Hola el_manco,
De todos modos creo que estoy pasando algo por alto:
Hola el_manco,
voy a volver un momento a
I) \( q^3-r^3-3^{3m-1}p^3=2\cdot 3^mpqr \)
y a que
\( (q-r)=3^{m-1}p_1 \)
Además
II) \( q^3-r^3-3^{3m-3}p_1^3=3qr\cdot3^{m-1}p_1 \)
También tenemos que \( q^3-r^3 \) es múltiplo de \( p \) y \( p_1 \)
De I) y II) tenemos entonces
\( 3^{3m-1}p^3+2\cdot 3^mpqr = \)
\( 3^{3m-3}p_1^3+3qr\cdot3^{m-1}p_1 \Rightarrow \)
\( 3^{2m-3}(p_1^3-3^2p^3)=qr(2p-p_1) \)
Pero esto ya lo habíamos visto donde poníamos la igualdad anterior como
\( 3^{2m-3}(3^2p^3-p_1^3)=qr(p_1-2p) \) (*)
y con la notación de entonces tenemos
\( p_1-2p = u= 3^{2m-3} \)
y
\( k=p_1 \)
Hola
entonces si
\( 3^{2m-3}(3^2p^3-(2p)^3)=3^{2m-3}p^3 \) es múltiplo de \( u \)
\( u=3^{2m-3} \) ya que \( q,r \) no son múltiplos de \( 3 \) y además \( u \) no puede dividir a \( p \)
Prueba:
Si \( u \) divide a \( p \) podemos poner \( p=ut \) para algún \( t \). Sutituimos en
\( qru=3^{2m-3}(3^2p^3-(2p+u)^3) \)
nos queda que el término de la derecha es múltiplo de \( u^3 \) y no es posible ya que \( q,r,p \) son coprimos (u no puede dividir a \( q,r \)).
Luego \( u=3^{2m-3} \) y \( k=2p+3^{2m-3} \) (1)
¿Es correcto?
Está bien. Aunque el razonamiento no es del todo correcto. Que \( qru \) sea múltiplo de \( u^3 \) no quiere decir ni que \( q \) ni que \( r \) sean necesariamente múltiplos de \( u \); si que tengan factores primos comunes. Eso esta imposiblitado por la coprimalidad de \( q,r,p \) y el supuesto de \( p=ut \).
Además lo que razonas así es que \( p \) no es múltipo de \( u \); pero eso no excluye que \( u,p \) pudieran tener factores primos comunes. Es decir de lo que has hecho no se deduce necesariamante que \( u=3^{2m-3} \). Lo que debes de hacer es lo mismo que has hecho con \( u \), pero con un factor primo común de mayor exponente posible del \( m.c.d.(p,u) \).
Hay que hacer la cuentas (... no las incluyo ahora) pero concluiste
De todas formas aunque maticé la prueba que hiciste, es correcto concluir que \( u=3^{2m-3} \) (lo he corregido ya que pusiste \( u=2^{2m-3} \))
Nos queda (*) como
\( \left\{ \begin{array}{c}3^{2m-3}=p_1-2p\\ 3^2p^3-p_1^3=qr \end{array}\right. \Rightarrow \)
\( \displaystyle\frac {p_1-3^{2m-3}}{2} =p \)
\( 3^2(\displaystyle\frac {p_1-3^{2m-3}}{2})^3-p_1^3=qr \Rightarrow \)
\( 2^3(qr+p_1^3)=3^2(p_1-3^{2m-3})^3 \) (**)
Como \( 2^3 |(p_1-3^{2m-3})^3 \) podemos poner
\( 2^3t^3=(p_1-3^{2m-3})^3 \) para algún \( t \), luego
\( 3^2t^3=qr-p_1^3 \) donde sustituimos el valor que teníamos de \( qr=3^2p^3-p_1^3 \) y nos queda
\( 3^2t^3=3^2p^3-p_1^3-p_1^3 \Rightarrow \)
\( 2p_1^3=3^2(p^3-t^3) \) que no puede darse ya que \( 3 \) no divide a \( p_1 \).
Si esto es correcto entonces de (**) nos queda
\( 3^2=qr+p_1^3 \) (***)
y
\( 2=p_1-3^{2m-3} \)
entonces \( (2+3^{2m-3})^3=p_1^3 \)
sustituyendo en (***)
\( 3^2=qr+(2+3^{2m-3})^3 \) que para \( qr \) positivos no puede darse?
Muchas gracias!!
Saludos
