[aureodd]

Hola,

Hola

Hola,
podemos concluir entonces que
\( qr=3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3 \)
y que
\( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \) ?
Gracias!

Si.

Saludos.

Si llamamos
\( A=2p_3+3^{2m-3}p_2^2 \)
entonces
\( q=3^{m-1}.p_2A + r \)
\( qr=3^2p_3^3-A^3=3^{m-1}.p_2Ar + r^2 \)
\( 3^{m-1}.p_2Ar + r^2- (3^2p_3^3-A^3)=0 \)
Luego
\( r= \dfrac{{-3^{m-1}Ap_2+ \sqrt {(3^{m-1}Ap_2)^2 +4(3^2p_3^3-A^3)} }}{2} \)
 entonces:
\(  q=3^{m-1}A+r= \dfrac{{3^{m-1}Ap_2 + \sqrt {(3^{m-1}Ap_2)^2 +4(3^2p_3^3-A^3)} }}{2} \)
¿De aquí tenemos que \( q,r \) tienen que ser ambos impares ya que son coprimos?

 

Hola,

El problema de todo esto es que no tengo claro que \( p,q,r \) tengan que ser positivos. Hay que echar la vista atrás y ver de donde viene la expresión con la que trabajas.

Todo viene de la notación clásica del UTF
\( x^n=y^n+z^n \)
utilizando que \( x,y,z \) son enteros positivos
Con esto había llegado a los siguientes resultados:

I) \( (3^{3m-1}p^3+r^3+3^{m}pqr)^3=(3^{3m-1}p^3+3^{m}pqr)^3+(r^3+3^{m}pqr)^3 \)
donde
\( x^3=(3^{3m-1}p^n+r^3+3^{m}pqr)^3 \)
\( y^3=(3^{3m-1}p^3+3^{m}pqr)^3 \)
\( z^3=(r^3+3^{m}pqr)^3 \)

II) \( (q^3-3^{m}pqr)^3=(3^{3m-1}p^3+3^{m}pqr)^3+(r^3+3^{m}pqr)^3 \)

Utilizando I) en II)
\( (3^{3m-1}p^3+r^3+3^{m}pqr)^3=(q^3-3^{m}pqr)^n \)
obtengo el resultado en III)

III) \( q^3= 3^{3m-1}p^3+r^3+2\cdot3^{m}pqr \)

Si \( q,r \) son impares ¿Entonces \( q-r \) tiene que ser par? Sí es así, de
\( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \) tenemos que \( p_2 \) es par y \( p_3 \) impar (teníamos que \( p=p_2p_3 \) con \( p_2,p_3 \) coprimos)?
Muchas gracias!
Saludos

[aureodd]

Hola,
si no hay errores en que \( q,r \) son impares y \( p \) par (\( p=p_2p_3 \) con \( p_2 \) par y \( p_3  \) impar)
entonces en
\( q^3= 3^{3m-1}p^3+r^3+2\cdot3^{m}pqr \)
\( q^3-r^3= 3^{3m-1}p^3+2\cdot3^{m}pqr \)
\( \underbrace{(q-r)}_{par}\underbrace{(q^2+qr+r^2)}_{impar}= 3^{3m-1}p^3+2\cdot3^{m}pqr \)
entonces
la potencia mínima de \( 2 \) que divide a \( q-r \) es \( 2 \) es decir \( q-r \equiv 0 \pmod { 2^2} \) (*)
pero teníamos \( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \)
entonces se tendría que dar \( p_2\equiv 0 \pmod { 2^2} \)
pero entonces tendríamos \( 3^{3m-1}p^3+2\cdot3^{m}pqr  \equiv 0 \pmod {2^3}  \)
y esto contradice la suposición de (*).
No veo que esta mal
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Hola,
El subir esta respuesta al foro es únicamente para verificar que los cuentas y resultados son correctos. No se llega al final a ninguna contradicción por lo que creo no aporta nada a este asunto. Lo pongo como spoiler
. . .

Spoiler

Entonces si teníamos (\( C \) no es el mismo que hemos utilizado en las cuentas anteriores donde \( C=0 \))

\( qr=Ap_3-Bp_2 \) (I)
\( q-r=Cp_3-Dp_2 \) (II)
para algunos \(  A,B,C,D \) enteros

Repitiendo las cuentas que hemos hecho para \( qr=Ap_3-Bp_2 \) tenemos que todas las soluciones para
\( q-r=Cp_3-Dp_2 \)
son de la forma
\( q-r=\underbrace{(a(q-r)+sp_2)}_{C}p_3- \underbrace{(b(q-r)+sp_3)}_{D}p_2 \) para cuaquier \( s \)
donde \(  1=ap_3-bp_2 \)
Y del mismo modo que hicimos para \( k \) se tiene que dar que
\( s=aD-bC \)
Por otro lado teníamos

Hola,
podemos concluir entonces que
\( qr=3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3 \)
y que
\( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \) ?

\( q-r=(3^{m-1}.p_2\cdot2)p_3 + (p_2^2\cdot3^{2m-3}3^{m-1})p_2 \)
luego si todas las soluciones para \( q-r \) son de la forma
\( q-r=\underbrace{(a(q-r)+sp_2)}_{C}p_3- \underbrace{(b(q-r)+sp_3)}_{D}p_2 \)
entonces
\( C=3^{m-1}.p_2\cdot2 \)
\( D=-p_2^2\cdot3^{2m-3}3^{m-1} \)
Sustituyendo los valores de anteriores \( q-r, s, C \) en
\( a(q-r)+sp_2=C \)
\( a\cdot\underbrace{3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3})}_{q-r}+\underbrace{(aD-bC)}_{s}p_2=\underbrace{3^{m-1}.p_2\cdot2}_{C} \Rightarrow \)
\( a\cdot3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3})+ap_2\underbrace{(-p_2^2\cdot3^{2m-3}3^{m-1})}_{D}-bp_2\underbrace{(3^{m-1}.p_2\cdot2)}_{C}= \)
\( =3^{m-1}.p_2\cdot2 \)
diviendo todo por \( 3^{m-1}.p_2 \)
\( a(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3})+a(-p_2^2\cdot3^{2m-3})-2bp_2=2 \)
\( a2p_3-b2p_2=2 \Rightarrow ap_3-bp_2=1  \)

[cerrar]

Si, creo que están bien. Me reservo el derecho a haber cometido algún error en la revisión; y es que me cuesta concentrarme al 100% en las cuentas si no sé a donde quieren ir a parar. Lo que me llama la antención del desarrollo del Spoiler es que al final terminas con un:

\( a2p_3-b2p_2=2 \Rightarrow ap_3-bp_2=1  \)

Pero \( ap_3-bp_2=1 \) es precisamente una de las suposiciones que usamos en el comienzo; las cuentas en ese sentido me parecen coherentes, pero con un gran tufillo de circularidad.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 Vamos por partes.

Si llamamos
\( A=2p_3+3^{2m-3}p_2^2 \)
entonces
\( q=3^{m-1}.p_2A + r \)
\( qr=3^2p_3^3-A^3=3^{m-1}.p_2Ar + r^2 \)
\( 3^{m-1}.p_2Ar + r^2- (3^2p_3^3-A^3)=0 \)
Luego
\( r= \dfrac{{-3^{m-1}Ap_2+ \sqrt {(3^{m-1}Ap_2)^2 +4(3^2p_3^3-A^3)} }}{2} \)
 entonces:
\(  q=3^{m-1}A+r= \dfrac{{3^{m-1}Ap_2 + \sqrt {(3^{m-1}Ap_2)^2 +4(3^2p_3^3-A^3)} }}{2} \)
¿De aquí tenemos que \( q,r \) tienen que ser ambos impares ya que son coprimos?

No veo como de ahí deduces que \( q \) y \( r \) son los dos impares.

Saludos.

[aureodd]

\( r= \dfrac{{-3^{m-1}Ap_2+ \sqrt {(3^{m-1}Ap_2)^2 +4(3^2p_3^3-A^3)} }}{2} \)
 entonces:
\(  q=3^{m-1}A+r= \dfrac{{3^{m-1}Ap_2 + \sqrt {(3^{m-1}Ap_2)^2 +4(3^2p_3^3-A^3)} }}{2} \)
¿De aquí tenemos que \( q,r \) tienen que ser ambos impares ya que son coprimos?

No veo como de ahí deduces que \( q \) y \( r \) son los dos impares.

Saludos.

 \( q,r \) no pueden ser los dos pares a la vez ya que son coprimos. Se tiene que \( q,r \) son de la forma
\( q=\dfrac{-a+b}{2} \qquad r=\dfrac{a+b}{2} \)
\( q+r=b \) par
\( q-r=a \) par
si uno de ellos es par entonces el otro tambien?
Luego los dos son impares?
Muchas gracias!
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

\( q,r \) no pueden ser los dos pares a la vez ya que son coprimos. Se tiene que \( q,r \) son de la forma
\( q=\dfrac{-a+b}{2} \qquad r=\dfrac{a+b}{2} \)
\( q+r=b \) par
\( q-r=a \) par
si uno de ellos es par entonces el otro tambien?
Luego los dos son impares?
Muchas gracias!
Saludos

Ahí estarías suponiendo que \( 3^{m-1}Ap_2 \) es par. Si sabemos eso no hace falta complicarse tanto, desde el principio tendríamos \( q-r=3^{m-1}Ap_2 \) par y por tanto \( q \) y \( r \) tendrían la misma paridad.

Pero... ¿lo sabemos?...¿es \( 3^{m-1}Ap_2 \) es par?.

Saludos.

[aureodd]

Hola,
Ok, he revisado mis notas y veo que he partido del supuesto de que \( p \) es par, luego \( q,r \) son impares. (me quedaría ver el caso para el que\(  q \) o \( r \) es alguno de ellos par con \( p \) impar)

Entonces para este supuesto que \( p \) sea par con \( p=p_2.p_3 \) solo se puede dar que \( p_2 \) par y \( p_3 \) impar:
Si \( q,r \) impares \( q-r \) par, luego \( p_2 \) par por \( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \)
Entonces si \( p_2 \) par,\(  p_3 \) tiene que ser impar:
Como \( qr \) es impar, y \(  p_2 \) par
\( qr=3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3 \)
entonces \( p_3 \) impar (después de escribir esto he recordado que \( p_2 \) y \( p_3 \) eran coprimos  ).
Es correcto hasta aquí?
Si es así podemos seguir con este supuesto (he incorporado algunas modificaciones en rojo:

Hola,
si no hay errores en que \( q,r \) son impares y \( p \) par (\( p=p_2p_3 \) con \( p_2 \) par y \( p_3  \) impar)
entonces en
\( q^3= 3^{3m-1}p^3+r^3+2\cdot3^{m}pqr \)
\( q^3-r^3= 3^{3m-1}p^3+2\cdot3^{m}pqr \)
\( \underbrace{(q-r)}_{par}\underbrace{(q^2+qr+r^2)}_{impar}= 3^{3m-1}p^3+2\cdot3^{m}pqr \)
entonces supongamos que
la potencia mínima máxima de \( 2 \) que divide a \( q-r \) es \( 2 \) es decir \( q-r \equiv 0 \pmod { 2^2} \) (*)
pero teníamos \( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \)
entonces se tendría que dar \( p_2\equiv 0 \pmod { 2^2} \)
pero entonces tendríamos \( 3^{3m-1}p^3+2\cdot3^{m}pqr  \equiv 0 \pmod {2^3}  \)
y esto contradice la suposición de (*).
No veo que esta mal
Saludos

Muchas gracias!
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Hola,
Ok, he revisado mis notas y veo que he partido del supuesto de que \( p \) es par, luego \( q,r \) son impares. (me quedaría ver el caso para el que\(  q \) o \( r \) es alguno de ellos par con \( p \) impar)

Entonces para este supuesto que \( p \) sea par con \( p=p_2.p_3 \) solo se puede dar que \( p_2 \) par y \( p_3 \) impar:
Si \( q,r \) impares \( q-r \) par, luego \( p_2 \) par por \( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \)
Entonces si \( p_2 \) par,\(  p_3 \) tiene que ser impar:
Como \( qr \) es impar, y \(  p_2 \) par
\( qr=3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3 \)
entonces \( p_3 \) impar (después de escribir esto he recordado que \( p_2 \) y \( p_3 \) eran coprimos  ).
Es correcto hasta aquí?

Si, creo que si.

Hola,
si no hay errores en que \( q,r \) son impares y \( p \) par (\( p=p_2p_3 \) con \( p_2 \) par y \( p_3  \) impar)
entonces en
\( q^3= 3^{3m-1}p^3+r^3+2\cdot3^{m}pqr \)
\( q^3-r^3= 3^{3m-1}p^3+2\cdot3^{m}pqr \)
\( \underbrace{(q-r)}_{par}\underbrace{(q^2+qr+r^2)}_{impar}= 3^{3m-1}p^3+2\cdot3^{m}pqr \)
entonces supongamos que
la potencia mínima máxima de \( 2 \) que divide a \( q-r \) es \( 2 \) es decir \( q-r \equiv 0 \pmod { 2^2} \) (*)
pero teníamos \( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \)
entonces se tendría que dar \( p_2\equiv 0 \pmod { 2^2} \)

No necesariamente, podría ocurrir \( p_2\equiv 2 \pmod { 2^2} \).

Saludos.

[aureodd]

Hola,

pero teníamos \( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \)
entonces se tendría que dar \( p_2\equiv 0 \pmod { 2^2} \)

No necesariamente, podría ocurrir \( p_2\equiv 2 \pmod { 2^2} \).

Saludos.

Ok

Spoiler

Si \( p_2\equiv 2 \pmod { 2^2} \). entonces podemos poner \( p_2=2(2k+1) \) para algún \( k \)
sustituyendo en
\( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3})= \)
\( =3^{m-1}\cdot2(2k+1)(2p_3+(2(2k+1))^2\cdot3^{2m-3})= \)
\( =3^{m-1}\cdot4(2k+1)(p_3+2(2k+1)^2\cdot3^{2m-3}) \)
Y esto no contradice la suposición
\( q-r \equiv 0 \pmod { 2^2} \)

[cerrar]

Muchas gracias
Saludos

[aureodd]

Hola,
para lo siguiente voy a necesitar: Pensaba que llegaba a una contradicción en la proposición 5. Como no ha sido así, por el error, el resto de proposiciones son simplemente cuentas
Proposición 1: \( p_3  \) es impar

Spoiler

Voy a suponer \( p_3 \) par. Como es coprimo con \( p_2,q,r \) entonces estos son impares y \( q-r \) es entonces par.
Como \( q-r=\underbrace{3^{m-1}.p_2}_{impar}\underbrace{(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3})}_{impar} \)
Luego \( p_3 \) tiene que se impar

[cerrar]

Proposición 2: \( \dfrac{q-r}{3^{m-1}p_2} = 2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3} \)

Spoiler

Viene de \( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \)

[cerrar]

Proposición 3: \( \dfrac{q^2+qr+r^2}{3p_3} =p_3^2-8Ap_3-2A^2 \)
con \( A=p_2^2\cdot3^{2m-3} \)

Spoiler

\( q^2+qr+r^2=(q-r)^2+3qr \)
Sustitimos los valores de \( qr,q-r \) que teníamos
\( qr=3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3= \)
\( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \)
con \( A=p_2^2\cdot3^{2m-3} \) nos quedan
\( qr=3^2p_3^3-(A+2p_3)^3 \)
\( q-r=3^{m-1}.p_2(A+2p_3) \)
entonces
\( 3qr=3^3p_3^3-3(A+2p_3)^3=3^3p_3^3-(3A^3+3^2A^2\cdot2p_3+3^2A(2p_3)^2+3(2p_3)^3)= \)
\( \qquad=3p_3^3-3A^3-18A^2p_3-36Ap_3^2 \)

\( (q-r)^2=3^{2m-2}.p_2^2(A+2p_3)^2=3A(A^2+4Ap_3+4p_3^2)= \)
\( \qquad=3A^3+12A^2p_3+12Ap_3^2 \)

Luego
\( q^2+qr+r^2=(q-r)^2+3qr=3p_3(p_3^2-8Ap_3-2A^2) \)
y
\( \dfrac{q^2+qr+r^2}{3p_3} =p_3^2-8Ap_3-2A^2 \)
como queríamos demostrar.

[cerrar]

Proposición 4: \( \dfrac{q^2+qr+r^2}{3p_3}. \dfrac{q-r}{3^{m-1}p_2}=3^{2m-1}p^2+2qr \)

Spoiler

Teníamos
\( q^3-r^3= 3^{3m-1}p^3+2\cdot3^{m}pqr\Rightarrow \)
\( (q-r)(q^2+qr+r^2)= 3^{3m-1}p^3+2\cdot3^{m}pqr=3^mp_2p_3(3^{2m-1}p^2+2qr) \) (teníamos que \( p=p_2p_3 \))
Entonces
\( \dfrac{q^2+qr+r^2}{3p_3}. \dfrac{q-r}{3^{m-1}p_2}=3^{2m-1}p^2+2qr \)
qed

[cerrar]

Proposición 5: La siguiente igualdad no puede darse para números enteros:
\( (2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3})(p_3^2-8Ap_3-2A^2)-2qr=3^{2m-1}p^2 \)

Spoiler

La igualdad es consecuencia de la proposiciones anteriores. Los únicos términos que no son múltiplos de \( 3 \) son
\( 2p_3p_3^2 \)  y \( 2qr=2(3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3)\equiv 2\cdot(2p_3)^3 \pmod 3 \)
Entonces \( 2p_3p_3^2-2qr \) tiene que ser múltiplo de \( 3 \)
\( 2p_3p_3^2 - 2\cdot(2p_3)^3 = 2p_3(p_3^2-8) \equiv 0 \pmod 3  \) (*)
\( \color{red}2p_3p_3^2 - 2\cdot(2p_3)^3 = 2p_3^3(1+8) \equiv 0 \pmod 3\color{black}  \) Corregido
como \( p_3  \) no es múltiplo de \( 3 \)
se tiene que dar se da que \( \color{red}1+\color{black}8 \equiv 0 \pmod 3 \) que no es posible para \( p_3 \) entero.

[cerrar]

Creo que las cuentas de las primeras proposiciones son correctas. No veo el error en la quinta...Como siempre cualquier comentario será muy bien recibido.
Muchas gracias!
Saludos
Revisando después he visto que el error está en (*)...(ya está corregido)