[Luis Fuentes]

Hola

Creo que podemos considerar dos casos distintos:
1) \( k_2 \) es mútiplo de \(  5  \)
2) \( k_2 \) NO es mútiplo de \(  5  \)

Si escribimos
\( y+z-x=5^{m}pqrt \)
y tenemos que
\( (y+z-x)^5=5(x-y)(x-z)(y+z)k_2 \)

para el caso 1) tendríamos:
\( x-y=r^5 \)
\( x-z=p^5 \)
\( y+z=q^5 \)
\( k_2=5^{5m-1}t^5 \)
entonces
\( x=q^5-5^mpqrt \) (*)
\( y=p^5 +5^mpqrt \)
\( z=r^5+5^mpqrt \)

(*) equivalente \( x=p^5+r^5+5^mpqrt \)

y para el caso 2) donde suponemos,por ejemplo, que \( x-z \) es múltiplo de \( 5 \)
\( x-y=r^5 \)
\( x-z=5^{5m-1}p^5 \)
\( y+z=q^5 \)
\( k_2=t^5 \)
nos queda entonces
\( x=q^5-5^mpqrt \) (**)
\( y=5^{5m-1}p^5 +5^mpqrt \)
\( z=r^5+5^mpqrt \)

(**) equivalente \( x=5^{5m-1}p^5+r^5+5^mpqrt \)

¿Podemos considerar estos dos casos con los valores para \( x \) , \( y \)  y \( z \) según se ha indicado?

Si creo que todo lo que pones está bien.

Al respecto te puede interesar este hilo para \( n=7 \):

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=70714.0

Y este otro:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=84274.0

Saludos.

[aureodd]

Hola.
Quiero ver ahora que \( k_2 \) es coprimo con \( x-y \), \( x-z \) and \( y+z \).

Supongo que ninguno de los tres términons anteriores es múltiplo de \( 5 \) y que existe \( t_1 \) factor común primo de \( k_2 \) y de \( x-z=y-b=p^5 \).
Voy a utilizar la siguiente notación
\( a=x-y=r^5 \)
y
\( b=5^mpqrt \).
Podemos sustituir en \( x^5-y^5=z^5 \)
el valor que teníamos de
\( z=x-y+b=a+b \)
y
\( x=a+y \)
Escribimos entonces
\( (a+y)^5-y^5=(a+b)^5 \)
El desarrollo quedaría
\( a^5+5a^4y+10a^3y^2+10a^2y^3+5ay^4+y^5-y^5= \)
\( a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5 \Rightarrow \)
\( 5a^4(y-b)+10a^3(y^2-b^2)+10a^2(y^3-b^3)+5a(y^4-b^4)=b^5 \)
Todos los terminos son múltiplos de \( 5 \), \( y-b \) y \( a \). Entonces la igualdad anterior nos queda
\( 5a(y-b)[a^3+2a^2(y+b)+2a(y^2+yb+b^2)+(y^3+y^2b+yb^2+b^3)]=b^5=(5^mpqrt)^5 \)
diviendo por \( 5a(y-b) \)
\( a^3+2a^2(y+b)+2a(y^2+yb+b^2)+(y^3+y^2b+yb^2+b^3)=5^{5m-1}q^5t^5 \)
Todos los términos de la igualdad son múltiplos de \( t_1 \) salvo quizás \( a^3=(x-y)^3 \) pero \( y \) es múltiplo de \( t_1 \) y para que \( x-y=a \) fuera múltiplo de \( t_1 \) también \( x \) tendría que ser múltiplo de \( t_1 \) que no es posible por la coprimalidad de \( x \) e \( y \). (vale también para  \( t_1=5 \))

Para el caso donde alguno de \( x-y \), \( x-z \) and \( y+z \) fuera múltiplo de \( 5 \) creo que podríamos utilizar el mismo argumento.

¿Es correcto?
Muchas gracias!
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Hola.
Quiero ver ahora que \( k_2 \) es coprimo con \( x-y \), \( x-z \) and \( y+z \).

Supongo que ninguno de los tres términons anteriores es múltiplo de \( 5 \) y que existe \( t_1 \) factor común primo de \( k_2 \) y de \( x-z=y-b=p^5 \).

No me convence el comienzo; si todavía no sabes que \( x-z \) y \( k_2 \) son coprimos, ¿cómo sabes que \( x-z \) es una quinta potencia de algo?. Para afirmar eso hay que basarse (creo) en la coprimalidad de los cuatro factores \( x-y,x-z,y-z,k_2 \).

En realidad puedes razonar directamente. Fíjate que en tu caso:

\( k_2=x^2 - x y + y^2 - x z + y z + z^2=(x-y)^2+xy-xz+yz-z^2 \) (*)

Si, por ejemplo, \( x-y \) tuviese a \( t_1 \) como divisor primo común primo  \( k_2 \), entonces \( t_1 \) también divide a \( z=(y+z-x)+(x-y) \). Entonces en (*) tendrías que \( xy \) es múltiplo de \( k_2 \), lo cuál contradice el ehcho de que \( x,y,z \) son coprimos.

Saludos.

[aureodd]

Hola

Hola

Hola.
Quiero ver ahora que \( k_2 \) es coprimo con \( x-y \), \( x-z \) and \( y+z \).

Supongo que ninguno de los tres términons anteriores es múltiplo de \( 5 \) y que existe \( t_1 \) factor común primo de \( k_2 \) y de \( x-z=y-b=p^5 \).

No me convence el comienzo; si todavía no sabes que \( x-z \) y \( k_2 \) son coprimos, ¿cómo sabes que \( x-z \) es una quinta potencia de algo?. Para afirmar eso hay que basarse (creo) en la coprimalidad de los cuatro factores \( x-y,x-z,y-z,k_2 \).

Estoy suponiendo como cierto que \( x-y \), \( x-z \) and \( y+z \) son coprimos y estoy en el caso 1) de:

...
Si escribimos
\( y+z-x=5^mpqrt \)
y tenemos que
\( (y+z-x)^5=5(x-y)(x-z)(y+z)k_2 \)

para el caso 1) tendríamos:
\( x-y=r^5 \)
\( x-z=p^5 \)
\( y+z=q^5 \)
\( k_2=5^{5m-1}t^5 \)
entonces
\( x=q^5-5^mpqrt \) (*)
\( y=p^5 +5^mpqrt \)
\( z=r^5+5^mpqrt \)

(*) equivalente \( x=p^5+r^5+5^mpqrt \)
...

¿No es correcto dar por cierto todo lo de esta última cita?
Gracias!
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

...
Si escribimos
\( y+z-x=5^mpqrt \)
y tenemos que
\( (y+z-x)^5=5(x-y)(x-z)(y+z)k_2 \)

para el caso 1) tendríamos:
\( x-y=r^5 \)
\( x-z=p^5 \)
\( y+z=q^5 \)
\( k_2=5^{5m-1}t^5 \)
entonces
\( x=q^5-5^mpqrt \) (*)
\( y=p^5 +5^mpqrt \)
\( z=r^5+5^mpqrt \)

(*) equivalente \( x=p^5+r^5+5^mpqrt \)
...

¿No es correcto dar por cierto todo lo de esta última cita?

Quizá no fui claro cuando lo di por bueno. Lo que se afirma ahí es cierto; pero hay que demostrarlo. En particular para poder afirmar que los términos \( x-y,x-z,y+z \) son quintas potencias no veo otra forma de justificarlo sin previamente demostrar que esos factores (y el cuarto \( k_2 \)) son coprimos. En otro caso podría haber un factor primo que, estuviese en el producto elevado a la quinta, pero que se repartiese por ejemplo en un factor elevado al cubo y en el otro al cuadrado.

Saludos.

[manooooh]

Hola a todos

Sólo quería comentar que este hilo es un EXCELENTE ejemplo de superación y avance ante un monstruo como es el UTF . Felicitaciones a aureodd y Luis Fuentes por los aportes de ambos, que con más de 15 bloques y varios años debatiendo, desmintiendo, probando, publicando y, sobre todo, aprendiendo, de varios mensajes han demostrado su capacidad intelectual para llevar a cabo esta discusión. También mis felicitaciones a otros grandes usuarios del foro que también participaron y siguen participando de una prueba más fundamental del UTF y otros.

Esto claramente es un off-topic, así que lo pondré en un spoiler para no obstruir la bella discusión mantenida aquí hasta hace uno dos años:

Spoiler

Soy un completo noob ante teoría de números. Me parece fascinante tratar de abordar este tema con la menor complejidad posible, ya que sólo he visto desigualdades, ecuaciones no tan complicadas y ¡mucho cambio de variables!

Me gustaría confesar que he leído por encima cada uno de los argumentos. He observado que primero aureodd intentó utilizar argumentos para el caso general, pero luego Luis le ha recomendado particularizar, así la notación era más clara y concisa.

Entre observaciones no vistas y las que han surgido de golpe, me quedé asombrado con este pequeño entrevero del señor Luis que encontré en mi lectura fugaz:

P.D. La otra noche tras poner el chupete a mi hija, me vino la luz y dos años después comprendí (entre otras cosas) creo que completamente tu nick. 

OWWW ¡qué tierno! . No sabía que tenías una pequeña hijita, qué alegría . Bueno... en 2018 de "pequeña" tiene poco , aunque algunos padres sostienen que los hijos siempre serán recordados de pequeños ("¿Recordás cuando te babeabas, cuando fuiste a la escuela, cuando te daba de comer, ...?").

Me imagino que tu hija forma parte de alguna que otra charla de matemáticas dictadas por su padre, por lo menos, eh (ahora los hijos tenemos más independencia, por lo que decir "Tu hija debe ser matemática" queda mal visto). Espero que sea un poco más apasionada por las matemáticas que el resto y no como a mi que no me enseñaron a verla como la veo ahora, sino hubiera sido por el rinconmatematico.

Algo que me soprende es que en ciertos mensajes aparezcan expresiones matemáticas que son erróneas, como por ejemplo escribir \( \matbb \). ¿Esto hace varios años atrás era válido y en los mensajes se veía bien, o ustedes lo dejaban pasar? ¡Y esto se relaciona directamente con

manooooh definitivamente tienes un problema/virtud (todo depende del punto de vista) con la rigurosidad/flexibilidad de las notaciones.

¡Todavía tengo pendiente pensar algo con qué contestarte !

[cerrar]

Gracias por encender una mecha de pasión por las matemáticas.

Saludos

[aureodd]

Hola Luis.
En las páginas 9 y 10 de este hilo contienen varias proposiciones que creo llegan a una contradicción:
I) Esta primera cita la reescribo ya que contenía una errata. También cambio el nombre de la variable \( p_2 \) por \( a \).
La cuestión principal y la que perseguimos es confirmar que
PROP 1: \( p_1 \) y \( p \) no pueden tener algún factor común.

Hola el_manco,
voy a volver un momento a
I) \(  q^3-r^3-3^{3m-1}p^3=2\cdot 3^mpqr \)
y a que \( q-r \) lo podemos poner de la forma siguiente
\( (q-r)=3^{m-1}p_1 \)
Además
II) \( q^3-r^3-3^{3m-3}p_1^3=3qr\cdot3^{m-1}p_1 \)
También tenemos que \( q^3-r^3 \) es múltiplo de \( p \) y  \( p_1 \)
¿\( p_1 \) y \( p \) pueden tener algún factor común?
Creo que no:
Supongamos \( a \) el factor común de \( p_1 \) y \( p \)
\( q^3-r^3=(q-r)(q^2+qr+r^2) \)
pero si \( q-r \equiv 0 \pmod {p_{1}} \Rightarrow q-r \equiv 0 \pmod {a} \) entonces
\( q^2+qr+r^2 \equiv {3q^2} \pmod {a} \)
entonces \( q^2 \) es múltiplo de \( a \) (factor de \( p \)) luego \( q^2  \) y \( p \) no serían coprimos como hemos supuesto.
Es correcto?
Muchas gracias!
Saludos

Después de una pequeña discusión llegamos a que :

Si \( q^3-r^3=(q-r)(q^2+qr+r^2) \)
y
\( (q-r)=3^{m-1}p_1 \)
¿\( (q-r)  \) y \( (q^2+qr+r^2) \) pueden tener algún divisor común? Si lo tienen puede ser divisor de \( p \)?
Muchas gracias!
Saludos

Hola

 El único posible divisor común de \( (q-r) \) y \( (q^2+qr+r^2) \) es \( 3 \) ya que:

\(  (q^2+qr+r^2)-(q-r)^2=3qr \)

 y por ser \( q,r \) coprimos también lo son \( q,r,q-r \).

Saludos.

Hasta aquí no se si queda claro que \( p_1 \) y \( p \) no tienen algún factor común.

II) Para la siguiente proposición habíamos utilizado que (donde pone \( p_3 \) ponía \( p_1 \) pero lo cambiamos ya que \( p_1 \) se ha utilizado en la proposición 1):

Hola

 Perdón. Me estaba olvidando del factor \( 3^{2m-3} \), porque daba por hecho (y en eso estamos de acuerdo) que ese factor si divide a \( u \). Mi ejemplo sería:

\(  p=p_2\cdot p_3,\quad u=p_2\cdot p_2^2\cdot 3^{2m-3} \)

Saludos.

Después de una larga discusión llegamos a esta segunda proposición:

Hola

Hola,
podemos concluir entonces que
\( qr=3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3 \)
y que
\( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \) ?
Gracias!

Si.

Saludos.

Si \( q-r=3^{m-1}\cdot{p_2}A \) donde \( A=2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3} \)
si
\(  p=p_2\cdot p_3 \)
y si
\( (q-r)=3^{m-1}p_1 \)
entonces
\( p_1=p_2\cdot{A} \)
luego \( p \) y \( p_1 \) tienen a \( p_2 \) como factor común. ¿Esto contradice la PROP 1: \( p_1 \) y \( p \) no pueden tener algún factor común. ?
Muchas gracias!
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Hola Luis.

Hola. ¡Cuánto tiempo!.

Básicamente el principal problema que sigo sin ver como de todo esto:

I) Esta primera cita la reescribo ya que contenía una errata. También cambio el nombre de la variable \( p_2 \) por \( a \).
La cuestión principal y la que perseguimos es confirmar que
PROP 1: \( p_1 \) y \( p \) no pueden tener algún factor común.

Hola el_manco,
voy a volver un momento a
I) \(  q^3-r^3-3^{3m-1}p^3=2\cdot 3^mpqr \)
y a que \( q-r \) lo podemos poner de la forma siguiente
\( (q-r)=3^{m-1}p_1 \)
Además
II) \( q^3-r^3-3^{3m-3}p_1^3=3qr\cdot3^{m-1}p_1 \)
También tenemos que \( q^3-r^3 \) es múltiplo de \( p \) y  \( p_1 \)
¿\( p_1 \) y \( p \) pueden tener algún factor común?
Creo que no:
Supongamos \( a \) el factor común de \( p_1 \) y \( p \)
\( q^3-r^3=(q-r)(q^2+qr+r^2) \)
pero si \( q-r \equiv 0 \pmod {p_{1}} \Rightarrow q-r \equiv 0 \pmod {a} \) entonces
\( q^2+qr+r^2 \equiv {3q^2} \pmod {a} \)
entonces \( q^2 \) es múltiplo de \( a \) (factor de \( p \)) luego \( q^2  \) y \( p \) no serían coprimos como hemos supuesto.
Es correcto?
Muchas gracias!
Saludos

Después de una pequeña discusión llegamos a que :

Si \( q^3-r^3=(q-r)(q^2+qr+r^2) \)
y
\( (q-r)=3^{m-1}p_1 \)
¿\( (q-r)  \) y \( (q^2+qr+r^2) \) pueden tener algún divisor común? Si lo tienen puede ser divisor de \( p \)?
Muchas gracias!
Saludos

Hola

 El único posible divisor común de \( (q-r) \) y \( (q^2+qr+r^2) \) es \( 3 \) ya que:

\(  (q^2+qr+r^2)-(q-r)^2=3qr \)

 y por ser \( q,r \) coprimos también lo son \( q,r,q-r \).

Saludos.

Hasta aquí no se si queda claro que \( p_1 \) y \( p \) no tienen algún factor común.

Se deduce que \( p_1 \) y \( p \) no tienen factor común. No se si me pierdo algo pero no lo veo.

Saludos.

[aureodd]

Hola.
En efecto, las proposiciones utilizadas no demuestran que \( p \) y \( p_1 \) no puedan tener algún factor común.
De hecho los resultados que tenemos son
\( q-r=3^{m-1}\cdot{p_2}A \) donde \( A=2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3} \)
si
\(  p=p_2\cdot p_3 \)
y si
\( (q-r)=3^{m-1}p_1 \)
entonces
\( p_1=p_2\cdot{A} \)
Luego \( p_2 \) es el factor común de \( p \) y \( p_1 \).
Muchas gracias!
Saludos

[aureodd]

Hola Luis.
Revisando varios resultados de este hilo y partiendo de tu reformulación: 

Hola

 Voy a tratar de escribir como reformulo yo tu trabajo y cómo la mayoría de tus demostraciones son así inmediatas. Excepto la del Lema 6, que es la que falla.

 En primer lugar es cómodo escribir la ecuación de Fermat como \( x^3+y^3+z^3=0 \) en lugar de la manera clásica, permitiendo que las variables sean negativas. Esto evita tener que repetir argumentos para tus tres términos \( (x-y),(x-z)=(y-b),M=(y+z) \) que ahora con mi notación son simplemente \( (x+y),(x+z),(y+z) \). De forma que por simetría lo que probemos para uno, queda probado para los demás.

 Entonces sean \( x,y,z \) tres enteros coprimos dos a dos verificando \( x^3+y^3+z^3=0. \)

 1) \( 3(x+y)(x+z)(y+z)=(x+y+z)^3 \)

 Prueba: Basta tener en cuenta que, \( 3(x+y)(x+z)(y+z)=(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3 \) y usar que estamos bajo el supuesto de que los tres números cumplen la ecuación de Fermat.

 2) \( (x+y),(x+z),(y+z) \) son coprimos dos a dos.

 Prueba: Basta tener en cuenta que por (1) cualquier divisor primo de uno de esos términos lo es de \( (x+y+z) \). Entonces si \( x+y,x+z \) son divisibles por \( p \),

 \( z=(x+y+z)-(x+y) \) divisible por \( p \)
 \( y=(x+y+z)-(x+z) \) divisible por \( p \)

 Pero \( z,y \) son coprimos: contradicción.

 3) Uno y sólo uno de los términos \( (x+y),(x+z),(y+z) \) es divisible por \( 3 \) (supondremos sin pérdida de generalidad, a partir de ahora, que tal término es \( y+z \)).

 Prueba: Por (1), (\( x+y+z) \) es divisible por \( 3 \) y por tanto \( 3(x+y)(x+z)(y+z)=(x+y+z)^3 \) divisible por \( 3^3 \). Por tanto efecivamente alguno de los términos es divisible por tres. La unicidad es consecuencia de (2).

 4) \( (y+z)=3^mE^3 \) con \( mcd(E,3)=1 \) y \( m\equiv 2 \) mod \( 3 \).

 Prueba: Se tiene que \(  -x^3=y^3+z^3=(y+z)(y^2-yz+z^2)  \). Como \( (y+z) \) es múltiplo de tres, también lo es \( x \). Como \( x,y,z \) son coprimos, \( y,z \) no son divsibles por tres. Por tanto:

\( (y+z)=3^mE^3,\qquad (y^2-yz+z^2)=3^{3k-m}F^3 \) con \( mcd(E,3)=mcd(F,3)=1 \).

 Pero: \( 3yz=(y+z)^2-(y^2-yz+z^2)=3^{2m}E^6-3^{3k-m}F^3 \). Como \( y,z \) no son divisibles por tres necesariamente \( 3k-m=1 \), es decir, \( m\equiv 2 \) mod \( 3 \).

 5) Existen enteros \( p,q,r  \) coprimos dos a dos y no múltiplos de \( 3 \) tales que:
 
\( y+z=3^mp^3 \) con \( m\equiv 2 \) mod \( 3 \)
\( x+y=q^3\quad x+z=r^3\quad x+y+z=3^{\frac{m+1}{3}}pqr \)

 Prueba: Basta aplicar (2),(3),(4) a (1)

 6) Existen enteros \( p,q,r  \) coprimos dos a dos y no múltiplos de \( 3 \) tales que:

\(  q^3=2\cdot 3^{\frac{m+1}{3}}pqr-3^mp^3-r^3 \) con \( m\equiv 2 \) mod \( 3 \)

 Prueba: Basta tener en cuenta que por (5):

\(  x=(x+y+z)-(y+z)=3^{\frac{m+1}{3}}pqr-3^mp^3 \)
\(  y=(x+y+z)-(x+z)=3^{\frac{m+1}{3}}pqr-r^3 \)
\(  x+y=q^3 \)

 
 En tu Lema 6 pruebas que no existen números en las condiciones de (6) para \( m=2 \). Si lo probases para cualquier  \( m\equiv 2 \) mod \( 3 \), tendrías la prueba que buscas.

Saludos.

Creo que podemos añadir que:
si \(  y=3^{\frac{m+1}{3}}pqr-r^3 \)
y
\( y+z=3^mp^3 \) con \( m\equiv 2 \) mod \( 3 \)
entonces
\( z=r^3+3^{m}p^3-3^{\frac{m+1}{3}}pqr \)
Además tenemos:
\(  x=3^{\frac{m+1}{3}}pqr-3^mp^3 \)
\(  y=3^{\frac{m+1}{3}}pqr-r^3 \)

Ahora, y para escribir menos, hacemos este cambio de variables:
\( c=3^{\frac{m+1}{3}}pqr \)
\( a=3^mp^3 \)
\( b=r^3 \)
y estas otras dos variables \( A \) y \( B \)
de modo que
\( x=c-a=A \)
\( y=c-b=B \)
luego
\( z=a+b-c=c-A-B \)

Sustituyendo en \( x^3+y^3+z^3=0 \)
\( A^3+B^3+(c-A-B)^3=0 \Rightarrow{} \)
\( \Rightarrow{}A^3+B^3=(A+B-c)^3 \)

Haciendo las cuentas (ya vimos algo parecido en:

Spoiler

Hola,
teniendo en cuenta que

\( p,q,r \) coprimos no múltiplos de \( n \) y \( n \) primo (*)

quiero probar

I) \( (p^n+r^n+npqr)^n=(p^n+npqr)^n+(r^n+npqr)^n \)
con
\( x^n=(p^n+r^n+npqr)^n \)
\( y^n=(p^n+npqr)^n \)
\( z^n=(r^n+npqr)^n \)

no tiene soluciones enteras para \( n=3 \).

\( (p^3+r^3+3pqr)^3=(p^3+3pqr)^3+(r^3+3pqr)^3 \)
. . .

Y luego

Hola

 Creo que está bien. Entiendo que afirmas entonces que tienes una demostración del Teorema de Fermat para \( n=3 \). Si es así, yo, escépico, no me lo creo. Es decir pienso que tienes algún error.

 Escribéla completa. Pero por favor, para el caso \( n=3 \).

[cerrar]

pero allí faltaban algunas cosas que luego aparecen en la primera cita con tu reformulación y que he considerado aquí...)

\( A^3+B^3=((A+B)-c)^3\Rightarrow{} \)
\( \Rightarrow{}A^3+B^3=(A+B)^3-3(A+B)^2c+3(A+B)c^2-c^3\Rightarrow{} \)
\( \Rightarrow{}A^3+B^3=[A^3+3A^2B+3AB^2+B^3]-3(A+B)^2c+3(A+B)c^2-c^3\Rightarrow{} \)
\( \Rightarrow{}c^3=[3A^2B+3AB^2]-3(A+B)^2c+3(A+B)c^2\Rightarrow{} \)
\( \Rightarrow{}c^3=3AB(A+B)-3(A+B)^2c+3(A+B)c^2\Rightarrow{} \)
Entonces si \( c=3^{\frac{m+1}{3}}pqr \), creo que \( pr \) (\( p \) y \( r \) coprimos y no múltiplos de \( 3 \)) divide a todos los términos excepto a \( 3AB(A+B) \)
donde
\( A=c-a=3^{\frac{m+1}{3}}pqr-3^mp^3 \)
\( B=c-b=3^{\frac{m+1}{3}}pqr-r^3 \)
\( A+B=2\cdot3^{\frac{m+1}{3}}pqr-3^mp^3-r^3 \)
¿Es correcto?
Muchas gracias!
Saludos