[aureodd]

Hola,
tenemos entonces
\( (qr,k)=(-p_2B,aB)+k_1(p_3,-b) \)
\( (qr,k)=(Ap_3,-bA)+k_2(-p_2,a) \)
luego
\( qr=-p_2B+k_1p_3=Ap_3-k_2p_2 \Rightarrow p_2(k_2-B)=p_3(A-k_1) \)
\( k=aB-k_1b=-bA+k_2a\Rightarrow a(B-k_2)=b(k_1-A) \)
pero teníamos que \( p_2,p_3 \) son coprimos
luego de
\( 1=ap_3-bp_2 \) tenemos que \( a,b \) tienen que ser coprimos entre ellos, y también con \( p_2,p_3 \)?
Si es así, se pueden dar las siguientes igualdades
\( p_2(k_2-B)=p_3(A-k_1) \)
\( a(B-k_2)=b(k_1-A) \)
?
Es decir,
\( p_2(k_2-B)=p_3(A-k_1) \Rightarrow p_2 =(A-k_1) \)
\( a(B-k_2)=b(k_1-A)  \Rightarrow a=(k_1-A) \)
Luego\(  p_2=-a \) ?

Muchas gracias!
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Hola,
tenemos entonces
\( (qr,k)=(-p_2B,aB)+k_1(p_3,-b) \)
\( (qr,k)=(Ap_3,-bA)+k_2(-p_2,a) \)
luego
\( qr=-p_2B+k_1p_3=Ap_3-k_2p_2 \Rightarrow p_2(k_2-B)=p_3(A-k_1) \)
\( k=aB-k_1b=-bA+k_2a\Rightarrow a(B-k_2)=b(k_1-A) \)
pero teníamos que \( p_2,p_3 \) son coprimos
luego de
\( 1=ap_3-bp_2 \) tenemos que \( a,b \) tienen que ser coprimos entre ellos, y también con \( p_2,p_3 \)?

De \( 1=ap_3-bp_2 \) se deduce que los pares de coprimos son \( (a,b),(a,p_2),(p_3,b),(p_3,p_2). \)

Por otro lado ese pero que he marcado en rojo, no estoy seguro de si indica que crees que hay algo chocante o contradictorio ahí. Yo creo que no lo hay.

Saludos.

[aureodd]

Hola el_manco,
por error he publicado incompleto mi respuesta anterior y la he modificado mientras respondías...

De \( 1=ap_3-bp_2 \) se deduce que los pares de coprimos son \( (a,b),(a,p_2),(p_3,b),(p_3,p_2). \)

Por otro lado ese pero que he marcado en rojo, no estoy seguro de si indica que crees que hay algo chocante o contradictorio ahí. Yo creo que no lo hay.

Saludos.

creo que en lo que no llegaste a leer respondo a lo anterior:

. . . pero teníamos que \( p_2,p_3 \) son coprimos
luego de
\( 1=ap_3-bp_2 \) tenemos que \( a,b \) tienen que ser coprimos entre ellos, y también con \( p_2,p_3 \)?
Si es así, se pueden dar las siguientes igualdades
\( p_2(k_2-B)=p_3(A-k_1) \)
\( a(B-k_2)=b(k_1-A) \)
?
Es decir,
\( p_2(k_2-B)=p_3(A-k_1)\Rightarrow p_2 =(A-k_1) \)
\( a(B-k_2)=b(k_1-A)\Rightarrow a=(k_1-A) \)
Luego\(  p_2=-a \) ?

Muchas gracias!
Saludos

Mil disculpas.

Muchas gracias!!
Saludos

[aureodd]

Hola,
revisando

\( p_2(k_2-B)=p_3(A-k_1)\Rightarrow p_2 =(A-k_1) \)
\( a(B-k_2)=b(k_1-A)\Rightarrow a=(k_1-A) \)
Luego\(  p_2=-a \) ?

hay un error en \( p_2(k_2-B)=p_3(A-k_1)\Rightarrow p_2 =(A-k_1) \) (también en \( a(B-k_2)=b(k_1-A)\Rightarrow a=(k_1-A) \))
de \( p_2(k_2-B)=p_3(A-k_1)  \) lo que podemos deducir es que
\( k_2-B=Cp_3 \) para algún \( C \)
y
\( A-k_1=Cp_2 \)
pero entonces
\( a(B-k_2)=b(k_1-A)\Rightarrow -ap_3C=-bp_2C \Rightarrow ap_3=bp_2 \Rightarrow  \)
\( a=p_2 \) y \( b=p_3 \)
¿Esto contradice lo que indicabas en:

De \( 1=ap_3-bp_2 \) se deduce que los pares de coprimos son \( (a,b),(a,p_2),(p_3,b),(p_3,p_2). \)

?
Muchas gracias!!
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 El último razonamiento que haces creo que está bien, y efectivamente sería una contradicción con la coprimalidad que yo apuntaba.

 Pero entonces...¡tiene qué haber algún error previo!. Hay un tufillo de circularidad en todo el argumento. El punto de partida si echamos la vista atrás es que:

\(  1=ap_3-bp_2 \)

 y de ahí deducimos que la solución de:

\(  qr=Ap_3-Bp_2  \)

 es:

\(  A=aqr+kp_2,\qquad B=bqr+kp_3 \)

 No hay nada contradictorio en esas ecuaciones (no al menos sin hacer intervenir quien era \( q,r \), etcétera... cosa que no estamos haciendo). El sabor a circularidad está en que reutilizamos y reutilizamos esas ecuaciones cambiando el punto de vista de "que cosa" tomamos como incógnita.

 Entonces si no me equivoco el fallo está en que hemos usado:

¿Entonces todas las soluciones para \( 1=bqr+kp_3 \) son de la forma

 ¡Pero de dónde nos sacamos que \( 1=bqr+kp_3 \)!. Lo que realmente se tiene es que \( B=bqr+kp_3 \).

Saludos.

[aureodd]

Hola,

 ¡Pero de dónde nos sacamos que \( 1=bqr+kp_3 \)!. Lo que realmente se tiene es que \( B=bqr+kp_3 \).

Saludos.

En efecto lo que se tiene, es \( B=bqr+kp_3 \). ¿Como encontramos las soluciones de esta ecuación diofántica para \( qr,k \) con \( b,p_3 \) coprimos? Encontrando como hemos hecho las soluciones para  \( 1=bqr+kp_3 \)?
Es cierto que hay cierta circularidad en el argumento... el origen es la ecuación
\(  q^3-r^3-3^{3m-1}p^3=2\cdot 3^mpqr \) con \( pq,r \) coprimos.
Luego vimos que \( p=p_2p_3 \)  también coprimos...
y concluyendo

Hola

Hola,
podemos concluir entonces que
\( qr=3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3 \)
y que
\( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \) ?
Gracias!

Si.

Saludos.

Después creo que lo mas "interesante" es el hecho de que \(  qr  \) y \( q-r \)

Lo podemos poner como
\( qr=Ap_3-Bp_2 \) (I)
\( q-r=Cp_3-Dp_2 \) (II)
para algunos \(  A,B,C,D \) enteros
Para encontrar soluciones a las dos ecuaciones anteriores podemos buscar las soluciones de
\( 1=Ap_3-Bp_2 \)
\( 1=Cp_3-Dp_2 \)

Los últimos resultados son consecuencia de tratar de encontrar las soluciones para (I)...

Si no ves nada "raro" en todo esto, como te parece que podemos continuar?
Muchas gracias como siempre por tu atenta lectura y comentarios en este hilo.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Hola,

 ¡Pero de dónde nos sacamos que \( 1=bqr+kp_3 \)!. Lo que realmente se tiene es que \( B=bqr+kp_3 \).

Saludos.

En efecto lo que se tiene, es \( B=bqr+kp_3 \). ¿Como encontramos las soluciones de esta ecuación diofántica para \( qr,k \) con \( b,p_3 \) coprimos? Encontrando como hemos hecho las soluciones para  \( 1=bqr+kp_3 \)?

Si, tienes razón, es correcto como lo has usado. No obstante hay que tener un poco de cuidado con ese tipo de argumentos, cuando tratamos como incógnitas generales, variables que en realidad se consideran fijas en el contexto general de nuestro desarrollo. Digo esto por que es claro que el \( (qr,k) \) solución de \( 1=bqr+kp_3 \) no es el mismo que el \( (qr,k) \) solución de \( B=bqr+kp_3 \) (a no ser que \( B=1 \)). Pensé que el error iba por ahí, pero ciertamente no es así.

¡El error es otro! (ahora si lo encontré  )

de \( p_2(k_2-B)=p_3(A-k_1)  \) lo que podemos deducir es que
\( k_2-B=Cp_3 \) para algún \( C \)
y
\( A-k_1=Cp_2 \)
pero entonces
\( a(B-k_2)=b(k_1-A)\Rightarrow -ap_3C=-bp_2C \Rightarrow ap_3=bp_2 \Rightarrow  \)

El problema es que ese \( C \) puede ser cero y por tanto no puedes simplificarlo. De hecho \( C=0 \) y por tanto \( A=k_1 \) y \( B=k_2 \), lo cuál si deshacemos la madeja era una obviedad (visto ahora) desde el principio si tenemos en cuenta que partimos de:

\(  qr=Ap_3-Bp_2  \)

Por tanto:

\( (qr,k)=(-p_2B,aB)+\color{red}A\color{black}(p_3,-b) \)
\( (qr,k)=(Ap_3,-bA)+\color{red}B\color{black}(-p_2,a) \)

Saludos.

[aureodd]

¡El error es otro! (ahora si lo encontré  )

(es broma   )

de \( p_2(k_2-B)=p_3(A-k_1)  \) lo que podemos deducir es que
\( k_2-B=Cp_3 \) para algún \( C \)
y
\( A-k_1=Cp_2 \)
pero entonces
\( a(B-k_2)=b(k_1-A)\Rightarrow -ap_3C=-bp_2C \Rightarrow ap_3=bp_2 \Rightarrow  \)

El problema es que ese \( C \) puede ser cero y por tanto no puedes simplificarlo. De hecho \( C=0 \) y por tanto \( A=k_1 \) y \( B=k_2 \), lo cuál si deshacemos la madeja era una obviedad (visto ahora) desde el principio si tenemos en cuenta que partimos de:

\(  qr=Ap_3-Bp_2  \)

Por tanto:

\( (qr,k)=(-p_2B,aB)+\color{red}A\color{black}(p_3,-b) \)
\( (qr,k)=(Ap_3,-bA)+\color{red}B\color{black}(-p_2,a) \)

Saludos.

Esta vez no se me habría ocurrido que el error estuviera en una división por cero...
Muchas gracias!!!
Saludos

[elcristo]

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=71265.0

 

[aureodd]

Hola,
El subir esta respuesta al foro es únicamente para verificar que los cuentas y resultados son correctos. No se llega al final a ninguna contradicción por lo que creo no aporta nada a este asunto. Lo pongo como spoiler
. . .

Spoiler

Entonces si teníamos (\( C \) no es el mismo que hemos utilizado en las cuentas anteriores donde \( C=0 \))

\( qr=Ap_3-Bp_2 \) (I)
\( q-r=Cp_3-Dp_2 \) (II)
para algunos \(  A,B,C,D \) enteros

Repitiendo las cuentas que hemos hecho para \( qr=Ap_3-Bp_2 \) tenemos que todas las soluciones para
\( q-r=Cp_3-Dp_2 \)
son de la forma
\( q-r=\underbrace{(a(q-r)+sp_2)}_{C}p_3- \underbrace{(b(q-r)+sp_3)}_{D}p_2 \) para cuaquier \( s \)
donde \(  1=ap_3-bp_2 \)
Y del mismo modo que hicimos para \( k \) se tiene que dar que
\( s=aD-bC \)
Por otro lado teníamos

Hola,
podemos concluir entonces que
\( qr=3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3 \)
y que
\( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \) ?

\( q-r=(3^{m-1}.p_2\cdot2)p_3 + (p_2^2\cdot3^{2m-3}3^{m-1})p_2 \)
luego si todas las soluciones para \( q-r \) son de la forma
\( q-r=\underbrace{(a(q-r)+sp_2)}_{C}p_3- \underbrace{(b(q-r)+sp_3)}_{D}p_2 \)
entonces
\( C=3^{m-1}.p_2\cdot2 \)
\( D=-p_2^2\cdot3^{2m-3}3^{m-1} \)
Sustituyendo los valores de anteriores \( q-r, s, C \) en
\( a(q-r)+sp_2=C \)
\( a\cdot\underbrace{3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3})}_{q-r}+\underbrace{(aD-bC)}_{s}p_2=\underbrace{3^{m-1}.p_2\cdot2}_{C} \Rightarrow \)
\( a\cdot3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3})+ap_2\underbrace{(-p_2^2\cdot3^{2m-3}3^{m-1})}_{D}-bp_2\underbrace{(3^{m-1}.p_2\cdot2)}_{C}= \)
\( =3^{m-1}.p_2\cdot2 \)
diviendo todo por \( 3^{m-1}.p_2 \)
\( a(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3})+a(-p_2^2\cdot3^{2m-3})-2bp_2=2 \)
\( a2p_3-b2p_2=2 \Rightarrow ap_3-bp_2=1  \)

[cerrar]

. . .

Saludos