[aureodd]

Hola,
en la siguiente igualdad hay un error en un signo

Hola

 Me pierdo.

Y esto último es igual a
\( 3(t^3-k^2-1)-2(t-k-1)=0 \) (*)
Teniendo en cuenta que \( t  \) y \( k \) son positivos podemos considerar que \( t^3>k^ \)2, luego \( t<k \)

Hasta aquí de acuerdo.

Lo correcto es \( 3(t^3-k^2-1)+2(t-k-1)=0 \) (*)
Lo que quería decir ( y que no expuesto bien) es que si tomamos \(  t  \) y \( k  \) lo suficentemente próximos,
para que la diferencia entre \( t^3  \) y \( k^2 \) sea pequeña pero positiva, hace que esa diferencia sea siempre mayor que \( t-k-1 \), entonces (*) será siempre mayor que cero.
Para verlo lo re-escribo de este modo:
Busco los valores de \( k \) para que \( t^3-k^2>0 \)
Con \( k=t\sqrt{t} \) tenemos que (*) es negativo, luego miro si el siguiente entero mayor a \( t \) , \( t+1 \), hace que (*) pueda ser igual a cero, además voy a considerar tan solo \( t^3-k^2-1  \) para ver que es mayor que \( t-k-1 \)
(y por lo tanto (*) no puede ser igual a cero).
Es decir, si \( k=t\sqrt{t} \) voy a ver que relación hay entre el siguiente entero mayor que \(  t \), \( t+1 \)
en \( t^3-k^2-1 \), (con \( k^2=t^3 \)). Escribo \( (t+1)^3-t^3-1 =3t^2+3t = t(3t+1)  \) (**)
Y lo mismo en \( t-k-1 \) para el siguiente entero mayor que \( t \) que es \( t+1 \), nos queda \( (t+1)-k-1 =t-k=t-t\sqrt{t}=t(\sqrt{t}-1) \) (***)
Con esto vemos que (**) es mayor que (***), \( t(3t+1) > t(\sqrt{t}-1) \) ?
Entonces no se cumple para enteros positivo que \( 3(t^3-k^2-1)+2(t-k-1)=0 \) ?
Muchas gracias!
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Lo siento. ¡No lo entiendo!.

 Yo veo que trabajas con \( k=t'\sqrt{t'} \) (que en principio no tiene ni porque se entero) y analizas la igualdad para \( t=t'+1 \). Pero no veo como de ahí deduces que en general esa igualdad es imposible.

 Mi sensación es que independientemente de que esté bien o mal tu idea, todavía no la estás expresando formalmente de manera correcta.

 Intenta escribirla con más detalle y rigurosidad.

Saludos.

[aureodd]

Hola el_manco,
lo que quiero probar es que
\( 3(t^3-k^2-1)+2(t-k-1)=0 \) no puede darse para números enteros:
Voy a llamar
\( A=3(t^3-k^2-1)+2(t-k-1) \)
y voy a ver el signo de \( A \) para un \( t' \) determinado.
Si para ese \( t' \) tomo \( k'=t'\sqrt{t'} \), haciendo las cuentas obtenemos que \( A<0 \), miro entonces el valor de \( A \) para el siguiente entero mayor que \( t' \), sea \(  t''=t'+1 \)
y para el mismo \( k'=t'\sqrt{t'} \) para ver si \( A \) puede ser igual a \( 0 \)
Voy a ver que haciendo las cuentas en \( A=3(t''^3-k'^2-1)+2(t''-k'-1) \) obtenemos que \( A>0 \).
Además se ve más claro para \( A'=(t''^3-k'^2-1)+(t''-k'-1) \) que \( A'>0 \). La cuentas:
\( A'=(t'+1)^3-(t'\sqrt{t'})^2-1+(t'+1-t'\sqrt{t'}-1)= \)
\( =3t'^2+3t'+t'-t'\sqrt{t'} \) y esto es mayor que cero para \( t'>0 \) como estabamos considerando.
En resumen, si para un \( t' \) tomo \( k'=t'\sqrt{t'} \) entonces \( A<0 \) y si tomo \( t''=t'+1 \), el siguiente entero positivo mayor que \( t' \) para el mismo \(  k' \) entonces \( A>0 \).
Muchas gracias!
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Veamos. Sea:

\(  f(k,t)=3(t^3-k^2-1)+2(t-k-1) \)

 Lo que pruebas es:

 - Dado \( t_0\in N \) y tomando \( k_0=t_0\sqrt{t_0} \) se cumple que:

 i) \( f(k_0,t_0)<0 \)
ii) \( f(k_0,t)>0 \) para todo \( t\in N \), \( t>t_0 \)

 Así lo que se demuestra es que \( f(k,t)=0 \) no tiene solución para \( t \) entero y para \( k=t_0\sqrt{t_0} \) con \( t_0 \) entero.

 Equivalentemente se demuestra que \( f(k,t)=0 \) no tiene solución para \( t \) entero y para \( k^2 \) el cubo de un entero (ya que \( k=t_0\sqrt{t_0}\quad \Leftrightarrow{}\quad k^2=t_0^3 \)).

Pero no veo que se pruebe que \( f(k,t)=0 \) no pueda tener solución con \( t \) entero y \( k \) también entero.

Saludos.

[aureodd]

Hola,
creo entender entonces que habría que probar que para \(  k_1  \), el entero mayor que \( k_0 \) (*)
\( f(k_1,t)=0 \) no tiene solución?

(*) si es menor entonces es claro que \( f(k_1,t)>0 \)?
Muchas gracias!
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Fíjate que la función \( f(k,t) \) es decreciente en \( k \) (para \( k \) positivo) ya que la derivada parcial:

 \( \dfrac{{\partial f}}{{\partial k}}(k,t)=-6k-2<0 \)

 Por tanto:

 - Dado que \( f(k_0,t_0)<0 \) en principio pudiera ocurrir que para \( k<k_0 \) se diese \( f(k,t_0)=0 \).
 
 - Dado que \( f(k_0,t)>0 \) con \( t>t_0 \) puede ocurrir para \( k>k_0 \) se diese que \( f(k,t_0)=0 \).

 Entonces esos son los casos que están abiertos.

Saludos.

[aureodd]

Hola el_manco,
no me dí cuenta del resto de casos... Muchas gracias!
Saludos
Nota: He corregido en la siguiente cita

En resumen, si para un \( t' \) tomo \( k'=t'\sqrt{t'} \) entonces \( A<0 \) y si tomo \( t''=t'+1 \), el siguiente entero positivo mayor que \( t' \) para el mismo \(  k' \) entonces \( A<0 \).

por

En resumen, si para un \( t' \) tomo \( k'=t'\sqrt{t'} \) entonces \( A<0 \) y si tomo \( t''=t'+1 \), el siguiente entero positivo mayor que \( t' \) para el mismo \(  k' \) entonces \( \color{red}A>0 \).

[aureodd]

Hola,
estaba revisando UTF "apuntando alto" http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=67444.0 de mente oscura. He visto que trata el tema de la paridad de los términos del UTF \( x,y,z \) ...  He vuelto a un post anterior:

Hola,

El problema de todo esto es que no tengo claro que \( p,q,r \) tengan que ser positivos. Hay que echar la vista atrás y ver de donde viene la expresión con la que trabajas.

Todo viene de la notación clásica del UTF
\( x^n=y^n+z^n \)
utilizando que \( x,y,z \) son enteros positivos
Con esto había llegado a los siguientes resultados:

I) \( (3^{3m-1}p^3+r^3+3^{m}pqr)^3=(3^{3m-1}p^3+3^{m}pqr)^3+(r^3+3^{m}pqr)^3 \)
donde
\( x^3=(3^{3m-1}p^n+r^3+3^{m}pqr)^3 \)
\( y^3=(3^{3m-1}p^3+3^{m}pqr)^3 \)
\( z^3=(r^3+3^{m}pqr)^3 \)

II) \( (q^3-3^{m}pqr)^3=(3^{3m-1}p^3+3^{m}pqr)^3+(r^3+3^{m}pqr)^3 \)

Utilizando I) en II)
\( (3^{3m-1}p^3+r^3+3^{m}pqr)^3=(q^3-3^{m}pqr)^n \)
obtengo el resultado en III)

III) \( q^3= 3^{3m-1}p^3+r^3+2\cdot3^{m}pqr \)

para ver como tiene que ser \( x,y,z \) ¿Es correcto pensar que 1) uno de ellos tiene que ser par y los otro dos impares o 2) los tres tienen que ser pares?

Voy a considerar que \( x \) es par, luego 1) \( y,z \) son impares o 2) \( y,z \) son pares.
Para el caso 1) \( y,z \) son impares
Si \( y=3^{3m-1}p^3+3^{m}pqr \) es impar se tiene que dar que \( q \) tiene que ser par  (\( r \) no puede serlo ya que \( z=r^3+3^{m}pqr \) sería par). Como  \( p,q,r \) son coprimos \( p,r \) son impares
pero \( q^3= 3^{3m-1}p^3+r^3+2\cdot3^{m}pqr \), entonces \( q^3 \) como mínimo es \( \equiv {0} \pmod {8} \) pero \( 2\cdot3^{m}pqr \equiv {0} \pmod {4} \). Este caso entonces no puede darse?
Para el caso 2) \( y,z \) son pares
En este caso \(  p,q,r \) tienen que ser impares (si \( p \) es par, y \( x \) es par \( x=3^{3m-1}p^n+r^3+3^{m}pqr \), \( r \) tendría que ser par, que no puede ser ya que \( p,r \) son coprimos. Lo mismo ocurre si \( r \) par \(  \Rightarrow p \) par, o si \( q \) par \( \Rightarrow p \) par).
pero \( x \) sería impar, que contradice la hipótesis inicial.

Es correcto?
Muchas gracias!!
Saludos

 

[Luis Fuentes]

Hola

para ver como tiene que ser \( x,y,z \) ¿Es correcto pensar que 1) uno de ellos tiene que ser par y los otro dos impares o 2) los tres tienen que ser pares?

El caso de los tres pares puedes ahorrártelo, porque sin pérdida de generalidad puede suponerse \( x,y,z \) coprimos.

Para el caso 1) \( y,z \) son impares
Si \( y=3^{3m-1}p^3+3^{m}pqr \) es impar se tiene que dar que \( q \) tiene que ser par  (\( r \) no puede serlo ya que \( z=r^3+3^{m}pqr \) sería par). Como  \( p,q,r \) son coprimos \( p,r \) son impares
pero \( q^3= 3^{3m-1}p^3+r^3+2\cdot3^{m}pqr \), entonces \( q^3 \) como mínimo es \( \equiv {0} \pmod {8} \) pero \( 2\cdot3^{m}pqr \equiv {0} \pmod {4} \). Este caso entonces no puede darse?

No veo porqué no va a poder darse. En:

\( q^3= 3^{3m-1}p^3+r^3+2\cdot3^{m}pqr \)

lo que se deduce es que \( 3^{3m-1}p^3+r^3 \) es divisible por \( q \) (y por tanto por la mayor potencia de dos que divida a \( q \)).

Saludos.

[aureodd]

Hola

El caso de los tres pares puedes ahorrártelo, porque sin pérdida de generalidad puede suponerse \( x,y,z \) coprimos.

Vaya! no me dí cuenta...

Para el caso 1) \( y,z \) son impares
Si \( y=3^{3m-1}p^3+3^{m}pqr \) es impar se tiene que dar que \( q \) tiene que ser par  (\( r \) no puede serlo ya que \( z=r^3+3^{m}pqr \) sería par). Como  \( p,q,r \) son coprimos \( p,r \) son impares
pero \( q^3= 3^{3m-1}p^3+r^3+2\cdot3^{m}pqr \), entonces \( q^3 \) como mínimo es \( \equiv {0} \pmod {8} \) pero \( 2\cdot3^{m}pqr \equiv {0} \pmod {4} \). Este caso entonces no puede darse?

No veo porqué no va a poder darse. En:

\( q^3= 3^{3m-1}p^3+r^3+2\cdot3^{m}pqr \)

lo que se deduce es que \( 3^{3m-1}p^3+r^3 \) es divisible por \( q \) (y por tanto por la mayor potencia de dos que divida a \( q \)).

Saludos.

De acuerdo.

Por cierto, he estado esta tarde con un amigo hablando, entre otras cosas, de matemáticas ...y una de las cosas que hemos comentado referente a las líneas de desarrollo de cualquier idea es tener bien documentado tanto aquellas sobre las que se produce algún avance, como aquellas que se cierran y que no lleven a ningún sitio, de ese modo no volveremos a recorrer un camino equivocado...
Volviendo a
\( q^3-r^3-3^{3m-1}p^3=2\cdot3^{m}pqr \) (I)
he recordado y es fácil de ver hacieno las cuentas que la siguiente igualdad
\( q^3-r^3-p^3=3pqr \) (II)
tiene solución si \( p=q-r \), entonces (II) nos queda
\( q^3-r^3-(q-r)^3=3qr(q-r) \) (III)
Supongamos que (I) tiene solución para unos \( q_1 \) y \(  r_1 \) y buscamos el valor de \( p \).
Entonces utilizando estos  \( q_1 \) y \(  r_1 \)  en (I)
\( q_{1}^3-r_1^3=3^{3m-1}p^3+2\cdot3^{m}pq_{1}r_{1} \) (IV)
y en (III)
\( q_1^3-r_1^3=(q_1-r_1)^3+3q_{1}r_{1}(q_1-r_1) \)
Sustituyendo el valor de \( q_1^3-r_1^3 \) en (IV)
\( (q_1-r_1)^3+3q_{1}r_{1}(q_1-r_1)=3^{3m-1}p^3+2\cdot3^{m}pq_{1}r_{1} \)
Entonces \( (q_1-r_1)^3 \) tiene que ser múltiplo de \( 3 \)?
Y entonces \( (q_1-r_1) \) también tiene que ser múltiplo de 3?
Si \( m>2 \) entonces (IV) bajo que condiciones tiene solución con \( q_1, r_1, p \) coprimos no múltiplos de 3?
Muchas gracias!
Saludos