[aureodd]

Hola.
Entonces si tenemos
\( qr=3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3= \)
\( =p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3})^3-3(p_2^2\cdot3^{2m-3})^2\cdot2p_3 -3(p_2^2\cdot3^{2m-3})\cdot(2p_3)^2 \)
que podemos poner como
\( qr=Cp_3-Dp_2 \)
con \( D=p_2^5\cdot3^{6m-9}+k_3p_3 \) para algún \( k_3 \) (*)
Y tenemos también

La solución general de:
\( qr=Cp_3-DP_2 \)
sería:
\( (C,D)=(qra,qrb)+k_2(p_2,p_3) \)
Saludos.

con \( D=qrb+k_2p_3 \) (para cualquier \( k_2 \))
y tomamos para \( k_3 \) de (*) (\( k_3 \) es un valor particular) en la igualdad anterior (solución general)
\( D=qrb+k_3p_3 \)
¿Podemos igualar los dos valores de \( D \) anteriores?
\( D=p_2^5\cdot3^{6m-9}+k_3p_3=qrb+k_3p_3 \)
Muchas gracias!
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

¿Podemos igualar los dos valores de \( D \) anteriores?
\( D=p_2^5\cdot3^{6m-9}+k_3p_3=qrb+k_3p_3 \)

No con el mismo \( k_3 \). Es decir lo que puedes asegurar es que:

\( p_2^5\cdot 3^{6m-9}-qrb=Kp_3 \)

En general dos soluciones distintas de la ecuación diofántica:

\( qr=Cp_3-Dp_2 \) (*)

difieren en una solución de la ecuación homogénea asociada:

\( 0=Cp_3-Dp_2 \)

O dicho de otra forma, si \( (C,D) \) y \( (C',D') \) son soluciones de (*) entonces;

\( (C,D)-(C',D')=K(p_2,p_3) \)

Saludos.

[aureodd]

Hola
Si teníamos

Hola

Hola,
podemos concluir entonces que
\( qr=3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3 \)
y que
\( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \) ?
Gracias!

Si.

Saludos.

Entonces
\( qr=(3^2-2^3)p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3})^3-\cdots \)
Si \( qr>0  \) ¿Podemos considerar entonces que \( p_3 > p_2 \)?
Muchas gracias!!
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Entonces
\( qr=(3^2-2^3)p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3})^3-\cdots \)
Si \( qr>0  \) ¿Podemos considerar entonces que \( p_3 > p_2 \)?

Si.

Saludos.

[aureodd]

Hola,
entonces existen algunos \(  a,b \) positivos donde se cumpla
\( 1=ap_3-bp_2 \) ?
En caso afirmativo,
todas las soluciones para
\( qr=Ap_3 - Bp_2 \)
tienen que ser de la forma
\( qr=(aqr+kp_2)p_3 - (bqr+kp_3)p_2 \) ?
Muchas gracias!
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

entonces existen algunos \(  a,b \) positivos donde se cumpla
\( 1=ap_3-bp_2 \) ?

Si \( p_2,p_3 \) son coprimos (y creo que teníamos que si lo eran) si. Fíjate que dada una solución particular de esa ecuación \( (a_0,b_0) \) (que siempre existe por ser coprimos) también es solución:

\( (a,b)=(a_0,b_0)+k(p_2,p_3) \)

Tomando \( k \) suficientemente alto tenemos asegurado que \( a,b \) son positivos.

En caso afirmativo,
todas las soluciones para
\( qr=Ap_3 - Bp_2 \)
tienen que ser de la forma
\( qr=(aqr+kp_2)p_3 - (bqr+kp_3)p_2 \) ?

Todas las soluciones enteras son de esa forma con \( k \) entero.

Pero no todas las soluciones positivas son de esa forma con \( k \) positivo (algunos valores de k negativos pudieran hacer igualmente que \( aqr+kp_2,bqr+kp_3>0 \).)

Saludos.

[aureodd]

Hola

Hola

En caso afirmativo,
todas las soluciones para
\( qr=Ap_3 - Bp_2 \)
tienen que ser de la forma
\( qr=(aqr+kp_2)p_3 - (bqr+kp_3)p_2 \) ?

Todas las soluciones enteras son de esa forma con \( k \) entero.

Pero no todas las soluciones positivas son de esa forma con \( k \) positivo (algunos valores de k negativos pudieran hacer igualmente que \( aqr+kp_2,bqr+kp_3>0 \).)

Saludos.

De hecho \( k \) tiene que ser negativo:

Hola

Hola,
podemos concluir entonces que
\( qr=3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3 \)
y que
\( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \) ?
Gracias!

Si.

Saludos.

\( qr=3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}+2p_3)^3= \)
\( =p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3})^3-3(p_2^2\cdot3^{2m-3})^2\cdot2p_3-3(p_2^2\cdot3^{2m-3})(2p_3)^2\Rightarrow  \)
\( qr=Ap_3-Bp_2 \)
con
\( A=p_3^2 \)
y
\( B=p_2^5\cdot(3^{2m-3})^3+3p_2^3\cdot(3^{2m-3})^2\cdot2p_3+3(p_2\cdot3^{2m-3})(2p_3)^2 \)
como

\( qr=(aqr+kp_2)p_3 - (bqr+kp_3)p_2 \)

\( A=p_3^2=aqr+kp_2 \)
y
\( B=p_2^5\cdot(3^{2m-3})^3+3p_2^3\cdot(3^{2m-3})^2\cdot2p_3+3(p_2\cdot3^{2m-3})(2p_3)^2=bqr+kp_3 \)
De aquí \( A<B \) luego \( aqr+kp_2<bqr+kp_3 \)
Si teníamos que \( p_3 > p_2 \)

Hola

Entonces
\( qr=(3^2-2^3)p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3})^3-\cdots \)
Si \( qr>0  \) ¿Podemos considerar entonces que \( p_3 > p_2 \)?

Si.

Saludos.

y

\( 1=ap_3-bp_2 \)

Entonces \( b>a \) y
\( aqr+kp_2<bqr+kp_3 \Rightarrow (a-b)qr <k(p_3-p_2) \)
como \( qr \) son positivos entonces \( k<0 \).
Es correcto?
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Entonces \( b>a \) y
\( aqr+kp_2<bqr+kp_3 \Rightarrow (a-b)qr <k(p_3-p_2) \)
como \( qr \) son positivos entonces \( k<0 \).
Es correcto?

No veo la conclusión final. Tendrías que:

\( k(p_3-p_2)>(a-b)qr \)

de donde:

\( k>\dfrac{(a-b)qr}{p_3-p_2} \)

siendo \( \dfrac{(a-b)qr}{p_3-p_2} \) negativo.

Es decir tenemos que \( k \) es mayor que un número negativo, pero no que necesariamente sea negativo.

Saludos.

[aureodd]

Hola,
ok. No considero el signo de \( k \), \( k \in \matbb{Z} \).
Si tenemos
\( A=p_3^2=aqr+kp_2 \)
\( B=p_2^5\cdot(3^{2m-3})^3+3p_2^3\cdot(3^{2m-3})^2\cdot2p_3+3(p_2\cdot3^{2m-3})(2p_3)^2=bqr+kp_3 \)
luego
\( A<B \)
y además
\( 1=ap_3-bp_2 \)
como \( p3>p2 \) entonces \( b>a \)
Ahora si hacemos las cuentas para \( B-A = bqr+kp_3 - (aqr+kp_2) \Rightarrow (b-a)qr + (p_3-p_2)k \)
pero
\( B-A=p_2^5\cdot(3^{2m-3})^3+3p_2^3\cdot(3^{2m-3})^2\cdot2p_3+3(p_2\cdot3^{2m-3})(2p_3)^2 - p_3^2 \)
que es mayor que \( A \)
es decir
\( (b-a)qr + (p_3-p_2)k > aqr+p_2k \Rightarrow (b-2a)qr - (p_3-2p_2)k >0 \)
¿Es correcto hasta aquí?
Muchas gracias!
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Si tenemos
\( A=p_3^2=aqr+kp_2 \)
\( B=p_2^5\cdot(3^{2m-3})^3+3p_2^3\cdot(3^{2m-3})^2\cdot2p_3+3(p_2\cdot3^{2m-3})(2p_3)^2=bqr+kp_3 \)
luego
\( A<B \)
y además
\( 1=ap_3-bp_2 \)
como \( p3>p2 \) entonces \( b>a \)
Ahora si hacemos las cuentas para \( B-A = bqr+kp_3 - (aqr+kp_2) \Rightarrow (b-a)qr + (p_3-p_2)k \)
pero
\( B-A=p_2^5\cdot(3^{2m-3})^3+3p_2^3\cdot(3^{2m-3})^2\cdot2p_3+3(p_2\cdot3^{2m-3})(2p_3)^2 - p_3^2 \)
que es mayor que \( A \)
es decir
\( (b-a)qr + (p_3-p_2)k > aqr+p_2k \Rightarrow (b-2a)qr - (p_3-2p_2)k >0 \)
¿Es correcto hasta aquí?

Si, está bien.

Saludos.