Hola.
De la ecuación de la que partimos
\( q^3+3^mp^3+r^3=2\cdot 3^{\frac{m+1}{3}}pqr \)
tenemos que
\( q^3+r^3=2\cdot 3^{\frac{m+1}{3}}pqr-3^mp^3\Rightarrow{} \)
\( q^3+r^3=3^{\frac{m+1}{3}}(2pqr-3^\frac{2m-1}{3}p^3) \)
Si \( q^3+r^3 \equiv{0 \pmod 3}\Rightarrow{}q+r \equiv{0 \pmod 3} \)
Como \( q^3+r^3 =(q+r)(q^2-qr+r^2) \), y sabemos que \( q^2-qr+r^2 \) solo puede ser múltiplo de \( 3 \)
entonces \( q+r \) tiene que ser múltiplo de \( 3^{\frac{m+1}{3}-1}=3^{\frac{m-2}{3}} \)
Ahora sí podemos podemos poner \( 3^{\frac{m-2}{3}}P=-(q+r) \) y
\( q^3+3^{m-2}P^3+r^3=3\cdot 3^{\frac{m-2}{3}}Pqr=3^{\frac{m+1}{3}}Pqr \) con \( P \in \mathbb{Z} \)
Tenemos entonces
(I) \( q^3+r^3+3^mp^3=2\cdot 3^{\frac{m+1}{3}}pqr \)
(II) \( q^3+r^3+3^{m-2}P^3=3^{\frac{m+1}{3}}Pqr \)
Un caso particular para \( 3^2p^3 \) y \( 2p \) podría ser
\( 3^2p^3=P^3 \)
y
\( 2p=P \)
Para buscar el caso general para \( 3^2p^3 \) y \( 2p \) considero \( A \) y busco el valor que tiene que tener en:
\( 3^2p^3=P^3+A \) (III)
(I) lo podemos poner como
\( q^3+3^2.3^{m-2}.p^3+r^3=2\cdot 3^{\frac{m+1}{3}}pqr \)
sustituyendo el valor de \( 3^2p^3 \) de (III) tenemos
\( q^3+3^{m-2}(P^3+A)+r^3=2\cdot 3^{\frac{m+1}{3}}pqr\Rightarrow{}q^3+3^{m-2}P^3+3^{m-2}A+r^3=2\cdot 3^{\frac{m+1}{3}}pqr \)
sustituimos el valor de \( q^3+r^3+3^{m-2}P^3 \) en (II)
\( 3^{\frac{m+1}{3}}Pqr+3^{m-2}A=2\cdot 3^{\frac{m+1}{3}}pqr \) (IV)
\( A \) tiene que ser entonces múltiplo de \( qr \).
\( A=qra \) para algún \( a \in \mathbb{Q} \) (¿No podemos considerar \( a \in \mathbb{Z}? \)?
Ponemos este valor de \( A \) en (IV) y dividimos por \( 3^{\frac{m+1}{3}}qr \)
\( P+3^{\frac{2m-3}{3}}a=2p \) (V)
Teniendo en cuenta al valor de \( m \) que hemos estado utilizando del resultado 4) de la cita:
. . .
4) \( (y+z)=3^mE^3 \) con \( mcd(E,3)=1 \) y \( m\equiv 2 \) mod \( 3 \).
Prueba: Se tiene que \( -x^3=y^3+z^3=(y+z)(y^2-yz+z^2) \). Como \( (y+z) \) es múltiplo de tres, también lo es \( x \). Como \( x,y,z \) son coprimos, \( y,z \) no son divsibles por tres. Por tanto:
\( (y+z)=3^mE^3,\qquad (y^2-yz+z^2)=3^{3k-m}F^3 \) con \( mcd(E,3)=mcd(F,3)=1 \).
Pero: \( 3yz=(y+z)^2-(y^2-yz+z^2)=3^{2m}E^6-3^{3k-m}F^3 \). Como \( y,z \) no son divisibles por tres necesariamente \( 3k-m=1 \), es decir, \( m\equiv 2 \) mod \( 3 \).
. . .
Si \( m=3k-1 \) y lo utilizamos en (V) nos queda
\( P+3^{\tfrac{2(3k-1)-3}{3}}a=2p\Rightarrow{} \)
\( P+3^{\tfrac{6k-5}{3}}a=2p \) (VI)
Si \( P \) y \( p \) son enteros, \( a \) racional. ¿Se puede dar para números enteros la ecuación (VI) teniendo en cuenta que el coeficiente de \( a \) es
\( 3^{\tfrac{6k-5}{3}} = \sqrt[3]{3^{6k-5}} \) y con \( 6k-5 \) no múltiplo de \( 3 \)?
Muchas gracias!
Saludos
