Hola
De acuerdo en las cuentas.
Y ahora, \( 3^2t^3+6t-14 \) puede ser el cuadrado de un número natural? (*)
Gracias!
Yo diría que no, que no puede serlo (comprobado "a lo bruto" por ordenador no lo es para \( t\leq 10^6 \)); la cuestión es como probarlo.
Saludos.
Prueba:
Si \( 3^2t^3+6t-14=a^{2} \) para algún \( a \), y ya que \( 14 \equiv{2} \pmod {3} \) se tiene que dar que:
I)\( a \equiv {1} \pmod {3} \)
o
II)\( a \equiv {2} \pmod {3} \)
CASO I) \( a \equiv {1} \pmod {3} \)
podemos poner \( a=3k+1 \) para algún \( k \).
Entonces \( 3^2t^3+6t-14=(3k+1)^{2}=9k^2+6k+1 \Rightarrow \)
\( 3^2t^3+6t=9k^2+6k+15 \Rightarrow 3t^3+2t=3k^2+2k+5 \)
Y la igualdad anterior la podemos poner como
\( 3(t^3-1)+2(t-1)=3k^2+2k \Rightarrow \)
\( 3(t^3-1-k^2)=2(k-t+1) \)
Vamos a suponer:
\( \left\{\begin{array}{c}3=k-t+1 \\ 2=t^3-1-k^2 \end{array}\right \Rightarrow \)
\( k=2+t \) sustituyendo en \( 2=t^3-1-k^2 \)
\( 2=t^3-1-(2+t)^2 \Rightarrow t(t^2-t-4)=7 \)
Entonces
\( t=1 \), y la igualdad anterior nos queda \( -4=7 \)
o
\( t=7 \Rightarrow 38=1 \)
Entonces se tiene que dar en
\( 3(t^3-1-k^2)=2(k-t+1) \) que
\( \left\{\begin{array}{c}0=k-t+1 \\ 0=t^3-1-k^2 \end{array}\right \Rightarrow \)
\( k=0 \) y \( t=1 \)
Entonces la única solución para que \( 3^2t^3+6t-14 \) sea un cuadrado de la forma \( 3k+1 \) es para \( t=1 \) ?
donde
(*) si \( t=1 \) en I) nos queda \( s=0 \Rigtharrow \) y por aquí sale la solución trivial al UTF.
Es correcto?
Muchas gracias!
Saludos
