Hola el_manco,
Te resumo como veo el asunto. Por todas las cuentas hechas hasta aquí sabemos que:
\( qr=3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3 \) (*)
\( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \)
Llamando \( p_1=p_2(2p_3+p_2^2\cdot 3^{2m-3}) \) se tiene que \( q-r=3^{m-1}p_1 \) y por tanto:
\( q^3-r^3-3^{3(m-1)}p_1^3=3\cdot3^{m-1}mp_1qr \)
Saludos.
De acuerdo con tu visión. Voy a volver a un desarrollo anterior de todo este asunto:
\( q=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3})+r \) que sustituyendo en (*)
nos queda
\( r.(3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3})+r) =3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3 \)
Tenemos una ecuación de segundo grado con \( r \) como incógnita
\( r\cdot3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3})+r^2 -3^2p_3^3+(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3=0 \)
Después de todas las vueltas que hemos dado me he atascado y no he avanzado en intentar encontrar que el discriminatante de la ecuación anterior es entero.
Llamando \( a=p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3 \) el discriminante de la ecuación sería
\( 3^{2m-2}.p_2^2.a^2+4(3^2p_3^3-a^3)=s^2 \) para algún \( s \) (es fácil ver que además \( s=q+r \))
\( a^2(3^{2m-2}p_2^2-4a)+4\cdot3^2p_3^3\Rightarrow \)
\( a^2(3^{2m-2}p_2^2-4(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3))+4\cdot3^2p_3^3\Rightarrow \)
\( a^2(p_2^2\cdot3^{2m-3}(3-4)-4\cdot2.p_3)+4\cdot3^2p_3^3=s^2 \)
Ahora llamo \( b=3^{2m-3}p_2^2 \)
\( 4\cdot3^2p_3^3-(2p_3+b)^2(8p_3+b)\Rightarrow \)
\( 4\cdot3^2p_3^3-(4p_3^2+4p_3b+b^2)(8p_3+b\Rightarrow \)
\( 4\cdot3^2p_3^3-(32p_3^3+36p_3^2b+12p_3b^2+b^3)\Rightarrow \)
\( 4p_3^3-(36p_3^2b+12p_3b^2+b^3)\Rightarrow \)
\( (2p_3)^2(p_3-9b)-b^2(12p_3+b)=s^2 \) (**)
Ecuación diofántica de grado 2 para \( b, p_3, s \)
Ya me apuntaste un doc
Hola
Mira por aquí por ejemplo:
http://public.csusm.edu/aitken_html/notes/legendre.pdf
Saludos.
Y la proposición a la que hacías referencia:
Proposition 1. If \( T^2 = pX^2 + tY^2 \) has a non-trivial Z-solution, then
(i) at least one of \( p \) and \( t \) is positive,
(ii) \( p \) is a square modulo \( |t| \),
(iii) \( t \) is a square modulo \( |p| \), and
(iv) \( - (p/d)(t/d) \) is a square modulo \( d \) where \( d \) is the GCD of \( p \) and \( t \).
He encontrado que los siguientes pares de números \( (p_3,b)=\{(190,15), (57,2), (228,8), (310,31), ... \} \) son solución a la ecuación (**)
\( (2p_3)^2(p_3-9b)-b^2(12p_3+b)=s^2 \)
pero \( b=3^{2m-3}p_2^2 \) y \( p_3 \) son coprimos y además \( p_3 \) tiene que se impar (ya hemos visto esto en esta larga "historia")
luego en un principio la única solución de las encontradas podría ser \( (p_3,b)=\{(57,2)\} \)
que además cumple la proposición anterior
(ii) \( p_3=57 \) lo podemos poner como un cuadrado módulo \( b=2 \) \( \Rightarrow 57-4\cdot2=7^2 \)
(iii) \( b=2 \) lo podemos poner como un cuadrado módulo \( p_3=57 \) \( \Rightarrow -2 +11\cdot57=25^2 \)
pero \( b=2 \neq{3^{2m-3}p_2^2 } \) tampoco puede ser solución....
En resumen, sabiendo que (**) tiene solución, ¿Sabes si existe alguna forma/algoritmo de encontrar todas las soluciones de (**)?
Esto nos servirá para ver (no se si de forma fácil) que esas soluciones no cumplen, como hemos visto en el pequeño conjunto de soluciones anteriores, que
\( b=3^{2m-3}p_2^2 \) y \( p_3 \) tienen que ser coprimos y además \( p_3 \) impar.
Muchas gracias!
Saludos
