Hola el_manco.
Como siempre disculpas por los errores y mil gracias por los comentarios/correcciones/etc...
No se me ocurre una manera más rápida/simple de exponer lo que sigue... Es muy fácil, aunque lo reviso antes de subirlo al foro, comenter errores...
No se si al final se llegará a alguna conclusión "interesante" y libre de errores... Muchas gracias!
Hola
Ok,
entonces para ver si se cumple
\( 3^{3m-1}p^3+r^3 \) tiene que ser de la forma \( 4(2t+1) \) para algún \( t \)
consideramos
I) \( 3^{3m-1}p_1+r_1 \) par.
Tenemos
\( 3^{3m-1}p^3+r^3 = \)
\( =8(3^{3m-1}p_1^3+r_1^3)+3\cdot4(3^{3m-1}p_1^2+r_1^2)+3\cdot2(3^{3m-1}p_1+r_1)+3^{3m-1}+1 \)
entonces
\( 3^{3m-1}p^3+r^3 \equiv 0 \pmod 4 \) si \( 3^{3m-1}+1 \equiv 0 \pmod 4 \) ( \( m \) par)
\( 3^{3m-1}p^3+r^3 \equiv 2 \pmod 4 \) si \( 3^{3m-1}+1 \equiv 2 \pmod 4 \) (\( m \) impar)
Luego no es posible ponerlo como \( 4(2t+1) \) para algún \( t \) ?
No veo claro porque dices que no es posible. ¿No puede darse esto?:
\( 3^{3m-1}p^3+r^3 \equiv 0 \pmod 4 \) si \( 3^{3m-1}+1 \equiv 0 \pmod 4 \) ( \( m \) par)
Sí. Tienes razón...hago la modifcación después de la siguiente cita:
I) \( 3^{3m-1}p_1+r_1 \) par.
Tenemos
\( 3^{3m-1}p^3+r^3 = \)
\( =8(3^{3m-1}p_1^3+r_1^3)+3\cdot4(3^{3m-1}p_1^2+r_1^2)+3\cdot2(3^{3m-1}p_1+r_1)+3^{3m-1}+1 \)
entonces
podemos poner
\( 3^{3m-1}p_1+r_1 = 2u \)
como \( 3^{3m-1}p_1^2+r_1^2 \) y \( 3^{3m-1}p_1^2+r_1^2 \) tienen la misma paridad que \( 3^{3m-1}p_1+r_1 = 2u \)
entonces
\( 8(3^{3m-1}p_1^3+r_1^3)+3\cdot4(3^{3m-1}p_1^2+r_1^2)+3\cdot2(3^{3m-1}p_1+r_1)+3^{3m-1}+1 \equiv \) (**)
\( \equiv 8\cdot 2u + 3\cdot4\cdot2.u+3\cdot2\cdot2u+3^{3m-1}+1 \pmod 2 =4\cdot13u+3^{3m-1}+1 \) (*)
Ahora tenemos dos casos dependiendo de la paridad de \( m \):
i) \( 3^{3m-1}+1 \equiv 0 \pmod 4 \) (\( m \) par)
\( 3^{3m-1}+1 = 4t \) para algún \( t \) impar (vimos que \( 3^{3m-1}+1 \) no puede ser múltiplo de \( 8 \)) (***)
(*) nos queda \( 3^{3m-1}p^3+r^3 =4(13u+t) \) y buscamos que \( 3^{3m-1}p^3+r^3 \) sea de la forma \( 4.impar \)
luego \( 13u+t \) impar, con \( t \) impar hace que \( 13u \) tenga que ser par, luego \( u \) par.
pero entonces si teníamos que \( q \equiv 0 \pmod 8 \) y \( u \) es par (\( 3^{3m-1}+1 \) múltiplo de \( 4 \))
en (**) todos los sumando son múltipos de \( 8 \) excepto \( 3^{3m-1}+1 \) (***)
es correcto
En caso afirmativo, este punto i) no puede darse ?
ii) \( 3^{3m-1}+1 \equiv 2 \pmod 4 \) (\( m \) par)
\( 3^{3m-1}+1 = 4t+2 \)
(*) nos queda \( 3^{3m-1}p^3+r^3 =4(13u+t)+2 \) que no es mútliplo de \( 4 \) y buscabamos que fuera \( 4\cdot impar \)
Luego este caso tampoco puede darse?
II) \( 3^{3m-1}p_1+r_1 \) impar (lo podemo poner como \( 2u+1 \) para algún u).
Para este caso si queremos ver si \( 3^{3m-1}p^3+r^3 \) es de la forma \( 4(2t+1) \) y ya que
\( 8(3^{3m-1}p_1^3+r_1^3)+3\cdot4(3^{3m-1}p_1^2+r_1^2) \equiv 0 \pmod 8 \)
Pero si \( 3^{3,-1}p_1+r_1 \) es impar entonces, módulo \( 8 \):
\( 3\cdot4(3^{3m-1}p_1^2+r_1^2)=4\cdot impar\not\equiv 0 \)
Entonces no veo porque dices:
\( 8(3^{3m-1}p_1^3+r_1^3)+3\cdot4(3^{3m-1}p_1^2+r_1^2) \equiv 0 \pmod 8 \)
Saludos.
Si los casos anteriores tienen algún error prefiero continuar con este caso en otro momento ....
Muchas gracias!
Saludos
