[Luis Fuentes]

Hola

Proposición 5: La siguiente igualdad no puede darse para números enteros:
\( (2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3})(p_3^2-8Ap_3-2A^2)-2qr=3^{2m-1}p^2 \)

Spoiler

La igualdad es consecuencia de la proposiciones anteriores. Los únicos términos que no son múltiplos de \( 3 \) son
\( 2p_3p_3^2 \)  y \( 2qr=2(3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3)\equiv 2\cdot(2p_3)^3 \pmod 3 \)
Entonces \( 2p_3p_3^2-2qr \) tiene que ser múltiplo de \( 3 \)
\( 2p_3p_3^2 - 2\cdot(2p_3)^3 = 2p_3(p_3^2-8) \equiv 0 \pmod 3  \) (*)
\( \color{red}2p_3p_3^2 - 2\cdot(2p_3)^3 = 2p_3^3(1+8) \equiv 0 \pmod 3\color{black}  \) Corregido
como \( p_3  \) no es múltiplo de \( 3 \)
se tiene que dar se da que \( \color{red}1+\color{black}8 \equiv 0 \pmod 3 \) que no es posible para \( p_3 \) entero.

[cerrar]

Creo que las cuentas de las primeras proposiciones son correctas. No veo el error en la quinta...Como siempre cualquier comentario será muy bien recibido.
Muchas gracias!
Saludos
Revisando después he visto que el error está en (*)...(ya está corregido)

Si, porque en realidad \( 2qr\equiv \color{red}-2(2p_3)^3\color{black},\quad mod\quad 3 \).

Saludos.

[aureodd]

\( r= \dfrac{{-3^{m-1}Ap_2+ \sqrt {(3^{m-1}Ap_2)^2 +4(3^2p_3^3-A^3)} }}{2} \)
 entonces:
\(  q=3^{m-1}A+r= \dfrac{{3^{m-1}Ap_2 + \sqrt {(3^{m-1}Ap_2)^2 +4(3^2p_3^3-A^3)} }}{2} \)
¿De aquí tenemos que \( q,r \) tienen que ser ambos impares ya que son coprimos?

No veo como de ahí deduces que \( q \) y \( r \) son los dos impares.

Saludos.

Vuelvo otra vez a esto ya que creo que \( p_2 \) si tiene que ser par.
Supongamos que no lo es, entonces (teníamos \( A=2p_3+3^{2m-3}p_2^2 \))
\( r=\dfrac{impar+\sqrt{impar}}{2}=\dfrac{impar+impar}{2}=\dfrac{-(2a+1)+(2b+1)}{2}=-a+b \) para algunos \( a,b \)
y del mismo modo tenemos que \( q=a+b \)
pero si \( p=p_2p_3 \) es impar, alguno de \( q,r \) tiene que se par, y esto hace que el otro también lo sea (no posible ya que \( q,r \) son coprimos)  \( r=-a+b \quad q=a+b \)
Es correcto?
Muchas gracias!
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Vuelvo otra vez a esto ya que creo que \( p_2 \) si tiene que ser par.
Supongamos que no lo es, entonces (teníamos \( A=2p_3+3^{2m-3}p_2^2 \))
\( r=\dfrac{impar+\sqrt{impar}}{2}=\dfrac{impar+impar}{2}=\dfrac{-(2a+1)+(2b+1)}{2}=-a+b \) para algunos \( a,b \)
y del mismo modo tenemos que \( q=a+b \)

No. Del mismo modo tenemos que \( q=a+b+1 \).

Saludos.

[aureodd]

Hola el_manco,
Ok. Me comí un uno. muchas gracias!
La proposición 1 anterior tuviste oportunidad de revisarla? Estás de acuerdo con que \( p_3 \) tiene que ser impar? 
Muchas gracias como siempre por la revisión de todas las respuestas. Pido disculpas a ti y a todos los que siguen este hilo por la "stupid storming" que estoy enviando últimamente...tanta notación, signos,... hace que se comentan estos errores tan absurdos... (incluso después de haberlos revisado y transcribirlos de nuevo al subirlos al foro).
Es cierto como dices que en las últimas respuestas hay circularidad, me han servido para corregir errores y encontrar que las cuentas son correctas.
Muchas gracias de nuevo!!
Saludos
 

[Luis Fuentes]

Hola

La proposición 1 anterior tuviste oportunidad de revisarla? Estás de acuerdo con que \( p_3 \) tiene que ser impar?

Si, correcto.
 

Muchas gracias como siempre por la revisión de todas las respuestas. Pido disculpas a ti y a todos los que siguen este hilo por la "stupid storming" que estoy enviando últimamente...tanta notación, signos,... hace que se comentan estos errores tan absurdos... (incluso después de haberlos revisado y transcribirlos de nuevo al subirlos al foro).

Bueno a veces se dan palos de ciego. Es cierto que la notación se hace algo mareante. Por otra parte y con la racha que llevamos en Galicia ya no nos austa ningún tipo de tormenta.

Saludos.

[aureodd]

Hola el_manco,
me gustaría revisar las paridades de \( p,q,r \)  para ver si puede darse la ecuación:

\( q^3= 3^{3m-1}p^3+r^3+2\cdot3^{m}pqr \)

donde se tiene que dar que uno y solo uno de \( p,q,r \) es par.
Voy a suponer \( p,r \) impares y \( q \) es par. Y suponer además que la potencia mínima máxima de \( 2 \) que divide a \( q \) es \( 1 \), es decir, \( q=2q_1 \) para algún \( q_1 \) impar.
La ecuación anterior nos queda:
\( 8q_1^3= 3^{3m-1}p^3+r^3+4\cdot3^{m}pq_1r \)
donde \( pq_1r \) es impar.
Para que el lado derecho de la igualdad anterior sea múltiplo de \( 8 \) entonces \( 3^{3m-1}p^3+r^3 \) tiene que se de la forma \( 4(2t+1) \) para algún \( t \)?
Si \( p,r \) impares se pueden poner como \( p=2p_1+1 \) , \( r=2r_1+1 \) para algunos \( p_1,r_1 \):
\( 3^{3m-1}p^3=3^{3m-1}(2p_1+1)^3=3^{3m-1}(8p_1^3+3\cdot4p_1^2+3\cdot2p_1+1) \)
\( r^3=(2r_1+1)^3=8r_1^3+3\cdot4r_1^2+3\cdot2r_1+1 \)
entonces
\( 3^{3m-1}p^3+r^3= \)
\( =8(3^{3m-1}p_1^3+r_1^3)+3\cdot4(3^{3m-1}p_1^2+r_1^2)+3\cdot2(3^{3m-1}p_1+r_1)+3^{3m-1}+1 \)
Es correcto?
Tenemos también y es fácil verificar que
\( 3^{3m-1}+1 \equiv 0 \pmod 4 \)  si m es par
\( 3^{3m-1}+1 \equiv 2 \pmod 4  \) si m es impar.
y
\( 3^{3m-1}+1 \equiv 2 \pmod 8 \)  si m es par impar
\( 3^{3m-1}+1 \equiv 4 \pmod 8  \) si m es impar par.
Es correcto?
Muchas gracias!
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Voy a suponer \( p,r \) impares y \( q \) es par. Y suponer además que la potencia mínima de \( 2 \) que divide a \( q \) es \( 1 \), es decir, \( q=2q_1 \) para algún \( q_1 \) impar.

Ahí creo que querías decir la potencia máxima.

\( 3^{3m-1}+1 \equiv 2 \pmod 8 \)  si m es par
\( 3^{3m-1}+1 \equiv 4 \pmod 8  \) si m es impar.

Al revés.

Lo demás bien.

Saludos.

[aureodd]

Hola el_manco,
muchas gracias por las correcciones, ya lo he corregido...

Ahora en relación a la paridad de
\( 3^{3m-1}p^3+r^3= \)
\( =8(3^{3m-1}p_1^3+r_1^3)+3\cdot4(3^{3m-1}p_1^2+r_1^2)+3\cdot2(3^{3m-1}p_1+r_1)+3^{3m-1}+1 \)
¿La paridad de \( 3^{3m-1}p_1+r_1 \) y es la misma que \( 3^{3m-1}p_1^3+r_1^3 \) y \( 3^{3m-1}p_1^2+r_1^2 \)?
Muchas gracias otra vez.
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Ahora en relación a la paridad de
\( 3^{3m-1}p^3+r^3= \)
\( =8(3^{3m-1}p_1^3+r_1^3)+3\cdot4(3^{3m-1}p_1^2+r_1^2)+3\cdot2(3^{3m-1}p_1+r_1)+3^{3m-1}+1 \)
¿La paridad de \( 3^{3m-1}p_1+r_1 \) y es la misma que \( 3^{3m-1}p_1^3+r_1^3 \) y \( 3^{3m-1}p_1^2+r_1^2 \)?
Muchas gracias otra vez.
Saludos

Si, porque \( x^2\equiv x \) módulo \( 2 \).

Saludos.

[aureodd]

Hola

Ahora en relación a la paridad de
\( 3^{3m-1}p^3+r^3= \)
\( =8(3^{3m-1}p_1^3+r_1^3)+3\cdot4(3^{3m-1}p_1^2+r_1^2)+3\cdot2(3^{3m-1}p_1+r_1)+3^{3m-1}+1 \)
¿La paridad de \( 3^{3m-1}p_1+r_1 \) y es la misma que \( 3^{3m-1}p_1^3+r_1^3 \) y \( 3^{3m-1}p_1^2+r_1^2 \)?
Muchas gracias otra vez.
Saludos

Si, porque \( x^2\equiv x \) módulo \( 2 \).

Saludos.

Ok,
entonces para ver si se cumple

\( 3^{3m-1}p^3+r^3 \) tiene que ser de la forma \( 4(2t+1) \) para algún \( t \)

consideramos
I) \( 3^{3m-1}p_1+r_1 \) par.
Tenemos
\(  3^{3m-1}p^3+r^3 = \)
\( =8(3^{3m-1}p_1^3+r_1^3)+3\cdot4(3^{3m-1}p_1^2+r_1^2)+3\cdot2(3^{3m-1}p_1+r_1)+3^{3m-1}+1 \)
entonces
\(  3^{3m-1}p^3+r^3 \equiv 0 \pmod 4 \) si \( 3^{3m-1}+1 \equiv 0 \pmod 4 \) ( \( m \) par)
\(  3^{3m-1}p^3+r^3 \equiv 2 \pmod 4 \) si \( 3^{3m-1}+1 \equiv 2 \pmod 4 \) (\( m \) impar)
Luego no es posible ponerlo como  \( 4(2t+1) \) para algún \( t \) ?

II)  \( 3^{3m-1}p_1+r_1 \) impar (lo podemo poner como \( 2u+1 \) para algún u).
Para este caso si queremos ver si \( 3^{3m-1}p^3+r^3  \) es de la forma  \( 4(2t+1) \) y ya que
\( 8(3^{3m-1}p_1^3+r_1^3)+3\cdot4(3^{3m-1}p_1^2+r_1^2) \equiv 0 \pmod 8  \)
Sería suficiente con ver si \( 3\cdot2(3^{3m-1}p_1+r_1)+3^{3m-1}+1 \) es de la forma \( 4(2t'+1) \) para algún \( t' \)?

Muchas Gracias!!
Saludos