[*Rafa*]

Hola.

Estoy tratando de seguir el curso y a la vez ir estudiando de mis apuntes. Me encuentro con un problema: me han definido espacio proyectivo de una forma distinta. Mi definición de espacio proyectivo:
Sea \( V \) un espacio vectorial de dimensión \( n+1 \) sobre \( K \), con \( n \) un entero mayor o igual que \( -1 \). Al conjunto \( P(V) \) de los subespacios de \( V \) de dimensión \( 1 \) se le denomina espacio proyectivo asociado a \( V \). Se dirá que \( P(V) \) tiene dimensión \( n \).

¿Hay diferencia entre la definición del curso y la que pongo arriba? Parece que en mi definición, dado un espacio vectorial (sobre \( K \)) obtengo sólo un espacio proyectivo; mientras que en la dada en el curso, puedo ir obteniendo distintos espacios proyectivos (fijado el espacio vectorial \( V \) sobre \( K \)) según vaya variando la aplicación \( \pi \)

Saludos.

[Fernando Revilla]

¿Hay diferencia entre la definición del curso y la que pongo arriba? Parece que en mi definición, dado un espacio vectorial (sobre \( K \)) obtengo sólo un espacio proyectivo; mientras que en la dada en el curso, puedo ir obteniendo distintos espacios proyectivos (fijado el espacio vectorial \( V \) sobre \( K \)) según vaya variando la aplicación \( \pi \)

Son definiciones equivalentes. Ten en cuenta que la aplicación \( \pi \) dada por: 

\( \forall v,w\neq 0: \pi (v) = \pi (w) \Leftrightarrow \exists \lambda \in \mathbb{K}: v= \lambda w \)

no es ni más ni menos que la representación de la igualdad de clases de la relación de equivalencia \( \sim{} \) en \( V-\left\{{0}\right\} \). Para \( w\neq{0} \) su clase de equivalencia es \( [w]=<w>-\left\{{0}\right\} \) lo cual determina un subespacio de \( V \) de dimensión \( 1 \) (la ausencia del vector nulo es irrelevante). Reciprocamente, dado un subespacio \( W \) de \( V \) de dimensión \( 1 \), tenemos \( W=<w> \) para un \( w\neq{0} \) lo cual determina una clase de equivalencia.

Saludos.

[*Rafa*]

Gracias Phidias.

Entonces debajo de la definición dada aquí en el foro de espacio proyectivo ¿podríamos poner la observación siguiente?: Fijado un espacio vectorial \( V \) sobre \( K \) sólo existe un espacio proyectivo, independiente de la aplicación \( \pi \).

Saludos.

[Fernando Revilla]

Entonces debajo de la definición dada aquí en el foro de espacio proyectivo ¿podríamos poner la observación siguiente?: Fijado un espacio vectorial \( V \) sobre \( K \) sólo existe un espacio proyectivo, independiente de la aplicación \( \pi \).

Así es.

Saludos.

[Gerard_bdn]

Gracias Phidias.

Entonces debajo de la definición dada aquí en el foro de espacio proyectivo ¿podríamos poner la observación siguiente?: Fijado un espacio vectorial \( V \) sobre \( K \) sólo existe un espacio proyectivo, independiente de la aplicación \( \pi \).

Saludos.

Hola *Rafa*. Ya he hecho la modificación.
Siento no haber añadido nada últimamente, pero esta semana he estado de vacaciones y no he parado por casa. En breve haré otro ataque al curso.

Un saludo!

[*Rafa*]

Hola Gerard,

Yo me ofrezco, si parece bien a los presentes y a ti por supuesto, en ayudarte a ir escribiendo algunos temas del curso. En principio, sería cuestión de ponerse en contacto y organizarse un poco para que no resulte un caos (puede que yo use otras definiciones y notaciones). Por ejemplo, yo podría dedicarme a presentar determinados temas, y tú otros. Así te quitas un poco de trabajo de encima.

Bueno, ahí queda mi propuesta ver que os parece.

Saludos.