) tienen algún factor común con \( a \).

Prueba:
Si \( a|p^3 \) y \( a|P^3 \) podemos elegir algún \( p_1 \) en \( p^3=p_1.p_2 \), algún \( P_1 \) en \( P^3=P_1.P_2 \) y algún \( a_1 \) en \( a=a_1.a_2 \) de modo que
\( a_1=p_1=P_1 \) y distintos de \( 1 \)

¿Estás de acuerdo?
Mucha gracias!
Saludos

Hola

 Si, creo que está bien.

Saludos.

Prop3. \( a=p_1^3 \), con \( p=p_1.p_2 \) y \( p_2 \) coprimo con \( a \).

Prueba:
Haciendo el desarrollo completo que tenemos en la Prop1
\( P-2p=3^\frac{2m-7}{3}a\Rightarrow{} \)
\( P=2p+3^\frac{2m-7}{3}a\Rightarrow{} \)
\( P^3=(2p+3^\frac{2m-7}{3}a)^3\Rightarrow{} \)
\( P^3=(2p)^3+3.(2p)^2.3^\frac{2m-7}{3}a+3.2p.(3^\frac{2m-7}{3}a)^2+(3^\frac{2m-7}{3}a)^3 \) (III)

También \( P^3-3^2p^3=aqr\Rightarrow{} \)
\( P^3=3^2p^3+aqr\Rightarrow{} \) sustituyendo en (III)
\( 3^2p^3+aqr=(2p)^3+3.(2p)^2.3^\frac{2m-7}{3}a+3.2p.(3^\frac{2m-7}{3}a)^2+(3^\frac{2m-7}{3}a)^3\Rightarrow{} \)

\( p^3=3.(2p)^2.3^\frac{2m-7}{3}a+3.2p.(3^\frac{2m-7}{3}a)^2+(3^\frac{2m-7}{3}a)^3-qra \)

\( \dfrac{p^3}{a}=3.(2p)^2.3^\frac{2m-7}{3}+3.2p.(3^\frac{2m-7}{3})^2.a+(3^\frac{2m-7}{3})^3.a^2-qr \) (IV)

Por la Prop2, si consideramos que el factor común o producto de factores comunes de \( a  \) y \( p \) es \( p_1 \)
y tomamos que \( p=p_1.p_2 \)

Ya que \( p_1|a \) y \( a|p^3 \)
entonces se tiene que dar \( a=p_1^3 \)
\( \dfrac{p^3}{a}=p_2^3 \) sustituimos en (IV)

\( p_2^3=3.(2p)^2.3^\frac{2m-7}{3}+3.2p.(3^\frac{2m-7}{3})^2.a+(3^\frac{2m-7}{3})^3.a^2-qr \) (V)

Si \( p_2  \) y \( a \) tienen algún factor común entonces, todos los sumandos tendrían algún factor común entre ellos excepto \( qr \).
Por lo que  \( p_2  \) y \( a \) tienen que ser coprimos.

¿Estás de acuerdo?
Muchas gracias!
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Por la Prop2, si consideramos que el factor común o producto de factores comunes de \( a  \) y \( p \) es \( p_1 \) (IV)
y tomamos que \( p=p_1.p_2 \)

Ya que \( p_1|a \) y \( a|p^3 \)
entonces se tiene que dar \( a=p_1^3 \)

Esto no lo veo. Por ejemplo si \( a=p_1 \) entonces se cumple todo lo que dices excepto \( a=p_1^3 \).

Saludos.

[aureodd]

Hola Luis.

Hola

Por la Prop2, si consideramos que el factor común o producto de factores comunes de \( a  \) y \( p \) es \( p_1 \) (IV)
y tomamos que \( p=p_1.p_2 \)

Ya que \( p_1|a \) y \( a|p^3 \)
entonces se tiene que dar \( a=p_1^3 \)

Esto no lo veo. Por ejemplo si \( a=p_1 \) entonces se cumple todo lo que dices excepto \( a=p_1^3 \).

Saludos.

Me falta esa justificación. La añado al resto de la demo de la prop3:
.  . .
Por la Prop2, si consideramos que el factor común o producto de factores comunes de \( a  \) y \( p \) es \( p_1 \)
y tomamos que \( p=p_1.p_2 \)

Ya que \( p_1|a \) y \( a|p^3 \)
entonces se tiene que dar \( a=p_1^3 \)
y
\( \dfrac{p^3}{a}=p_2^3 \)
de otro modo
tendríamos que \( \dfrac{p^3}{a} \) es múltiplo de \( p_1 \)
y en (IV)
\( \dfrac{p^3}{a}=3.(2p)^2.3^\frac{2m-7}{3}+3.2p.(3^\frac{2m-7}{3})^2.a+(3^\frac{2m-7}{3})^3.a^2-qr
 \)
todos los términos serían múltiplos de \( p_1  \) excepto \( qr \). (Contradicción)
Por lo tanto
\( p_2^3=3.(2p)^2.3^\frac{2m-7}{3}+3.2p.(3^\frac{2m-7}{3})^2.a+(3^\frac{2m-7}{3})^3.a^2-qr \)

y por lo mismo de antes \( p_2  \) y \( a \) tienen que ser coprimos.

¿Estás de acuerdo?
Muchas gracias!
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Me falta esa justificación. La añado al resto de la demo de la prop3:
.  . .
Por la Prop2, si consideramos que el factor común o producto de factores comunes de \( a  \) y \( p \) es \( p_1 \)
y tomamos que \( p=p_1.p_2 \)

Ya que \( p_1|a \) y \( a|p^3 \)
entonces se tiene que dar \( a=p_1^3 \)
y
\( \dfrac{p^3}{a}=p_2^3 \)
de otro modo
tendríamos que \( \dfrac{p^3}{a} \) es múltiplo de \( p_1 \)
y en (IV)
\( \dfrac{p^3}{a}=3.(2p)^2.3^\frac{2m-7}{3}+3.2p.(3^\frac{2m-7}{3})^2.a+(3^\frac{2m-7}{3})^3.a^2-qr
 \)
todos los términos serían múltiplos de \( p_1  \) excepto \( qr \). (Contradicción)
Por lo tanto
\( p_2^3=3.(2p)^2.3^\frac{2m-7}{3}+3.2p.(3^\frac{2m-7}{3})^2.a+(3^\frac{2m-7}{3})^3.a^2-qr \)

y por lo mismo de antes \( p_2  \) y \( a \) tienen que ser coprimos.

¿Estás de acuerdo?

mmm,,, no he comprobado las cuentas. Si las cuentas son correctas, estoy de acuerdo.

Saludos.

[aureodd]

Hola

mmm,,, no he comprobado las cuentas. Si las cuentas son correctas, estoy de acuerdo.

Saludos.

No me fío mucho de mis cuentas, pero creo que son correctas. 
Muchas gracias!
Saludos

[aureodd]

Hola Luis.
Podemos enunciar también esta prop4.

Prop4.
Si tomamos \(  P=p_1P_2 \) y \( p=p_1p_2 \)  entonces \(  P_2^3-3^2p_2^3=qr \)

Prueba:
Sustituyendo los valores de \( a \) y \( p \)  que teníamos en la prop3
\( a=p_1^3 \), con \( p=p_1.p_2 \)

en la ecuación que teníamos en la prop1
\( \dfrac{P^3-3^2p^3}{qr}=a \)

Nos queda
\( \dfrac{(p_1P_2)^3-3^2(p_1p_2)^3}{qr}=p_1^3\Rightarrow{} \)

\(  P_2^3-3^2p_2^3=qr \)

Entonces si las cuentas son correctas me gustaría añadir una reflexión o pregunta:

Reflexión
\( qr \) se puede poner como diferencia de cuadrados.

Explicación:
Habiamos tomado \( 3^{\frac{m-2}{3}}P=-(q+r) \)  que con la notación de la prop4 quedaría
\( 3^{\frac{m-2}{3}}p_1P_2=-(q+r) \)
y también de la prop4 tenemos
\(  P_2^3-3^2p_2^3=qr \)

Podemos plantear el siguiente sistema de dos ecuaciones con \( q \) y \( r \) como incógnitas
\( \left\{
\begin{array}{c}
-(q+r)&=&3^{\frac{m-2}{3}}p_1P_2 \\
qr&=&P_2^3-3^2p_2^3
\end{array}
\right. \)
Donde sus soluciones son las mismas que las de la ecuación de segundo grado equivalente. Serían
\( q=\dfrac{(q+r)+\sqrt{A}}{2} \)

\( r=\dfrac{(q+r)-\sqrt{A}}{2} \)

(donde se tendría que dar que \( A=(q-r)^2 \))

¿Podemos decir, ya que \( qr \) es una suma por una diferencia, que  \( qr  \) es una diferencia de cuadrados?

Muchas gracias!
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Prop4.
Si tomamos \(  P=p_1P_2 \) y \( p=p_1p_2 \)  entonces \(  P_2^3-3^2p_2^3=qr \)

Prueba:
Sustituyendo los valores de \( a \) y \( p \)  que teníamos en la prop3
\( a=p_1^3 \), con \( p=p_1.p_2 \)

en la ecuación que teníamos en la prop1
\( \dfrac{P^3-3^2p^3}{qr}=a \)

Nos queda
\( \dfrac{(p_1P_2)^3-3^2(p_1p_2)^3}{qr}=p_1^3\Rightarrow{} \)

\(  P_2^3-3^2p_2^3=qr \)

Bien.

Reflexión
\( qr \) se puede poner como diferencia de cuadrados.

Explicación:
Habiamos tomado \( 3^{\frac{m-2}{3}}P=-(q+r) \)  que con la notación de la prop4 quedaría
\( 3^{\frac{m-2}{3}}p_1P_2=-(q+r) \)
y también de la prop4 tenemos
\(  P_2^3-3^2p_2^3=qr \)

Podemos plantear el siguiente sistema de dos ecuaciones con \( q \) y \( r \) como incógnitas
\( \left\{
\begin{array}{c}
-(q+r)&=&3^{\frac{m-2}{3}}p_1P_2 \\
qr&=&P_2^3-3^2p_2^3
\end{array}
\right. \)
Donde sus soluciones son las mismas que las de la ecuación de segundo grado equivalente. Serían
\( q=\dfrac{(q+r)+\sqrt{A}}{2} \)

\( r=\dfrac{(q+r)-\sqrt{A}}{2} \)

(donde se tendría que dar que \( A=(q-r)^2 \))

¿Podemos decir, ya que \( qr \) es una suma por una diferencia, que  \( qr  \) es una diferencia de cuadrados?

Pero es que cualquier número \( N \) que pueda expresarse como producto de dos factores de la misma paridad (o equivalentemente que su resto módulo \( 4 \) no sea \( 2 \)), puede expresarse como diferencia de cuadrados.

Si \( N=AB \) entonces \( N=\left(\dfrac{A+B}{2}\right)^2-\left(\dfrac{A-B}{2}\right)^2 \).

Saludos.

[aureodd]

Hola Luis.
Otra prop.
Prop. 5
\( q \) y \( r \) son impares.

Prueba.
De la prop 4 tenemos que 
\( qr=P_2^3-3^2p_2^3 \)
además teníamos
\( -(q+r)=3^{\frac{m-2}{3}}p_1P_2 \)

Podemos escribir el siguiente sistema de ecuaciones, con \( p \) y \( q \) como incógnitas.
\( \left\{ \begin{array}{c} -(q+r)&=&3^{\frac{m-2}{3}}p_1P_2 \\ qr&=&P_2^3-3^2p_2^3 \end{array} \right.
 \)
Sustituyendo el valor de \( r \) de la primera
\( r=-3^{\frac{m-2}{3}}p_1P_2-q \)
en la segunda
\( q(-3^{\frac{m-2}{3}}p_1P_2-q)=P_2^3-3^2p_2^3 \)
nos queda la ecuación de segundo grado:
\( -3^{\frac{m-2}{3}}p_1P_2q-q^2=P_2^3-3^2p_2^3\Rightarrow{} \)
\( q^2+3^{\frac{m-2}{3}}p_1P_2q+P_2^3-3^2p_2^3=0 \)

\( q=\dfrac{-(3^{\frac{m-2}{3}}p_1P_2)+\sqrt{(3^{\frac{m-2}{3}}p_1P_2)^2-4(P_2^3-3^2p_2^3)}}{2}=\dfrac{(q+r) +\sqrt{(q+r)^2-4qr}}{2}=\dfrac{(q+r) +\sqrt{(q-r)^2}}{2} \)
entonces
\( q=\dfrac{(q+r) +\sqrt{(q-r)^2}}{2} \)
y lo mismo para \( r \)

\( r=\dfrac{(q+r) -\sqrt{(q-r)^2}}{2} \)

Si uno de ellos, \( q \) o \( r \), es par, entonces el otro también lo sería y eso contradice que sean coprimos. Luego ambos tienen que ser impares.
¿Es correcto?
Muchas gracias!
Saludos