Hola.
Hola
Es no hay nada que esté mal en lo que haces. Voy a enunciar unos puntos y dime si estás de acuerdo.
1) La variable \( R \) no es más que una abreviatura de \( -(q+3^{\frac{m+1}{3}}p) \), es decir, en realidad todo el desarrollo que estás haciendo se podría hacer sin usar ninguna \( R \), poniendo en su lugar \( -(q+3^{\frac{m+1}{3}}p) \).
Como estamos buscando soluciones para
\( q^3+3^mp^3+r^3=2\cdot 3^{\frac{m+1}{3}}pqr \) (I)
Escribiendo \( -R=q+3^{\frac{m+1}{3}}p \)
tenemos una ecuación "muy parecida" a (I) y que sí tiene solución:
\( q^3+3^{m+1}p^3+R^3=3\cdot 3^{\frac{m+1}{3}}pqR \) (II)
Como dices es una abreviatura que facilita la escritura y la lectura
2) Sin embargo pretendes introducir una nueva variable \( k \), que hasta ahora no existía en tu desarrollo. ¿De acuerdo?.
El introducir \( k \) nos permite en (I) generalizar lo que sabemos que se cumple de (II)
\( q^3+3^mp^3+\underbrace{r^3}_{2.3^mp^3+R^3+k. 3^{\frac{m+1}{3}}pqr}=\underbrace{2r}_{3R+rk}\cdot 3^{\frac{m+1}{3}}pq\Rightarrow{} \)
\( q^3+3^mp^3+2.3^mp^3+R^3+k. 3^{\frac{m+1}{3}}pqr=(3R+rk)3^{\frac{m+1}{3}}pq\Rightarrow{} \)
\( q^3+3^{m+1}p^3+R^3+\cancel{k. 3^{\frac{m+1}{3}}pqr}=3.3^{\frac{m+1}{3}}pqR+\cancel{k.3^{\frac{m+1}{3}}pqr} \)
la misma ecuación que en (II).
Entonces para "cualquier valor" (*) de \( k \) y sustituyendo
\( r^3=2.3^mp^3+R^3+k. 3^{\frac{m+1}{3}}pqr \)
\( 2r=3R+kr \)
en (I)
tenemos (II).
(*) he añadido otros comentarios en el siguiente punto 4)
3) Todas las operaciones que haces con \( k \) por en medio son correctas.
ok, gracias! me estaba volviendo un poco loco
4) Entonces el único detalle, es que no sé de donde te sacas que \( k \) es entero. No hay nada que lo justifique. De hecho estás defiendo k como un número que cumple las relaciones:
\( r^3=2.3^mp^3+R^3+k. 3^{\frac{m+1}{3}}pqr \)
y
\( 3R+kr=2r \) (*)
¿Por qué habría de ser entero?. OJO. NO es el número que TU quieras. Porque por ejemplo en (*), \( k=2-\dfrac{3R}{r} \) y \( R \) y \( r \) vienen dados de antemano.
Es como si tengo para números enteros \( a+b=c \) y de ahí digo, puedo afirmar que \( a,b \) tienen que ser de esta forma:
\( a=c-10k \)
\( b=10k \)
para que se cumpla \( a+b=c \).
Pues ciertamente si se verifica \( a+b=c \) uno puede encontrar un \( k \) cumpliendo las dos ecuaciones y al revés si uno encuentra un \( k \) cumpliendo las dos ecuaciones se cumple la tercera. Pero el problema es que nadie garantiza que \( k \) es entero a no ser que \( b \) sea múltiplo de \( 10 \).
Saludos.
Totalmente de acuerdo, pero en el enunciado, aunque estaba pensando en que lo fuera, no puse que \( k \) fuera entero
Hola.
Otra propuesta partiendo de
(I) \( q^3+3^mp^3+r^3=2\cdot 3^{\frac{m+1}{3}}pqr \)
Si \( -R=q+3^{\frac{m+1}{3}}p \) entonces
(II) \( q^3+3^{m+1}p^3+R^3=3\cdot 3^{\frac{m+1}{3}}pqR \)
Ahora tomo un caso particular para \( r^3 \) y \( 2r \) de este modo
\( r^3=2.3^mp^3+R^3 \)
y
\( 2r=3R \)
sustituyendo en (I) tenemos (II).
¿Podemos generalizar diciendo que \( r^3 \) y \( 2r \) tienen que ser de esta forma
\( r^3=2.3^mp^3+R^3+k. 3^{\frac{m+1}{3}}pqr \)
\( 2r=3R+kr \)
para que se cumpla (I) \( q^3+3^mp^3+r^3=2\cdot 3^{\frac{m+1}{3}}pqr \)
?
Muchas gracias Luis!
Saludos
¿Podemos considerar que \( k \in{}\mathbb{Q} \)? ¿En qué cambiaría la propuesta?
Muchas gracias!
Saludos
