[aureodd]

Hola,
si las cuentas están bien llegamos entonces a
\( 3^{2m-3}(u^3-3^2p^3)=qr(2p-u) \)
el signo tiene que ser el mismo para ambas partes de la igualdad, sino estaríamos en una contradicción.
Evaluo los signos suponiendo que \( 2p-u>0 \) ¿En este caso que ocurre con el signo de \( (u^3-3^2p^3) \)?
Para un caso particular, \( 2p=8 \) y \( u=7 \)
\( (u^3-3^2p^3)=7^3-9\cdot4^3 <0 \)?
Es cierto para el caso general?
Muchas gracias!!!!!!!!
saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 ¡Ah!.

 Veamos:

 \( 2p-u>0 \) si y sólo si \( u<2p \)
 \( u^3-9p^3>0 \) si y sólo si \( u>\sqrt[3]{9}p \)

 Por tanto hay compatbilidad de signos siempre que:

 \( \sqrt[3]{9}p<u<2p \)

Saludos.

[aureodd]

Hola,

Por tanto hay compatbilidad de signos siempre que:
 \( \sqrt[3]{9}p<u<2p \)
Saludos.

Pero \( \sqrt[3]{9}p \sim{2,08p}<u<2p \)
no existe un natural \( u  \) mayor que \( 2,08  \) y menor que \( 2 \), no?

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Pero \( \sqrt[3]{9}p \sim{2,08p}<u<2p \)
no existe un natural \( u  \) mayor que \( 2,08  \) y menor que \( 2 \), no?

¡Ah! Estoy tonto no me di cuenta que \( \sqrt[3]{9}>2 \).

Pero entonces tenemos igualmente compatibilida de signos si:

\( 2p-u<0 \), equivalentemente, \( u>2p \).

\( u^3-9p^3<0 \), equivalentemente, \( u<\sqrt[3]{9}p \)

Es decir si:

 \( 2p<u<\sqrt[3]{9}p \)

Saludos.

[aureodd]

Hola el_manco,
teníamos entonces

si las cuentas están bien llegamos entonces a
\( 3^{2m-3}(u^3-3^2p^3)=qr(2p-u) \) (1)

y además

Pero entonces tenemos igualmente compatibilida de signos si:
\( 2p-u<0 \), equivalentemente, \( u>2p \).
\( u^3-9p^3<0 \), equivalentemente, \( u<\sqrt[3]{9}p \)

Aunque el signo, como bien decías, no va a aportar nada en lo que sigue, escribo (1) como
\( 3^{2m-3}(3^2p^3-u^3)=qr(u-2p) \) (1a)
creo que para que esta igualdad se cumpla se tiene que dar que \( p \equiv 0 \mod (3)  \), lo cual es una contradicción con la hipotesis de que \( p, q, r \) no son múltiplos de \( 3 \).
Prueba: Supongo \( t \) factor común de
\( 3^2p^3-u^3 \) (2)
y
\( u-2p \) (3)
luego \( u \equiv 2p \mod (t) \), sustituyendo en (2)
\( 3^2p^3-(2p)^3 \equiv 0 \mod (t) \Rightarrow p^3 \equiv 0 \mod (t)  \) (4)
Como de (1a) tenemos que \( u-2p \equiv 0 \mod (3) \) entonces de (4) tenemos que  \( t=3 | p^3 \). ¿Es correcto?
Muchas gracias!!
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Aunque el signo, como bien decías, no va a aportar nada en lo que sigue, escribo (1) como
\( 3^{2m-3}(3^2p^3-u^3)=qr(u-2p) \) (1a)
creo que para que esta igualdad se cumpla se tiene que dar que \( p \equiv 0 \mod (3)  \), lo cual es una contradicción con la hipotesis de que \( p, q, r \) no son múltiplos de \( 3 \).
Prueba: Supongo \( t \) factor común de
\( 3^2p^3-u^3 \) (2)
y
\( u-2p \) (3)
luego \( u \equiv 2p \mod (t) \), sustituyendo en (2)
\( 3^2p^3-(2p)^3 \equiv 0 \mod (t) \Rightarrow p^3 \equiv 0 \mod (t)  \) (4)
Como de (1a) tenemos que \( u-2p \equiv 0 \mod (3) \) entonces de (4) tenemos que  \( t=3 | p^3 \). ¿Es correcto?

Para que el argumento funcione partes de un factor \( t \) común a \( 3^2p^3-u^3 \) y \( u-2p \).

Entonces para \( t=3 \) debiera de ocurrir que \( 3 \) fuese un divisor \( 3^2p^3-u^3 \); pero eso si no me equivoco no lo tenemos garantizado. Se cumpliría si \( u \) fuese mútliplo de \( 3 \).

Saludos.

[aureodd]

Hola,
\( u-2p \) divide a \( 3^{2m-3}(3^2p^3-u^3) \) y \( q, r \) no son múltiplos de \( 3 \), luego \( u-2p \) es múltiplo de \( 3 \).
En la prueba de mi respuesta anterior quería probar que cualquier \( t \) que divide a \( u-2p \) también divide a \( 3^2p^3-u^3 \) luego \( 3 \) tiene que dividir a \( 3^2p^3-u^3 \) y de aquí se llega a que \( 3|p^3 \)?

También habíamos elegido \( q-r=3^{m-1}u \) de modo que \( u \) no sea múltiplo de \( 3 \)

Hola

Hola el_manco,
tienes razón. no es correcto lo que afirmaba en mi anterior post. Sin embargo para que se cumpla
\( q^3-3^{3m-1}p^3-r^3 =2\cdot 3^{m}pqr  \) (1)
se tiene que dar que
\( q=3^{m-1}k+r \) para algún \( k \)?

Correcto.

Spoiler

Tenemos:

\( q^3-r^3=3^{3m-1}p^3+2\cdot 3^m pqr=3^m(3^{2m-1}p^3+2pqr) \)

Si \( 3^m \) divide a \( q^3-r^3 \), divide a \( (q-r)(q^2+qr+r^2) \). Dado que

\( (q-r)^2=(q^2+qr+r^2)-3qr \)

y \( q,r \) son coprimos con \( 3 \), se deduce que necesariamente la mayor potencia de \( 3 \) que divide a \( q^2+qr+r^2 \) es \( 3^1 \) y así \( 3^{m-1} \) divide a \( q-r \).

[cerrar]

No se si estoy dejando de considerar algo...
Muchas gracias!
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

En la prueba de mi respuesta anterior quería probar que cualquier \( t \) que divide a \( u-2p \) también divide a \( 3^2p^3-u^3 \) luego \( 3 \) tiene que dividir a \( 3^2p^3-u^3 \) y de aquí se llega a que \( 3|p^3 \)?

Pero es que eso es falso, precisamente cuando \( t=3 \). Es decir, de la igualdad:

\( 3^{2m-3}(u^3-3^2p^3)=qr(2p-u) \)

- Es cierto que se deduce que \( 2p-u \) es mútliplo de \( 3 \).
- Es FALSO que se deduzca que \( u^3-3^2p^3 \) sea múltiplo de \( 3 \).

En todo el argumento que haces en tu mensaje tu tomas como hipótesis que \( t \) divide a \( u^3-3^2p^3 \) (no lo pruebas sino que lo tomas como hipótesis).

Si sigues pensando que no es así, indica de manera clara (o repítemelo resaltando los argumentos claves) como justificas que \( u^3-3^2p^3 \) es múltiplo de \( t=3 \).

Saludos.

[aureodd]

Hola,
entonces si \( 3^2p^3-u^3 \) y  \( 2p-u \) tienen un factor común \( t \) se llega a una contradicción?
Luego se tiene que dar \( 3^2p^3-u^3=qr \)
y
\( 3^{2m-3}=(2p-u) \)?
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Hola,
entonces si \( 3^2p^3-u^3 \) y  \( 2p-u \) tienen un factor común \( t \) se llega a una contradicción?
Luego se tiene que dar \( 3^2p^3-u^3=qr \)
y
\( 3^{2m-3}=(2p-u) \)?
Saludos

No. Se llegaría una contradicción si el factor común fuese \( t=3 \). Pero en otro caso, no veo tal contradicción (indícamela si tu la ves).

En resumen. De \( 3^{2m-3}(u^3-3^2p^3)=qr(2p-u) \) y del hecho de que \( q,p,r \) sean coprimos y no múltipos de \( 3 \) lo que se dedude es que:

 \( 3^{2m-3} \) divide a \( 2p-u \)

y por tanto:

\( u^3-3^2p^3=qr \left(\dfrac{2p-u}{3^{2m-3}}\right) \)

 Pero NO tiene porque cumplirse que: \(  \left(\dfrac{2p-u}{3^{2m-3}}\right)=1 \).

Saludos.