[Luis Fuentes]

Hola

Por cierto, he estado esta tarde con un amigo hablando, entre otras cosas, de matemáticas ...y una de las cosas que hemos comentado referente a las líneas de desarrollo de cualquier idea es tener bien documentado tanto aquellas sobre las que se produce algún avance, como aquellas que se cierran y que no lleven a ningún sitio, de ese modo no volveremos a recorrer un camino equivocado...

 ¡Qué gran verdad!

 Respecto a tus cuentas, son correctas, creo. No sé porque cambias las \( p,q,r \) por otras con subíndices, Directamente de:

\(  q^3-r^3-3^{3m-1}p^3=2\cdot 3^mpqr \)

\(  q^3-r^3=3^{3m-1}p^3+2\cdot 3^mpqr \)

 Por otra parte \( q^3-r^3=(q-r)^3+3qr(q-r) \). Igualando con lo anterior:

\( (q-r)^3+3qr(q-r)=3^{3m-1}p^3+2\cdot 3^mpqr \)

 De ahí se deduce que \( (q-r) \) es mútliplo de \( 3 \). En particular si \( (q-r)=3^kW \) con \( W \) coprimo con \( 3 \) se tiene que:

\(  3^{3k}W^3+3^{k+1}qrW=3^m(3^{2m-1}p^3+2pqr) \)  (*)

 Si \( p,q,r \) con comprimos con \( 3 \) entonces \( 3^{2m-1}p^3+2pqr \) es coprimo con \( 3 \).

 Entonce de (*) se deduce que \( m=k+1 \). Es decir la mayor potencia de \( 3 \) que divide a \( (q-r) \) es \( 3^{m-1}. \)

 Y ya no sé que más añadir...  . Es decir realmente no sé contestar con más precisión a:

Si \( m>2 \) entonces (IV) bajo que condiciones tiene solución con \( q_1, r_1, p \) coprimos no múltiplos de 3?

Saludos.

[aureodd]

Hola

Hola

Por cierto, he estado esta tarde con un amigo hablando, entre otras cosas, de matemáticas ...y una de las cosas que hemos comentado referente a las líneas de desarrollo de cualquier idea es tener bien documentado tanto aquellas sobre las que se produce algún avance, como aquellas que se cierran y que no lleven a ningún sitio, de ese modo no volveremos a recorrer un camino equivocado...

 ¡Qué gran verdad!

...y olvidé añadir que el foro es un buen sitio para hacerlo... para compartir y aprender, para ser escuchado y sobre todo para obtener respuesta a dudas, problemas, inquietudes... No tengo palabras para agradecer la labor de este foro y de todos los que colaborar en él. Sinceramente, muchas gracias!!!

\( (q-r)^3+3qr(q-r)=3^{3m-1}p^3+2\cdot 3^mpqr \)


 De ahí se deduce que \( (q-r) \) es mútliplo de \( 3 \). En particular si \( (q-r)=3^kW \) con \( W \) coprimo con \( 3 \) se tiene que:

\(  3^{3k}W^3+3^{k+1}qrW=3^m(3^{2m-1}p^3+2pqr) \)  (*)

 Si \( p,q,r \) con comprimos con \( 3 \) entonces \( 3^{2m-1}p^3+2pqr \) es coprimo con \( 3 \).

 Entonce de (*) se deduce que \( m=k+1 \). Es decir la mayor potencia de \( 3 \) que divide a \( (q-r) \) es \( 3^{m-1}. \)

 Y ya no sé que más añadir...  . Es decir realmente no sé contestar con más precisión a:

Si \( m>2 \) entonces (IV) bajo que condiciones tiene solución con \( q_1, r_1, p \) coprimos no múltiplos de 3?

Saludos.

Entonces, si sustituimos \( m=k+1 \) en (*)
\(  3^{3k}W^3+3^{k+1}qrW=3^{k+1}(3^{2k}p^3+2pqr)\Rightarrow \)
\(  3^{2k-1}W^3+qrW=3^{2k}p^3+2pqr\Rightarrow \)
\(  3^{2k-1}(W^3-3p^3)=qr(2p-W)\Rightarrow \)
\( qr|(W^3-3p^3) \) y \( 3^{2k-1}|(2p-W) \)
Va bien hasta aquí?
Muchas gracias!
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Entonces, si sustituimos \( m=k+1 \) en (*)
\(  3^{3k}W^3+3^{k+1}qrW=3^{k+1}(3^{2k}p^3+2pqr)\Rightarrow \)
\(  3^{2k-1}W^3+qrW=3^{2k}p^3+2pqr\Rightarrow \)
\(  3^{2k-1}(W^3-3p^3)=qr(2p-W)\Rightarrow \)
\( qr|(W^3-3p^3) \) y \( 3^{2k-1}|(2p-W) \)
Va bien hasta aquí?

Correcto.

Saludos.

[aureodd]

Hola el_manco,
voy a volver un momento a
I) \(  q^3-r^3-3^{3m-1}p^3=2\cdot 3^mpqr \)
y a que
\( (q-r)=3^{m-1}p_1 \)
Además
II) \( q^3-r^3-3^{3m-3}p_1^3=3qr\cdot3^{m-1}p_1 \)
También tenemos que \( q^3-r^3 \) es múltiplo de \( p \) y  \( p_1 \)
¿\( p_1 \) y \( p \) pueden tener algún factor común?
Creo que no:
Supongamos \( p_2 \) el factor común de \( p_1 \) y \( p \)
\( q^3-r^3=(q-r)(q^2+qr+r^2) \)
pero si \( q-r \equiv 0 \pmod {p_{1}} \Rightarrow q-r \equiv 0 \pmod {p_{2}} \) entonces
\( q^2+qr+r^2 \equiv {3q^3} \pmod {p_{2}} \)
entonces \( q^3 \) es múltiplo de \( p_2 \) (factor de \( p \)) luego \( q^3  \) y \( p \) no serían coprimos como hemos supuesto.
Es correcto?
Muchas gracias!
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

¿\( p_1 \) y \( p \) pueden tener algún factor común?
Creo que no:
Supongamos \( p_2 \) el factor común de \( p_1 \) y \( p \)
\( q^3-r^3=(q-r)(q^2+qr+r^2) \)
pero si \( q-r \equiv 0 \pmod {p_{1}} \Rightarrow q-r \equiv 0 \pmod {p_{2}} \) entonces
\( q^2+qr+r^2 \equiv {3q^3} \pmod {p_{2}} \)

Hasta aquí de acuerdo. Pero luego sigues:

entonces \( q^3 \) es múltiplo de \( p_2 \) (factor de \( p \)) luego \( q^3  \) y \( p \) no serían coprimos como hemos supuesto.

¿Cómo deduces que \( q^3 \) es múltiplo de \( p_2 \)? No lo veo.

Saludos.

[aureodd]

Hola

¿\( p_1 \) y \( p \) pueden tener algún factor común?
Creo que no:
Supongamos \( p_2 \) el factor común de \( p_1 \) y \( p \)
\( q^3-r^3=(q-r)(q^2+qr+r^2) \)
pero si \( q-r \equiv 0 \pmod {p_{1}} \Rightarrow q-r \equiv 0 \pmod {p_{2}} \) entonces
\( q^2+qr+r^2 \equiv {3q^3} \pmod {p_{2}} \)

Hasta aquí de acuerdo. Pero luego sigues:

entonces \( q^3 \) es múltiplo de \( p_2 \) (factor de \( p \)) luego \( q^3  \) y \( p \) no serían coprimos como hemos supuesto.

¿Cómo deduces que \( q^3 \) es múltiplo de \( p_2 \)? No lo veo.

Saludos.

Si \( q^3-r^3 \) es múltiplo de \(  p_1 \) y \( p \) (además de \( 3^m \)) podemos poner
\( q^3-r^3=3^{m-1}p_1\cdot3pp_3 \)
con \( q^2+qr+r^2 =3pp_3 \)?
Si \( q-r \equiv 0 \pmod {p_{1}} \Rightarrow q-r \equiv 0 \pmod {p_{2}} \)
entonces \( q^2+qr+r^2 \equiv {3q^3} \pmod {p_{2}} \)
luego \( 3pp_3 \equiv {3q^3} \pmod {p_{2}} \)
\( p_2  \) divide a \( p  \) pero \( p_2  \) no puede dividir a \( q^3 \)...entonces \( p_1 \) y \( p \) son coprimos?

No se si queda mas claro pensar que \( q-r \) y \( q^2+qr+r^2 \) son coprimos para ver que también lo son \( p_1 \) y \( p \):
si \( q-r \equiv 0 \pmod {p_2} \) entonces \( q^2+qr+r^2\equiv 3q^3 \pmod {p_2} \). Como \( q^3 \) no puede ser múltiplo de \( p_2 \) (divisor de \( p \)), entonces \( q^2+qr+r^2 \) tampoco.

Muchas gracias!
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Sigo sin verlo:

Si \( q^3-r^3 \) es múltiplo de \(  p_1 \) y \( p \) (además de \( 3^m \)) podemos poner
\( q^3-r^3=3^{m-1}p_1\cdot3pp_3 \)

 Esto en principio ya no tiene porque ser así. Por ejemplo \( 12 \) es múltiplo de \( 3 \) y de \( 6 \) pero no es múltiplo de \( 3\cdot 6 \).

 Por otra parte supongo que donde pones:

entonces \( q^2+qr+r^2\equiv 3q^3 \pmod {p_2} \)

 Sería:

"entonces \( q^2+qr+r^2\equiv  \color{red}3q^2\color{black} \pmod {p_2} \) "

Saludos.

[aureodd]

Hola

 Por otra parte supongo que donde pones:

entonces \( q^2+qr+r^2\equiv 3q^3 \pmod {p_2} \)

 Sería:

"entonces \( q^2+qr+r^2\equiv  {3q^2} \pmod {p_2} \) "

Saludos.

Sí, es como dices \( q^2+qr+r^2\equiv  {3q^2} \pmod {p_2} \)

Para el otro tema:
Si \( q^3-r^3=(q-r)(q^2+qr+r^2) \)
y
\( (q-r)=3^{m-1}p_1 \)
¿\( (q-r)  \) y \( (q^2+qr+r^2) \) pueden tener algún divisor común? Si lo tienen puede ser divisor de \( p \)?
Muchas gracias!
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 El único posible divisor común de \( (q-r) \) y \( (q^2+qr+r^2) \) es \( 3 \) ya que:

\(  (q^2+qr+r^2)-(q-r)^2=3qr \)

 y por ser \( q,r \) coprimos también lo son \( q,r,q-r \).

Saludos.

[aureodd]

Hola

Hola

 El único posible divisor común de \( (q-r) \) y \( (q^2+qr+r^2) \) es \( 3 \) ya que:

\(  (q^2+qr+r^2)-(q-r)^2=3qr \)

 y por ser \( q,r \) coprimos también lo son \( q,r,q-r \).

Saludos.

me he liado con este hecho e intentado ver si había relación entre \( p \) y \( p_1 \).

De todos modos creo que estoy pasando algo por alto:

Hola el_manco,
voy a volver un momento a
I) \(  q^3-r^3-3^{3m-1}p^3=2\cdot 3^mpqr \)
y a que
\( (q-r)=3^{m-1}p_1 \)
Además
II) \( q^3-r^3-3^{3m-3}p_1^3=3qr\cdot3^{m-1}p_1 \)
También tenemos que \( q^3-r^3 \) es múltiplo de \( p \) y  \( p_1 \)

De I) y II) tenemos entonces
\( 3^{3m-1}p^3+2\cdot 3^mpqr = \)
\( 3^{3m-3}p_1^3+3qr\cdot3^{m-1}p_1 \Rightarrow \)
\( 3^{2m-3}(p_1^3-3^2p^3)=qr(2p-p_1) \)
Entonces ¿Cómo tienen que ser \( p \) y  \( p_1 \), positivos, para que los dos miembros de la igualdad anterior tengan el mismo signo?
(si \( q \) y \( r  \) son positivos sería equivalente a encontrar \( p \) y  \( p_1 \) de modo que \( p_1^3-3^2p^3 \) y \( 2p-p_1 \) tengan el mismo signo?)
Muchas gracias!!!!
Saludos