[Luis Fuentes]

Hola

¿Valdría el mismo resultado para \( n=5 \)?
Es decir, para \( x^5=y^5+z^5  \)¿Se cumple también que
\(  x=(x+y+z)-(y+z)=5^{\frac{m+1}{5}}pqr-5^mp^5 \)
\(  y=(x+y+z)-(x+z)=5^{\frac{m+1}{5}}pqr-r^5 \)
\(  x+y=q^5 \)
?

Pues intenta seguir los pasos; probablemente se cumpla algo parecido. Cuando tenga tiempo lo miro yo. La diferencia esta en que ahora la factorización inicial es:

\( (x+y+z)^5=5(x+y)(x+z)(y+z)((x+y+z)^2-xy-xz-yz) \)

Es decir aparece un nuevo factor; para que te hagas una idea de como gestionarlo, echa un vistazo a este hilo que escribí para "entender" a mente_oscura; él manea mucho ese tipo de factorizaciones. En el hilo está descrito el caso \( n=7  \) pero es totalmente análgo:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=70714.0

Saludos.

[aureodd]

Hola el_manco,
el doc adjunto que utilicé para \( n=3 \) (faltaría incluir según apuntaste \( m\equiv 2 \pmod 3 \) y no sólo para \( m=2 \) como está actualmente) es una adaptación del doc para el caso general donde se cumple:
\( n(x+y)(x+z)M=b^n \)
donde uno de ellos tiene que ser múltiplo de \( n \) luego se puede poner
\( x+y=q^n \)
\( x+z=r^n \)
y
\( M=n^{m-1}p^n \) con \( m\equiv 0\pmod n \)
Entonces \( b=npqr \)
En definitiva son los mismos resultados que tienes en tu desarrollo en 4), 5) y 6) y que el nuevo factor que indicas queda dentro de \( M \).
Espero como siempre tus comentarios.
Muchas gracias!
Saludos

[aureodd]

Hola el_manco,
siguiendo mi notación y línea de trabajo para \( n=3 \) tenía
\( b=3^mpqr \)
\( 3(x-y)(y-b)M=b^3=(3^mpqr)^3 \)
con \( (x-y)=r^3 \)
\( y-b=3^{3m-1}p^3 \Rightarrow y=3^{3m-1}p^3 +3^mpqr  \)
entonces \( x=r^3+y \Rightarrow x=r^3+3^{3m-1}p^3 +3^mpqr \)
(además \(  M=q^3 \))
ya que \( (y+z-x)^3=b^3 \) entonces \( y+z-x=b \Rightarrow z=r^3+3^mpqr \)

Un pequeño inciso para comparar con lo que tenías en tu desarrollo (he cambiado los signos, ya que consideras enteros y yo he mantenido solo enteros positivos; creo no afecta...):
\( 3(x-y)(x-z)(y+z)=(3^mpqr)^3 \)
que es igual según mi desarrollo a
\( 3(x-y)(y-b)M=(3^mpqr)^3 \)
con \( (y-b)=(x-z) \)
y \( M=(y+z)=q^3 \)
(esto último es equivalente a poner \( y+z=x-b \Rightarrow x=q^3-3^mpqr \))

Podemos hacer entonces el mismo desarrollo que he utilizado más arriba y escribir para \( n=5 \) (sin tener en cuenta M)

\( x=r^5+5^{5m-1}p^3 +5^mpqr \)
\( y=5^{5m-1}p^5 +5^mpqr \)
\( z=r^5+5^mpqr \)

¿Es correcto?
Muchas gracias!
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Hola el_manco,
el doc adjunto que utilicé para \( n=3 \) (faltaría incluir según apuntaste \( m\equiv 2 \pmod 3 \) y no sólo para \( m=2 \) como está actualmente) es una adaptación del doc para el caso general donde se cumple:
\( n(x+y)(x+z)M=b^n \)
donde uno de ellos tiene que ser múltiplo de \( n \) luego se puede poner
\( x+y=q^n \)
\( x+z=r^n \)
y
\( M=n^{m-1}p^n \) con \( m\equiv 0\pmod n \)
Entonces \( b=npqr \)
En definitiva son los mismos resultados que tienes en tu desarrollo en 4), 5) y 6) y que el nuevo factor que indicas queda dentro de \( M \).
Espero como siempre tus comentarios.

Estoy un poco confundido y quizá un poco perzoso  . Veamos, del documento que adjuntas. ¿Qué hay nuevo? ¿Quieres qué lo vuelva a revisar por completo?. ¿O me estás preguntando sólo sobre la posible extensión del argumento a \( n=5 \)?.

Saludos.

[aureodd]

Hola,

Estoy un poco confundido y quizá un poco perzoso  . Veamos, del documento que adjuntas. ¿Qué hay nuevo? ¿Quieres qué lo vuelva a revisar por completo?. ¿O me estás preguntando sólo sobre la posible extensión del argumento a \( n=5 \)?.
Saludos.

El doc, es una versión antigua que ya revisaste, además no está completa, falta incluir según viste un caso mas general \( m\equiv 2 \pmod 3 \).
La he subido porque estaba alojada en otro servidor (y eso incumple las reglas de este foro ), además se ve como llegar al siguiente resultado:

Hola el_manco,
siguiendo mi notación y línea de trabajo para \( n=3 \) tenía
\( 3(x-y)(y-b)M=b^3=(3^mpqr)^3 \)
con \( b=3^mpqr \)

Según tus cálculos habías llegado a:

\( x=q^3-3^mpqr \)
\( y=3^{3m-1}p^3 +3^mpqr \)
\( z=r^3+3^mpqr \)

Y según lo siguiente

...tenía
\( 3(x-y)(y-b)M=b^3=(3^mpqr)^3 \)
con \( b=3^mpqr \)
Entonces podemos tomar
\( (x-y)=r^3 \).
\( y-b=3^{3m-1}p^3 \Rightarrow y=3^{3m-1}p^3 +3^mpqr  \)
por lo tanto \( x=r^3+y \Rightarrow x=r^3+3^{3m-1}p^3 +3^mpqr \)
(además \(  M=q^3 \))
ya que \( (y+z-x)^3=b^3 \) entonces \( y+z-x=b \Rightarrow z=r^3+3^mpqr \)

(Aquí sí he corregido el resultado del doc que subí en otra respuesta y he incluido el caso \( m\equiv 2 \pmod 3 \), pero aplicando un cambio de variable donde los exponentes son \( m \) y \( 3m-1 \)). Copio los valores de\(  x, y, z \) anteriores:

\( x=r^3+3^{3m-1}p^3 +3^mpqr \)
\( y=3^{3m-1}p^3 +3^mpqr \)
\( z=r^3+3^mpqr \)

Son correctas la cuentas y en efecto es equivalente esto último a tu resultado?

En ese caso, ¿Se puede extender para \( n=5 \)
 
\( x=r^5+5^{5m-1}p^5 +5^mpqr \)
\( y=5^{5m-1}p^5 +5^mpqr \)
\( z=r^5+5^mpqr \)

?
Muchas gracias!
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Según tus cálculos habías llegado a:

\( x=q^3-3^mpqr \)
\( y=3^{3m-1}p^3 +3^mpqr \)
\( z=r^3+3^mpqr \)

Y según lo siguiente

...tenía
\( 3(x-y)(y-b)M=b^3=(3^mpqr)^3 \)
con \( b=3^mpqr \)
Entonces podemos tomar
\( (x-y)=r^3 \).
\( y-b=3^{3m-1}p^3 \Rightarrow y=3^{3m-1}p^3 +3^mpqr  \)
por lo tanto \( x=r^3+y \Rightarrow x=r^3+3^{3m-1}p^3 +3^mpqr \)
(además \(  M=q^3 \))
ya que \( (y+z-x)^3=b^3 \) entonces \( y+z-x=b \Rightarrow z=r^3+3^mpqr \)

(Aquí sí he corregido el resultado del doc que subí en otra respuesta y he incluido el caso \( m\equiv 2 \pmod 3 \), pero aplicando un cambio de variable donde los exponentes son \( m \) y \( 3m-1 \)). Copio los valores de\(  x, y, z \) anteriores:

\( x=r^3+3^{3m-1}p^3 +3^mpqr \)
\( y=3^{3m-1}p^3 +3^mpqr \)
\( z=r^3+3^mpqr \)

Son correctas la cuentas y en efecto es equivalente esto último a tu resultado?

Son correctas y es equivalente a mi resultado; lo que pasa que hay que tener un poco de cuidado y "ahorcarse a algún palo con la notación". Porque además en el cambio del signo de \( x \), tampoco hemos usado con la misma función las variables \( p,q,r \). Al final son tres números coprimos que se distribuirán entre los tres factores; entonces dependiendo de que nombre asignemos a cada factor variará la notación.

Digo que hay que ahoracarse a algún palo, por miedo en que el algún momento se mezclen las dos notaciones y venga algún "lío".

Saludos.

P.D. Me falta mirar lo de \( n=5. \)

[aureodd]

Hola el_manco

Pues intenta seguir los pasos; probablemente se cumpla algo parecido. Cuando tenga tiempo lo miro yo. La diferencia esta en que ahora la factorización inicial es:

\( (x+y+z)^5=5(x+y)(x+z)(y+z)((x+y+z)^2-xy-xz-yz) \) (*)

Es decir aparece un nuevo factor; para que te hagas una idea de como gestionarlo, echa un vistazo a este hilo que escribí para "entender" a mente_oscura; él manea mucho ese tipo de factorizaciones. En el hilo está descrito el caso \( n=7  \) pero es totalmente análgo:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=70714.0

Saludos.

Si me permites prefiero utilizar la notación solo para naturales y expresar la fórmula  de (*) como
\( (y+z-x)^5=5(x-y)(x-z)(y+z)k_2 \) (**) con \( k_2 \) el nuevo factor que aparece en los casos para \( n>3 \)
entonces si es correcto que
\( x=r^5+5^{5m-1}p^5 +5^mpqr \)
\( y=5^{5m-1}p^5 +5^mpqr \)
\( z=r^5+5^mpqr \)
sustituyendo en (**) tenemos que
\( (5^mpqr )^5=5\cdot r^5 \cdot 5^{5m-1}p^5.(y+z).k_2 \) luego
\( q^5=(y+z).k_2 \)
como sabemos que \( y+z \) tiene que ser de la forma \( E^5 \) Entonces \( k_2 \) también tiene que ser de la forma \( F^5 \)
luego \( q=EF \). Es correcto?
Muchas gracias!
Saludos

[aureodd]

Hola. He estado revisando  lo siguiente:

Hola el_manco,
en los últimos resultados que habíamos tenido estaba intentado demostrar que no hay soluciones enteras para

\( (3^{m-1}A)^2 +4(3^2p^3-A^3)} }=T^2  \) para algún \( T>0 \)

Y según habías verificado se podía poner como
\( pX^2-tY^2=T^2 \) (*)
con \( X=2p \) , \( Y=6p+t \) , \( t=3^{2m-3} \) y \( p \) no múltiplo de \( 3 \). (**)

He revisado el documento que indicabas http://public.csusm.edu/aitken_html/notes/legendre.pdf
y creo que la proposición a la que hacías referencia era:

Proposition 1. If \( T^2 = pX^2 + tY^2 \) has a non-trivial Z-solution, then
(i) at least one of \( p \) and \( t \) is positive,
(ii) \( p \) is a square modulo \( |t| \),
(iii) \(  t \) is a square modulo \( |p| \), and
(iv) \(  - (p/d)(t/d) \) is a square modulo \( d \) where \( d \) is the GCD of \( p \) and \( t \).

entonces si
\( pX^2-tY^2=T^2 \) (*)
con \( X=2p \) , \( Y=6p+t \) , \( t=3^{2m-3} \) y \( p \) no múltiplo de \( 3 \). La ecuación de (*) la puedo reescribir como
\( 4p(p)^2-3(3^{m-2}Y)^2=T^2 \Rightarrow 4pX_1^2-3Y_1^2=T^2 \)
con \( p = X_1 \) y  \( 3^{m-2}Y=Y_1 \)
Pero según la proposición anterior existe un \( C \) de modo que
\( 3 \equiv C^2 \pmod {4p} \)
¿Esto último es posible?, es decir ¿\( C^2-3 \) puede ser múltiplo de \( 4 \) para algún \( C \)?
Muchas gracias!
Saludos
 

[Luis Fuentes]

Hola

entonces si
\( pX^2-tY^2=T^2 \) (*)
con \( X=2p \) , \( Y=6p+t \) , \( t=3^{2m-3} \) y \( p \) no múltiplo de \( 3 \). La ecuación de (*) la puedo reescribir como
\( 4p(p)^2-3(3^{m-2}Y)^2=T^2 \Rightarrow 4pX_1^2-3Y_1^2=T^2 \)
con \( p = X_1 \) y  \( 3^{m-2}Y=Y_1 \)
Pero según la proposición anterior existe un \( C \) de modo que
\( 3 \equiv C^2 \pmod {4p} \)
¿Esto último es posible?, es decir ¿\( C^2-3 \) puede ser múltiplo de \( 4 \) para algún \( C \)?

Pero según la proposición \( -3 \) (y no \( +3 \)) debería de ser un cuadrado módulo \( 4p \), y \( C^2+3 \) si puedes ser múltiplo de cuatro.

Saludos.

[aureodd]

Hola.
El mes de junio pasado tuve oportunidad de asistir a la conferencia de Nuno Frías sobre Las curvas elípticas y el último teorema de Fermat
http://www.fbbva.es/TLFU/tlfu/esp/agenda/eventos/fichaconfe/index.jsp?codigo=1339. Mis pretensiones no llegaban más allá que las que pueda tener un profano sobre este tema al que le fascinan las matemáticas. La exposición de la conferencia me pareció bastante divulgativa y amena a pesar de mi carencia de conocimientos...No recuerdo en que momento se trato una proposición que se suponía cierta cuando \( n\geq{5} \)....
Desde casi el principio de este hilo/historia hemos estado tratando el caso \( n=3 \) pero quisiera hacer una incursión en el caso donde \( n\geq{5} \) para ver si el nuevo factor puede llevarnos a encontrar alguna contradicción.
Extraigo la siguiente ecuación de la cita

. . .
\( (y+z-x)^5=5(x-y)(x-z)(y+z)k_2 \) con \( k_2 \) el nuevo factor que aparece en los casos para \( n>3 \)
. . .

Creo que podemos considerar dos casos distintos:
1) \( k_2 \) es mútiplo de \(  5  \)
2) \( k_2 \) NO es mútiplo de \(  5  \)

Si escribimos
\( y+z-x=5^{m}pqrt \)
y tenemos que
\( (y+z-x)^5=5(x-y)(x-z)(y+z)k_2 \)

para el caso 1) tendríamos:
\( x-y=r^5 \)
\( x-z=p^5 \)
\( y+z=q^5 \)
\( k_2=5^{5m-1}t^5 \)
entonces
\( x=q^5-5^mpqrt \) (*)
\( y=p^5 +5^mpqrt \)
\( z=r^5+5^mpqrt \)

(*) equivalente \( x=p^5+r^5+5^mpqrt \)

y para el caso 2) donde suponemos,por ejemplo, que \( x-z \) es múltiplo de \( 5 \)
\( x-y=r^5 \)
\( x-z=5^{5m-1}p^5 \)
\( y+z=q^5 \)
\( k_2=t^5 \)
nos queda entonces
\( x=q^5-5^mpqrt \) (**)
\( y=5^{5m-1}p^5 +5^mpqrt \)
\( z=r^5+5^mpqrt \)

(**) equivalente \( x=5^{5m-1}p^5+r^5+5^mpqrt \)

¿Podemos considerar estos dos casos con los valores para \( x \) , \( y \)  y \( z \) según se ha indicado?
Muchas gracias!
Saludos