Hola,
\( a=3^{3m-1}p \)
\( b=r^3 \)
\( c=3^{m}pqr \)
entonces el término general del UTF:
\( \underbrace{(a+b+c)^3}_{x^3}=\underbrace{(a+c)^3}_{y^3}+\underbrace{(b+c)^3}_{z^3} \) (*)
Si \( c=2d \) con \( d \in \mathbb{Q} \), \( A=a+d \) y \( B=b+d \)
(*) nos queda como
\( (A+B)^3=(A+d)^3+(B+d)^3\Rightarrow \)
\( 3AB(A+B)= d(3A^2+3B^2)+d^2(3A+3B)+2d^3 \)
y la última igualdad es equivalente a
\( 3AB(A+B)= 3d(A+B)^2+d^2(3A+3B)+2d^3-3\cdot2dAB \)
y vemos ahora los distintos sumandos módulo \( 3^3 \):
No es cierta la afirmación de que todos son múltiplos de \( 3^3 \) excepto uno. Si hacemos el desarrollo podemos ver cual es la potencia mínima de 3.
\( \underbrace{3AB(A+B)}_{III)}= \underbrace{d(3A^2+3B^2)+d^2(3A+3B)}_{IV)}+\underbrace{2d^3}_{I)}-\underbrace{3\cdot2dAB}_{II)} \)
I) \( 2d^3=2(\frac{3^{m}pqr}{2})^3\equiv 0 \mathbf{(3^{3m})} \)
II) \( -3\cdot2dAB=-3\cdot2d.(a+d)(b+d)= \)
\( -3\cdot2d(3^{3m-1}p+\frac{3^{m}pqr}{2})(r^3+\frac{3^{m}pqr}{2})= \)
\( -3\cdot2(\frac{3^{m}pqr}{2})3^{m}(3^{2m-1}p+\frac{pqr}{2})(r^3+\frac{3^{m}pqr}{2})\equiv 0\mathbf{(3^{2m+1})} \)
III) \( 3AB(A+B)=3(3^{3m-1}p+\frac{3^{m}pqr}{2})(r^3+\frac{3^{m}pqr}{2})(3^{3m-1}+r^3+3^{m}pqr)\equiv 0\mathbf{(3^{m+1})} \)
los sumandos que nos queda evaluar son
IV) \( 3d(A+B)^2+3d^2(A+B)=3d(A+B)((A+B)+d)= \)
\( 3(\frac{3^{m}pqr}{2})(3^{3m-1}+r^3+3^{m}pqr)((3^{3m-1}+r^3+3^{m}pqr)+(\frac{3^{m}pqr}{2})) \equiv 0\mathbf{(3^{m+1})} \)
Y en III) y IV) tenemos la misma potencia de 3... creo que esto no sirve de mucho
Saludos
