[aureodd]

Hola,
si \( p_2=m.c.d(p,u) \)
entonces \( p=p_2p_3 \) y \( u=p_2u_1 \), con \( u_1 \) y \(  p_3 \) coprimos
Sutituyendo en
\( qru=3^{2m-3}(3^2p^3-(2p+u)^3)\Rightarrow \)
\( qru_1p_2=3^{2m-3}(3^2(p_2p_3)^3-(u_1p_2+2p_2p_3)^3)\Rightarrow \)
\( qru_1=3^{2m-3}p_2^2(3^2p_3^3-(u_1+2p_3)^3) \)
entonces \( p_2^2 \) tiene que dividir a \(  qru_1 \) que no es posible ya que \( u_1 \) no es divisor de \(  p_2 \) y además como \(  p_2 \) divide a \(  p \), entonces \( p_2 \) no puede dividir a \( qr \).
Es correcto?
Muchas gracias!
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Hola,
si \( p_2=m.c.d(p,u) \)
entonces \( p=p_2p_3 \) y \( u=p_2u_1 \), con \( u_1 \) y \(  p_3 \) coprimos
Sutituyendo en
\( qru=3^{2m-3}(3^2p^3-(2p+u)^3)\Rightarrow \)
\( qru_1p_2=3^{2m-3}(3^2(p_2p_3)^3-(u_1p_2+2p_2p_3)^3)\Rightarrow \)
\( qru_1=3^{2m-3}p_2^2(3^2p_3^3-(u_1+2p_3)^3) \)

Bien.

entonces \( p_2^2 \) tiene que dividir a \(  qru_1 \) que no es posible ya que \( u_1 \) no es divisor de \(  p_2 \)

¿Por qué no va a ser posible que \( p_2^2 \) divida a \( u_1 \)?.

Por ejemplo supón con tu notación \( p_3=1 \) y \( u_1=p_2^2 \), es decir, desde el principio:

\( p=p_2\cdot 1 \) y \( u=p_2\cdot p_2^2 \)

Susituye en la ecuación y verás como no se obtiene nada contradictorio.

Saludos.

[aureodd]

Hola,
si \( u=p_2^3 \) y  \( p=p_2 \) en
\( qru=3^{2m-3}(3^2p^3-(2p_2+u)^3)\Rightarrow \)
\( qrp_2^3=3^{2m-3}(3^2p_2^3-(2p_2+p_2^3)^3)\Rightarrow \)
\( qr=3^{2m-3}(3^2p_2^3-(2+p_2^2)^2)\Rightarrow \)
pero entonces
\( 3^{2m-3} | qr \) donde \( q,r \) hemos supuesto no múltiplos de \( 3 \).
Es correcto?
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Perdón. Me estaba olvidando del factor \( 3^{2m-3} \), porque daba por hecho (y en eso estamos de acuerdo) que ese factor si divide a \( u \). Mi ejemplo sería:

\(  p=p_2\cdot p_1,\quad u=p_2\cdot p_2^2\cdot 3^{2m-3} \)

Saludos.

[aureodd]

Hola

 Perdón. Me estaba olvidando del factor \( 3^{2m-3} \), porque daba por hecho (y en eso estamos de acuerdo) que ese factor si divide a \( u \). Mi ejemplo sería:

\(  p=p_2\cdot p_1,\quad u=p_2\cdot p_2^2\cdot 3^{2m-3} \)

Saludos.

Ok, de acuerdo con tu ejemplo. (cambio \( p_1 \) por \( p_3 \) ya que lo utilicé en \( q-r=3^{m-1}p_1 \))
Si tenemos entonces
\(  p=p_2\cdot p_3  \)
\(  u=p_2^3\cdot 3^{2m-3} \)
además de \( p_1=2p+u \Rightarrow p_1=2p_2\cdot p_3+p_2^3\cdot 3^{2m-3}=p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \)
Por otro lado
\( qru=3^{2m-3}(3^2p^3-(2p+u)^3)\Rightarrow \)
\( qrp_2^3\cdot 3^{2m-3}=3^{2m-3}(3^2(p_2p_3)^3-(2p_2p_3+p_2^3\cdot 3^{2m-3})^3)\Rightarrow \)
\( qr=3^2p_3^3-(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3})^3 \)
También teníamos
\( q-r=3^{m-1}p_1= \)
\( =3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \)
Mas cosas:

De todos modos creo que estoy pasando algo por alto:

Hola el_manco,
voy a volver un momento a
I) \(  q^3-r^3-3^{3m-1}p^3=2\cdot 3^mpqr \)
y a que
\( (q-r)=3^{m-1}p_1 \)
Además
II) \( q^3-r^3-3^{3m-3}p_1^3=3qr\cdot3^{m-1}p_1 \)
También tenemos que \( q^3-r^3 \) es múltiplo de \( p \) y  \( p_1 \)

De I y II) tenemos \( p_1 | q^3-r^3 \) y \( p_2p_3=p| q^3-r^3 \)
que \( q^3-r^3=(q-r)(q^2+qr+r^2) \)
y que \( 3 \) es el único divisor común de  \( (q-r) \) y \(  (q^2+qr+r^2) \)
pero si \( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \)
no es múltiplo de \( p_3 \) entonces tiene que serlo \(  (q^2+qr+r^2)=(q-r)^2+3qr \)
Hasta aquí estás de acuerdo?
Muchas gracias!
Saludos
 
 

[Luis Fuentes]

Hola

 Bufff... es fácil perderse con tanta variable auxiliar.

 Pero veamos

De I y II) tenemos \( p_1 | q^3-r^3 \) y \( p_2p_3=p| q^3-r^3 \)
que \( q^3-r^3=(q-r)(q^2+qr+r^2) \)
y que \( 3 \) es el único divisor común de  \( (q-r) \) y \(  (q^2+qr+r^2) \)
pero si \( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \)
no es múltiplo de \( p_3 \) entonces tiene que serlo \(  (q^2+qr+r^2)=(q-r)^2+3qr \)

  Varias cosas:

 1) ¿Afirmas qué \( q-r \) no es múltiplo de \( p_3 \) o simplementes dices que si no lo fuese pasaría tal cosa?. ¿Si lo afirmas por qué?.

 2) No es lo mismo que \( q-r \) no sea múltiplo de \( p_3 \) que que sea coprimo con \( p_3 \). De lo segundo se se decuce dado que \( p_3 \) es divisor de \( q^3-r^3 \) que \( (q^2+qr-r^2) \) es múltiplo de \( p_3 \). De lo primero, pudiera ocurrir que \( p_3 \) repartiese sus factores entre \( q-r \) y \( (q^2+qr-r^2) \).

 3) \( p=p_2\cdot p_3 \) y \( u=p_2^3\cdot 3^{2m-3} \) fue un ejemplo. Pero todavía no estoy seguro que tenga que ser así.

 4) Aunque fuese así (y no sé si lo estás usando en algún sitio) \( p_2 \) y \( p_3 \) no tienen porque ser coprimos.

Saludos.

[aureodd]

...pero si \( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \)
no es múltiplo de \( p_3 \) entonces tiene que serlo \(  (q^2+qr+r^2)=(q-r)^2+3qr \)

Como \( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \)
en \( (q-r)^2 \) todos los términos son múltiplos de \( p_3 \) excepto
\( (p_2^2\cdot3^{2m-3})^2 \)
Ahora para \( qr=3^2p_3^3-(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3})^3 \)
todos los términos son múltiplos de \( p_3 \) excepto
\( (p_2^2\cdot3^{2m-3})^3 \)
Tenemos entonces que para que \( (q-r)^2+3qr \)
sea múltiplo de \( p_3 \)
la siguiente suma también tiene que serlo
\( (p_2^2\cdot3^{2m-3})^2 \)
+
\( (p_2^2\cdot3^{2m-3})^3 \)
Y al escribir esto me he dado cuenta  que el resultado de la suma es 
\( (p_2^2\cdot3^{2m-3})^2(1+(p_2^2\cdot3^{2m-3})) \)
Entonces no veo contradicción en que
\( (1+(p_2^2\cdot3^{2m-3}) ) \) sea múltiplo de \( p_3 \)
No se si las cuentas hasta aquí estám bien  y si el resultado final sirve para algo.
Muchas gracias!!
Saludos

[aureodd]

Hola

 Bufff... es fácil perderse con tanta variable auxiliar.

 Pero veamos

De I y II) tenemos \( p_1 | q^3-r^3 \) y \( p_2p_3=p| q^3-r^3 \)
que \( q^3-r^3=(q-r)(q^2+qr+r^2) \)
y que \( 3 \) es el único divisor común de  \( (q-r) \) y \(  (q^2+qr+r^2) \)
pero si \( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \)
no es múltiplo de \( p_3 \) entonces tiene que serlo \(  (q^2+qr+r^2)=(q-r)^2+3qr \)

  Varias cosas:

 1) ¿Afirmas qué \( q-r \) no es múltiplo de \( p_3 \) o simplementes dices que si no lo fuese pasaría tal cosa?. ¿Si lo afirmas por qué?.

Esa afirmación viene de
\( q-r=3^{m-1}.p_2(2p_3+p_2^2\cdot3^{2m-3}) \)

2) No es lo mismo que \( q-r \) no sea múltiplo de \( p_3 \) que que sea coprimo con \( p_3 \). De lo segundo se se decuce dado que \( p_3 \) es divisor de \( q^3-r^3 \) que \( (q^2+qr-r^2) \) es múltiplo de \( p_3 \). De lo primero, pudiera ocurrir que \( p_3 \) repartiese sus factores entre \( q-r \) y \( (q^2+qr-r^2) \).
 3) \( p=p_2\cdot p_3 \) y \( u=p_2^3\cdot 3^{2m-3} \) fue un ejemplo. Pero todavía no estoy seguro que tenga que ser así.

 4) Aunque fuese así (y no sé si lo estás usando en algún sitio) \( p_2 \) y \( p_3 \) no tienen porque ser coprimos.

uhmm...

De todos modo me adelanté a tu respuesta y publiqué la continuación, en la que me dí cuenta al final que no llegaba a nada.
Revisaré entonces los puntos 2), 3) y 4) anteriores que indicas.

Muchas gracias por seguir con tanta dedicación y detalle mis respuestas
Saludos

[aureodd]

Hola

Hola,
si \( p_2=m.c.d(p,u) \)
. . .

y

Hola

 Perdón. Me estaba olvidando del factor \( 3^{2m-3} \), porque daba por hecho (y en eso estamos de acuerdo) que ese factor si divide a \( u \). Mi ejemplo sería:

\(  p=p_2\cdot p_3,\quad u=p_2\cdot p_2^2\cdot 3^{2m-3} \)

Saludos.

\( p_2  \) y \( p_3 \) no tienen que ser coprimos?
Muchas gracias!
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Hola,
si \( p_2=m.c.d(p,u) \)
. . .

y

Perdón. Me estaba olvidando del factor \( 3^{2m-3} \), porque daba por hecho (y en eso estamos de acuerdo) que ese factor si divide a \( u \). Mi ejemplo sería:

\(  p=p_2\cdot p_3,\quad u=p_2\cdot p_2^2\cdot 3^{2m-3} \)

\( p_2  \) y \( p_3 \) no tienen que ser coprimos?

Bueno en ese ejemplo particular si. Pero es bueno entender por que. En general si:

\( p_2=mcd(p,u) \)

se tiene

\( p_1=p_2\cdot p_3,\quad u=p_2\cdot u_1 \)

con \( u_1 \) y \( p_3 \) coprimos. Pero \( p_2 \) y \( p_3 \) no tienen porque serlo.

Ahora en mi ejemplo \( u_1=p_2^2\cdot 3^{2m-3} \) y por tanto si \( u_1 \) es coprimo con \( p_3 \) también \( p_2 \) es coprimo com \( p_3 \).

Saludos.