Hola el_manco,
Hola
Hola,
si \( p_2=m.c.d(p,u) \)
. . .
y
Perdón. Me estaba olvidando del factor \( 3^{2m-3} \), porque daba por hecho (y en eso estamos de acuerdo) que ese factor si divide a \( u \). Mi ejemplo sería:
\( p=p_2\cdot p_3,\quad u=p_2\cdot p_2^2\cdot 3^{2m-3} \)
\( p_2 \) y \( p_3 \) no tienen que ser coprimos?
Bueno en ese ejemplo particular si. Pero es bueno entender por que. En general si:
\( p_2=mcd(p,u) \)
se tiene
\( p_1=p_2\cdot p_3,\quad u=p_2\cdot u_1 \)
con \( u_1 \) y \( p_3 \) coprimos. Pero \( p_2 \) y \( p_3 \) no tienen porque serlo.
Ahora en mi ejemplo \( u_1=p_2^2\cdot 3^{2m-3} \) y por tanto si \( u_1 \) es coprimo con \( p_3 \) también \( p_2 \) es coprimo com \( p_3 \).
Saludos.
creo que tu ejemplo es el que tiene que cumplirse y que por lo tanto \( p \) y \( u \) tienen que ser de la forma que indicas
\( p=p_2\cdot p_3,\quad u=p_2^3\cdot 3^{2m-3} \)
Si \( u \) fuera de la forma
\( u=p_2^3\cdot 3^{2m-3}.p_4 \) para algún \( p_4 \) coprimo con \( p_2 \)
y lo utilizamos en
\( 3^{2m-3}(3^2p^3-p_1^3)=qr(p_1-2p) \) (*)
donde teníamos que \( u=p_1-2p \)
luego \( p_1=p_2^3\cdot3^{2m-3}p_4+2p_2p_3 \)
entonces (*) nos queda
\( \displaystyle\frac {3^{2m-3}(3^2p^3-p_1^3)}{(p_1-2p)} =qr \Rightarrow \)
\( \displaystyle\frac {3^{2m-3}(3^2p_2^3p_3^3-(p_2^3\cdot3^{2m-3}p_4+2p_2p_3)^3}{p_2^3\cdot3^{2m-3}p_4} =qr \Rightarrow \)
\( \displaystyle\frac {3^2p_3^3-(p_2^2\cdot3^{2m-3}p_4+2p_3)^3}{p_4} =qr \)
todos los términos del numerador son múltiplos de \( p_4 \) excepto \( 3^2p_3^3-(2p_3)^3 = p_3^3 \)
entonces \( p_4 \) tiene que dividir a \( p_3^3 \) luego \( p_4 \) y \( p_3 \) no son coprimos
pero esto contradice que \( p_2=m.c.d(p,u)=m.c.d(p_2\cdot p_3,p_2^3\cdot3^{2m-3}\cdot p_4) \).
Estás de acuerdo?
Muchas gracias!!
Saludos
