Autor Tema: Historia de una prueba sencilla del UTF y petición de ayuda para su revisión.

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

09 Septiembre, 2016, 02:04 pm
Respuesta #280

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 47,042
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Creo que podemos considerar dos casos distintos:
1) \( k_2 \) es mútiplo de \(  5  \)
2) \( k_2 \) NO es mútiplo de \(  5  \)

Si escribimos
\( y+z-x=5^{m}pqrt \)
y tenemos que
\( (y+z-x)^5=5(x-y)(x-z)(y+z)k_2 \)

para el caso 1) tendríamos:
\( x-y=r^5 \)
\( x-z=p^5 \)
\( y+z=q^5 \)
\( k_2=5^{5m-1}t^5 \)
entonces
\( x=q^5-5^mpqrt \) (*)
\( y=p^5 +5^mpqrt \)
\( z=r^5+5^mpqrt \)

(*) equivalente \( x=p^5+r^5+5^mpqrt \)

y para el caso 2) donde suponemos,por ejemplo, que \( x-z \) es múltiplo de \( 5 \)
\( x-y=r^5 \)
\( x-z=5^{5m-1}p^5 \)
\( y+z=q^5 \)
\( k_2=t^5 \)
nos queda entonces
\( x=q^5-5^mpqrt \) (**)
\( y=5^{5m-1}p^5 +5^mpqrt \)
\( z=r^5+5^mpqrt \)

(**) equivalente \( x=5^{5m-1}p^5+r^5+5^mpqrt \)

¿Podemos considerar estos dos casos con los valores para \( x \) , \( y \)  y \( z \) según se ha indicado?

Si creo que todo lo que pones está bien.

Al respecto te puede interesar este hilo para \( n=7 \):

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=70714.0

Y este otro:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=84274.0

Saludos.

20 Septiembre, 2016, 12:52 pm
Respuesta #281

aureodd

  • Novato
  • Mensajes: 183
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
    • Matemáticas Recreativas, Juegos, Lógica, Ingenio, Matemáticos
Hola.
Quiero ver ahora que \( k_2 \) es coprimo con \( x-y \), \( x-z \) and \( y+z \).

Supongo que ninguno de los tres términons anteriores es múltiplo de \( 5 \) y que existe \( t_1 \) factor común primo de \( k_2 \) y de \( x-z=y-b=p^5 \).
Voy a utilizar la siguiente notación
\( a=x-y=r^5 \)
y
\( b=5^mpqrt \).
Podemos sustituir en \( x^5-y^5=z^5 \)
el valor que teníamos de
\( z=x-y+b=a+b \)
y
\( x=a+y \)
Escribimos entonces
\( (a+y)^5-y^5=(a+b)^5 \)
El desarrollo quedaría
\( a^5+5a^4y+10a^3y^2+10a^2y^3+5ay^4+y^5-y^5= \)
\( a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5 \Rightarrow \)
\( 5a^4(y-b)+10a^3(y^2-b^2)+10a^2(y^3-b^3)+5a(y^4-b^4)=b^5 \)
Todos los terminos son múltiplos de \( 5 \), \( y-b \) y \( a \). Entonces la igualdad anterior nos queda
\( 5a(y-b)[a^3+2a^2(y+b)+2a(y^2+yb+b^2)+(y^3+y^2b+yb^2+b^3)]=b^5=(5^mpqrt)^5 \)
diviendo por \( 5a(y-b) \)
\( a^3+2a^2(y+b)+2a(y^2+yb+b^2)+(y^3+y^2b+yb^2+b^3)=5^{5m-1}q^5t^5 \)
Todos los términos de la igualdad son múltiplos de \( t_1 \) salvo quizás \( a^3=(x-y)^3 \) pero \( y \) es múltiplo de \( t_1 \) y para que \( x-y=a \) fuera múltiplo de \( t_1 \) también \( x \) tendría que ser múltiplo de \( t_1 \) que no es posible por la coprimalidad de \( x \) e \( y \). (vale también para  \( t_1=5 \))

Para el caso donde alguno de \( x-y \), \( x-z \) and \( y+z \) fuera múltiplo de \( 5 \) creo que podríamos utilizar el mismo argumento.

¿Es correcto?
Muchas gracias!
Saludos

20 Septiembre, 2016, 01:11 pm
Respuesta #282

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 47,042
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Hola.
Quiero ver ahora que \( k_2 \) es coprimo con \( x-y \), \( x-z \) and \( y+z \).

Supongo que ninguno de los tres términons anteriores es múltiplo de \( 5 \) y que existe \( t_1 \) factor común primo de \( k_2 \) y de \( x-z=y-b=p^5 \).

No me convence el comienzo; si todavía no sabes que \( x-z \) y \( k_2 \) son coprimos, ¿cómo sabes que \( x-z \) es una quinta potencia de algo?. Para afirmar eso hay que basarse (creo) en la coprimalidad de los cuatro factores \( x-y,x-z,y-z,k_2 \).

En realidad puedes razonar directamente. Fíjate que en tu caso:

\( k_2=x^2 - x y + y^2 - x z + y z + z^2=(x-y)^2+xy-xz+yz-z^2 \) (*)

Si, por ejemplo, \( x-y \) tuviese a \( t_1 \) como divisor primo común primo  \( k_2 \), entonces \( t_1 \) también divide a \( z=(y+z-x)+(x-y) \). Entonces en (*) tendrías que \( xy \) es múltiplo de \( k_2 \), lo cuál contradice el ehcho de que \( x,y,z \) son coprimos.

Saludos.

20 Septiembre, 2016, 04:43 pm
Respuesta #283

aureodd

  • Novato
  • Mensajes: 183
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
    • Matemáticas Recreativas, Juegos, Lógica, Ingenio, Matemáticos
Hola
Hola

Hola.
Quiero ver ahora que \( k_2 \) es coprimo con \( x-y \), \( x-z \) and \( y+z \).

Supongo que ninguno de los tres términons anteriores es múltiplo de \( 5 \) y que existe \( t_1 \) factor común primo de \( k_2 \) y de \( x-z=y-b=p^5 \).

No me convence el comienzo; si todavía no sabes que \( x-z \) y \( k_2 \) son coprimos, ¿cómo sabes que \( x-z \) es una quinta potencia de algo?. Para afirmar eso hay que basarse (creo) en la coprimalidad de los cuatro factores \( x-y,x-z,y-z,k_2 \).

Estoy suponiendo como cierto que \( x-y \), \( x-z \) and \( y+z \) son coprimos y estoy en el caso 1) de:


...
Si escribimos
\( y+z-x=5^mpqrt \)
y tenemos que
\( (y+z-x)^5=5(x-y)(x-z)(y+z)k_2 \)

para el caso 1) tendríamos:
\( x-y=r^5 \)
\( x-z=p^5 \)
\( y+z=q^5 \)
\( k_2=5^{5m-1}t^5 \)
entonces
\( x=q^5-5^mpqrt \) (*)
\( y=p^5 +5^mpqrt \)
\( z=r^5+5^mpqrt \)

(*) equivalente \( x=p^5+r^5+5^mpqrt \)
...
¿No es correcto dar por cierto todo lo de esta última cita?
Gracias!
Saludos

20 Septiembre, 2016, 06:02 pm
Respuesta #284

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 47,042
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola


...
Si escribimos
\( y+z-x=5^mpqrt \)
y tenemos que
\( (y+z-x)^5=5(x-y)(x-z)(y+z)k_2 \)

para el caso 1) tendríamos:
\( x-y=r^5 \)
\( x-z=p^5 \)
\( y+z=q^5 \)
\( k_2=5^{5m-1}t^5 \)
entonces
\( x=q^5-5^mpqrt \) (*)
\( y=p^5 +5^mpqrt \)
\( z=r^5+5^mpqrt \)

(*) equivalente \( x=p^5+r^5+5^mpqrt \)
...
¿No es correcto dar por cierto todo lo de esta última cita?

Quizá no fui claro cuando lo di por bueno. Lo que se afirma ahí es cierto; pero hay que demostrarlo. En particular para poder afirmar que los términos \( x-y,x-z,y+z \) son quintas potencias no veo otra forma de justificarlo sin previamente demostrar que esos factores (y el cuarto \( k_2 \)) son coprimos. En otro caso podría haber un factor primo que, estuviese en el producto elevado a la quinta, pero que se repartiese por ejemplo en un factor elevado al cubo y en el otro al cuadrado.

Saludos.

13 Octubre, 2018, 10:20 am
Respuesta #285

manooooh

  • Matemático
  • Mensajes: 2,989
  • País: ar
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola a todos

Sólo quería comentar que este hilo es un EXCELENTE ejemplo de superación y avance ante un monstruo como es el UTF :aplauso:. Felicitaciones a aureodd y Luis Fuentes por los aportes de ambos, que con más de 15 bloques y varios años debatiendo, desmintiendo, probando, publicando y, sobre todo, aprendiendo, de varios mensajes han demostrado su capacidad intelectual para llevar a cabo esta discusión. También mis felicitaciones a otros grandes usuarios del foro que también participaron y siguen participando de una prueba más fundamental del UTF y otros.

Esto claramente es un off-topic, así que lo pondré en un spoiler para no obstruir la bella discusión mantenida aquí hasta hace uno dos años:

Spoiler
Soy un completo noob ante teoría de números. Me parece fascinante tratar de abordar este tema con la menor complejidad posible, ya que sólo he visto desigualdades, ecuaciones no tan complicadas y ¡mucho cambio de variables!

Me gustaría confesar que he leído por encima cada uno de los argumentos. He observado que primero aureodd intentó utilizar argumentos para el caso general, pero luego Luis le ha recomendado particularizar, así la notación era más clara y concisa.

Entre observaciones no vistas ;) y las que han surgido de golpe, me quedé asombrado con este pequeño entrevero del señor Luis que encontré en mi lectura fugaz:

P.D. La otra noche tras poner el chupete a mi hija, me vino la luz y dos años después comprendí (entre otras cosas) creo que completamente tu nick.  ;)

OWWW ¡qué tierno! :laugh:. No sabía que tenías una pequeña hijita, qué alegría :). Bueno... en 2018 de "pequeña" tiene poco :laugh:, aunque algunos padres sostienen que los hijos siempre serán recordados de pequeños ("¿Recordás cuando te babeabas, cuando fuiste a la escuela, cuando te daba de comer, ...?").

Me imagino que tu hija forma parte de alguna que otra charla de matemáticas dictadas por su padre, por lo menos, eh :laugh: (ahora los hijos tenemos más independencia, por lo que decir "Tu hija debe ser matemática" queda mal visto). Espero que sea un poco más apasionada por las matemáticas que el resto y no como a mi que no me enseñaron a verla como la veo ahora, sino hubiera sido por el rinconmatematico.

Algo que me soprende es que en ciertos mensajes aparezcan expresiones matemáticas que son erróneas, como por ejemplo escribir \( \matbb \). ¿Esto hace varios años atrás era válido y en los mensajes se veía bien, o ustedes lo dejaban pasar? ¡Y esto se relaciona directamente con

manooooh definitivamente tienes un problema/virtud (todo depende del punto de vista) con la rigurosidad/flexibilidad de las notaciones. :D :D

¡Todavía tengo pendiente pensar algo con qué contestarte :laugh:!
[cerrar]

Gracias por encender una mecha de pasión por las matemáticas.

Saludos

26 Diciembre, 2018, 10:41 am
Respuesta #286

aureodd

  • Novato
  • Mensajes: 183
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
    • Matemáticas Recreativas, Juegos, Lógica, Ingenio, Matemáticos
Hola Luis.
En las páginas 9 y 10 de este hilo contienen varias proposiciones que creo llegan a una contradicción:
I) Esta primera cita la reescribo ya que contenía una errata. También cambio el nombre de la variable \( p_2 \) por \( a \).
La cuestión principal y la que perseguimos es confirmar que
PROP 1: \( p_1 \) y \( p \) no pueden tener algún factor común.

Hola el_manco,
voy a volver un momento a
I) \(  q^3-r^3-3^{3m-1}p^3=2\cdot 3^mpqr \)
y a que \( q-r \) lo podemos poner de la forma siguiente
\( (q-r)=3^{m-1}p_1 \)
Además
II) \( q^3-r^3-3^{3m-3}p_1^3=3qr\cdot3^{m-1}p_1 \)
También tenemos que \( q^3-r^3 \) es múltiplo de \( p \) y  \( p_1 \)
¿\( p_1 \) y \( p \) pueden tener algún factor común?
Creo que no:
Supongamos \( a \) el factor común de \( p_1 \) y \( p \)
\( q^3-r^3=(q-r)(q^2+qr+r^2) \)
pero si \( q-r \equiv 0 \pmod {p_{1}} \Rightarrow q-r \equiv 0 \pmod {a} \) entonces
\( q^2+qr+r^2 \equiv {3q^2} \pmod {a} \)
entonces \( q^2 \) es múltiplo de \( a \) (factor de \( p \)) luego \( q^2  \) y \( p \) no serían coprimos como hemos supuesto.
Es correcto?
Muchas gracias!
Saludos


Después de una pequeña discusión llegamos a que :

Si \( q^3-r^3=(q-r)(q^2+qr+r^2) \)
y
\( (q-r)=3^{m-1}p_1 \)
¿\( (q-r)  \) y \( (q^2+qr+r^2) \) pueden tener algún divisor común? Si lo tienen puede ser divisor de \( p \)?
Muchas gracias!
Saludos

Hola

 El único posible divisor común de \( (q-r) \) y \( (q^2+qr+r^2) \) es \( 3 \) ya que:

\(  (q^2+qr+r^2)-(q-r)^2=3qr \)

 y por ser \( q,r \) coprimos también lo son \( q,r,q-r \).

Saludos.
Hasta aquí no se si queda claro que \( p_1 \) y \( p \) no tienen algún factor común.

II) Para la siguiente proposición habíamos utilizado que (donde pone \( p_3 \) ponía \( p_1 \) pero lo cambiamos ya que \( p_1 \) se ha utilizado en la proposición 1):
Hola

 Perdón. Me estaba olvidando del factor \( 3^{2m-3} \), porque daba por hecho (y en eso estamos de acuerdo) que ese factor si divide a \( u \). Mi ejemplo sería:

\(  p=p_2\cdot p_3,\quad u=p_2\cdot p_2^2\cdot 3^{2m-3} \)

Saludos.

Después de una larga discusión llegamos a esta segunda proposición:

Hola

Hola,
podemos concluir entonces que
\( qr=3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3 \)
y que
\( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \) ?
Gracias!

Si.

Saludos.

Si \( q-r=3^{m-1}\cdot{p_2}A \) donde \( A=2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3} \)
si
\(  p=p_2\cdot p_3 \)
y si
\( (q-r)=3^{m-1}p_1 \)
entonces
\( p_1=p_2\cdot{A} \)
luego \( p \) y \( p_1 \) tienen a \( p_2 \) como factor común. ¿Esto contradice la PROP 1: \( p_1 \) y \( p \) no pueden tener algún factor común. ?
Muchas gracias!
Saludos



26 Diciembre, 2018, 12:15 pm
Respuesta #287

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 47,042
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Hola Luis.

Hola. ¡Cuánto tiempo!.

Básicamente el principal problema que sigo sin ver como de todo esto:

Citar
I) Esta primera cita la reescribo ya que contenía una errata. También cambio el nombre de la variable \( p_2 \) por \( a \).
La cuestión principal y la que perseguimos es confirmar que
PROP 1: \( p_1 \) y \( p \) no pueden tener algún factor común.

Hola el_manco,
voy a volver un momento a
I) \(  q^3-r^3-3^{3m-1}p^3=2\cdot 3^mpqr \)
y a que \( q-r \) lo podemos poner de la forma siguiente
\( (q-r)=3^{m-1}p_1 \)
Además
II) \( q^3-r^3-3^{3m-3}p_1^3=3qr\cdot3^{m-1}p_1 \)
También tenemos que \( q^3-r^3 \) es múltiplo de \( p \) y  \( p_1 \)
¿\( p_1 \) y \( p \) pueden tener algún factor común?
Creo que no:
Supongamos \( a \) el factor común de \( p_1 \) y \( p \)
\( q^3-r^3=(q-r)(q^2+qr+r^2) \)
pero si \( q-r \equiv 0 \pmod {p_{1}} \Rightarrow q-r \equiv 0 \pmod {a} \) entonces
\( q^2+qr+r^2 \equiv {3q^2} \pmod {a} \)
entonces \( q^2 \) es múltiplo de \( a \) (factor de \( p \)) luego \( q^2  \) y \( p \) no serían coprimos como hemos supuesto.
Es correcto?
Muchas gracias!
Saludos


Después de una pequeña discusión llegamos a que :

Si \( q^3-r^3=(q-r)(q^2+qr+r^2) \)
y
\( (q-r)=3^{m-1}p_1 \)
¿\( (q-r)  \) y \( (q^2+qr+r^2) \) pueden tener algún divisor común? Si lo tienen puede ser divisor de \( p \)?
Muchas gracias!
Saludos

Hola

 El único posible divisor común de \( (q-r) \) y \( (q^2+qr+r^2) \) es \( 3 \) ya que:

\(  (q^2+qr+r^2)-(q-r)^2=3qr \)

 y por ser \( q,r \) coprimos también lo son \( q,r,q-r \).

Saludos.
Hasta aquí no se si queda claro que \( p_1 \) y \( p \) no tienen algún factor común.

Se deduce que \( p_1 \) y \( p \) no tienen factor común. No se si me pierdo algo pero no lo veo.

Saludos.

09 Enero, 2019, 11:08 am
Respuesta #288

aureodd

  • Novato
  • Mensajes: 183
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
    • Matemáticas Recreativas, Juegos, Lógica, Ingenio, Matemáticos
Hola.
En efecto, las proposiciones utilizadas no demuestran que \( p \) y \( p_1 \) no puedan tener algún factor común.
De hecho los resultados que tenemos son
\( q-r=3^{m-1}\cdot{p_2}A \) donde \( A=2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3} \)
si
\(  p=p_2\cdot p_3 \)
y si
\( (q-r)=3^{m-1}p_1 \)
entonces
\( p_1=p_2\cdot{A} \)
Luego \( p_2 \) es el factor común de \( p \) y \( p_1 \).
Muchas gracias!
Saludos