Autor Tema: Consultas, comentarios y ejercitación del curso: Métodos de Integración

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06 Enero, 2010, 09:24 am
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Jabato

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Este curso está basado en el texto CALCULO INTEGRAl de P. PUIG ADAM, que podeis encontrar en la editorial Gomez Puig, ediciones.

Los requisitos previos para poder seguir el curso con cierta facilidad es tener sobretodo unos conocimientos aceptables de Matemática elemental a nivel de secundaria y algo más avanzados de funciones reales de variable real y sobre todo del concepto de Integral, ya que pretendo que el curso sea eminentemente práctico, eludiendo la retórica y entrando directamente al grano, es decir, buscando sobretodo aprender a resolver integrales a nivel de experto, enfocando el curso sobre todo al cálculo de primitivas. Claro está que si se considerara oportuno se podrán realizar, a petición de los alumnos, exposiciones de tipo teórico relativas al concepto de integral, pero de forma puntual, el objetivo del curso no es ése sino aprender a integrar, al menos ese es el enfoque que me gustaría darle. Es un curso modesto, sin grande alardes teóricos, pero los conocimientos que en él se adquirirán son muy prácticos, dentro del ámbito de la matemática. Procuraré pues aportar un gran número de ejercicios resueltos y ejemplos que comentaremos en detalle.

*** EL CURSO TENDRA UNA SEGUNDA PARTE EN LA QUE SE TRATEN LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES. AUNQUE ESTE TEMA DA PARA UN CURSO COMPLETO INDEPENDIENTE PERO QUE ENCAJARÍA TAMBIÉN SIN PROBLEMAS COMO PROLONGACIÓN DE ÉSTE.

Realmente el cálculo de funciones primitivas es un problema más próximo, en mi opinión, a la resolución de ecuaciones diferenciales que al cálculo de integrales definidas propiamente dichas, ya que el primero obedece a la resolución de una ecuación diferencial de primer orden de la forma:

\( \boxed{y'=f(x)} \)

cuyo objetivo no es más que dar la solución general a dicha ecuación, cuando el segundo problema, el de cálculo de integrales definidas, trata de evaluar más bien el valor de una medida (áreas, longitudes, valores medios, etc), es por eso que justifico la inclusión de esta segunda parte del curso como prolongación de la primera llevando el problema hasta sus últimas consecuencias, es decir, al caso más general de las ecuaciones diferenciales de primer orden, explícitas e implícitas:

\( \boxed{y'=f(x,y)} \)            \( \boxed{F(x,y,y')=0} \)

e incluso a las de orden superior:

\( \boxed{F(x,y,y',y'', \cdots, y^{(n})=0} \)

lo que nos da una panorámica muy sencilla y completa de cual va a ser el desarrollo del curso, a grandes rasgos.

Este punto de vista, que es muy personal y tan discutible como cualquier otro, es el que justificaría la inclusión de esta segunda parte del curso, aunque verdaderamente dicha visión no coincide con la visión general que suele darse en las aulas debido a la relación existente entre uno y otro problema mediante la regla de Barrow, pero esa relación no debería desvirtuar la diferencia fundamental que existe entre ellos y que es muy clara bajo este prisma, y que demuestra que el objetivo del cálculo de integrales definidas es claramente muy distinto al problema del cálculo de funciones primitivas.

La segunda parte del curso se tratará en igual forma que la primera, es decir, minimizando la parte teórica y tratando de dotar al alumno de una ejercitación a nivel de experto en la resolución de dichas ecuaciones diferenciales, por supuesto con la inclusión de multitud de ejercicios resueltos, ejemplos y otros propuestos para que los propios alumnos traten de resolver. La guía del curso no sería en este caso ningún libro sino unos apuntes en formato PDF que podéis encontrar en Internet en la dirección:


que son bastante aceptables, pero que sobre todo se adaptan muy bien a las necesidades del curso, aunque adolecen de una ausencia significativa, me refiero a las ecuaciones lineales, que aunque aparecen en el texto, el tratamiento que les dá no es el más adecuado para su resolución por lo que tendremos que suplementar con algún otro texto que de momento no tengo demasiado claro cual pueda ser, aunque seguro que encontramos muchos que traten bien y en profundidad el tema.

Para la cuestión de los problemas resueltos de ecuaciones diferenciales tengo idea de usar el "Makarenko":

PROBLEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS de A. Kiselov, M. Krasnov y G. Makarenko

libro muy bueno y muy conocido, sobre todo en el ámbito de las ingenierías, y que podeis bajaros en Internet desde diversos sitios, aunque pagando, pero dado que no es necesario seguir un texto para la aplicación al curso ya que solo interesan los problemas resueltos que contiene y no la teoría, cualquier otro aporte de ejercicios y problemas por parte de los alumnos será bienvenido. Los requisitos previos para poder seguir adecuadamente esta segunda parte del curso no son tampoco demasiado exigentes, aunque no cabe duda que el alumno debe estar más ó menos familiarizado con las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, saber lo que son y para qué sirven, ya que con eso creo que debería ser suficiente para sacar un buen rendimiento al curso.

Estoy convencido de que el contenido de este curso "casi" garantiza a todo aquél que lo realice la habilidad de saber integrar casi todo lo que sea integrable en el ámbito de las funciones reales de variable real, de forma que espero que nos aproveche a todos, a mí también, puesto que también espero mejorar mis conocimientos sobre esta materia.

La fecha de comienzo no está decidida de momento y no habrá inconveniente en que haya inscripciones estando el curso ya avanzado, ya que cada alumno puede seguir la parte que más le interese y obviar las demás.

Para responder a las consultas, dudas, ó lo que fuere, tendréis que inscribiros previamente, es condición del foro, posteando una respuesta en este mismo hilo, diciendo "Me inscribo", o algo por el estilo.

¡Animo! Saludos, Jabato. ;D

Aquí podréis hacer las consultas, observaciones y proponer los problemas que querais y donde realizaremos ejemplos y ejercicios de aprendizaje y práctica del curso. Será el foro donde se debatirán los conceptos, las dudas y todo lo que queráis relacionado con el curso.

Os mantendré informados de las inscripciones que se vayan produciendo aquí:

Spoiler
Tabla de Inscripciones por orden de aparición:

1.- Marlon (Ángel)

2.- Aitor

3.- Sabio24

4.- Aesede

5.- Illminatus

6.- Vekito22

7.- papa

8.- Math_bass55

9.- lex

10.- Satanista

11.- gamby

12.- n3yz3r

13.- syngates

14.- jodiep04

15.- gmares

16.- AllamGF

17.- Ser Humano

18.- alexis74

19.- aciba

20.- Ulysses

21.- noobmath

22.- Jöns Jacob

23.- SamV

24.- josepapaiii

25.- manuel

26.- nktclau

27.- Platon

28.- cladimarce

29.- makoto91

30.- camicasilo

31.- gmares

32.- herotodo

[cerrar]


Saludos, Jabato. ;D

14 Enero, 2010, 02:40 am
Respuesta #1

aesede

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Hola Jabato.

¿Las respuestas a los ejercicios las ponemos acá? ¿O las mandamos por MP?

14 Enero, 2010, 02:45 am
Respuesta #2

argentinator

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14 Enero, 2010, 03:20 am
Respuesta #3

aesede

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Ok ;)

No están todas, pero a medida que pueda voy actualizando el post. Acá van:

1) Se resuelve por sustitución, haciendo el cambio \( u=ln(x) \). Solución: \( y = \displaystyle\frac{1}{3} ln^3(x) + c \)

2) Se resuelve por sustitución, haciendo el cambio \( u=x+1 \). Solución: \( y = \displaystyle\frac{1}{2} ln^2(x+1) + c \)

3) Se resuelve por sustitución, haciendo el cambio \( u=x^3+1 \). Solución: \( y = \displaystyle\frac{2}{3} \sqrt{x^3+1} + c \)

4) Se resuelve por sustitución, haciendo el cambio \( u=x^2-6 \). Solución: \( y = - \displaystyle\frac{1}{ \sqrt{x^2-6}} + c \)

5) Se resuelve por sustitución, haciendo el cambio \( u=5-x^2 \). Solución: \( y = \displaystyle\frac{1}{4 (5-x^2)^2} + c \)

6) Se resuelve por sustitución, haciendo el cambio \( u=3+x^4 \). Solución: \( y = \displaystyle\frac{1}{2} \sqrt{3+x^4} + c \)

7) Se resuelve por sustitución, haciendo el cambio \( u=a+bx^3 \). Solución: \( y = - \displaystyle\frac{1}{3b(a+bx^3)} + c \)

8) Se resuelve por sustitución, haciendo el cambio \( u=2-x^3 \). Solución: \( y = - \displaystyle\frac{1}{3} ln(2-x^3) + c \)

9) Se resuelve como la integral de una suma de funciones. Solución: \( y = 2 \sqrt{x} + \displaystyle\frac{1}{2} ln^2(x) + c \)

10) El integrando es un cociente de polinomios, así que si hacemos el cociente tenemos una integral polinómica sencilla de resolver. Solución: \( y = 2x - \displaystyle\frac{5}{2} x^2 + c \)

11) Se resuelve partiendo de que \( \frac{d}{dx} [arctg(u)] = \displaystyle\frac{u'}{1+u^2} \). Solución: \( y = \displaystyle\frac{1}{4} arctan(x/2) + c \)

Por ahora me voy a dormir, mañana termino con las que faltan. Un saludo.

14 Enero, 2010, 04:32 am
Respuesta #4

Phicar

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Bro es que creo que el ejercicio de aplicacion 6 esta mal o yo estoy errado, porque las derivo y una es negativa y la otra no ;).....


Lindo curso, by the way :)
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14 Enero, 2010, 05:15 am
Respuesta #5

Dogod

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14. Por sustitución: Finalmente se integra: \( -\displaystyle\frac{1}{4}10^u.du \). Y como la primitiva las integrales de la forma

\( a^u = \displaystyle\frac{1}{Ln(a)}a^u + C, \) entonces la respuesta es:

\( y = -\displaystyle\frac{1}{4}\displaystyle\frac{10^{5 - 4x}}{Ln(10)} \).


La 15 también es por sustitución. Se integra \( \displaystyle\int_{}^{}e^{-u}.du \) Y la respuesta es:
\(
y = -\displaystyle\frac{1}{2}e^{-x^2 - 1} + C \)


La 16 creo que se podría hacer con el cambio: \( Sen(x) = \displaystyle\frac{2z}{1 + z^2}, cos(x) = \displaystyle\frac{1 - z^2}{1 + z^2} \), \( dx = \displaystyle\frac{2dz}{1 + z^2} \). Pero también podemos ver que el numerador es la derivada del denominador, así:

\(
u = sen(x) + cos(x), du = cos(x) - sen(x). \) De modo que nos queda:

\( -\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{1}{u}du = -Ln(u) + C = -Ln(sen(x) + cos(x) + C \)


Hasta pronto.
Las cosas pasan es por algo, y no hay mal que por bien no venga dicen en mi tierra...

14 Enero, 2010, 05:23 am
Respuesta #6

Jabato

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Ok ;)

No están todas, pero a medida que pueda voy actualizando el post. Acá van:

1) Se resuelve por sustitución, haciendo el cambio \( u=ln(x) \). Solución: \( y = \displaystyle\frac{1}{3} ln^3(x) + c \)

2) Se resuelve por sustitución, haciendo el cambio \( u=x+1 \). Solución: \( y = \displaystyle\frac{1}{2} ln^2(x+1) + c \)

3) Se resuelve por sustitución, haciendo el cambio \( u=x^3+1 \). Solución: \( y = \displaystyle\frac{2}{3} \sqrt{x^3+1} + c \)

4) Se resuelve por sustitución, haciendo el cambio \( u=x^2-6 \). Solución: \( y = - \displaystyle\frac{1}{ \sqrt{x^2-6}} + c \)

5) Se resuelve por sustitución, haciendo el cambio \( u=5-x^2 \). Solución: \( y = \displaystyle\frac{1}{4 (5-x^2)^2} + c \)

6) Se resuelve por sustitución, haciendo el cambio \( u=3+x^4 \). Solución: \( y = \displaystyle\frac{1}{2} \sqrt{3+x^4} + c \)

7) Se resuelve por sustitución, haciendo el cambio \( u=a+bx^3 \). Solución: \( y = - \displaystyle\frac{1}{3b(a+bx^3)} + c \)

8) Se resuelve por sustitución, haciendo el cambio \( u=2-x^3 \). Solución: \( y = - \displaystyle\frac{1}{3} ln(2-x^3) + c \)

9) Se resuelve como la integral de una suma de funciones. Solución: \( y = 2 \sqrt{x} + \displaystyle\frac{1}{2} ln^2(x) + c \)

10) El integrando es un cociente de polinomios, así que si hacemos el cociente tenemos una integral polinómica sencilla de resolver. Solución: \( y = 2x - \displaystyle\frac{5}{2} x + c \)

11) Se resuelve partiendo de que \( \frac{d}{dx} [arctg(u)] = \displaystyle\frac{u'}{1+u^2} \). Solución: \( y = \displaystyle\frac{1}{4} arctan(x/2) + c \)

Por ahora me voy a dormir, mañana termino con las que faltan. Un saludo.

Vamos a ver aesede, parece que te defiendes bien con las integrales, pero a la hora de comentar tus respuestas debo hacer algunas matizaciones. Según he dicho en la parte de teoría, el método de substitución se basa en un cambio de la forma:

\( x=x(u) \)

Dicho cambio de variable, debe cumplir dos condiciones, debe ser invertible y debe tener validez en todo el dominio de la función subintegral. Bien, entonces las soluciones a los ejercicios que aportas, vistas como aplicación del método de substitución, adolecen de algunos "defectillos":

a) El cambio de variable deberías haberlo expresado en la forma \( x=x(u) \) y no al revés \( u=u(x) \). Esto no plantea demasiados problemas en el caso de las intgerales 1, 2 y 3, por ejemplo, pero ...

b) En las integrales 4, 5 y 6 el cambio de variable no es correcto porque no se corresponde con una función invertible.

Sin embargo los resultados a los que llegas si son correctos, pero porque has empleado la composición de funciones como método de integración y no el método de substitución. De hecho las ocho primeras integrales se deberían resolver, en mi opinión, por composición de funciones. No estoy demasiado seguro de que captes la sutil diferencia entre un método y otro.

Tampoco aclaras en la integral 9 como resuelves cada uno de los sumandos. El primero es una integral inmediata, pero ¿como resuelves el segundo sumando?

En la integral 10 podías dar algún detalle más.

Saludos, Jabato. ;D

14 Enero, 2010, 05:34 am
Respuesta #7

Jabato

  • Visitante
Phicar, por favor, si deseas intervenir en el curso debes inscribirte primero. Puedes hacerlo en el hilo de organización de este curso, tienes un enlace para hacerlo al comienzo e este hilo, pero mientras no te inscribas te agradeceré que te abstengas.

Gracias, Jabato.

14 Enero, 2010, 06:03 am
Respuesta #8

Jabato

  • Visitante
Resolución del ejercicio 1 por el método de substitución:

\( y'=\displaystyle\frac{Ln^2(x)}{x} \)

Realizamos el cambio de variable:

\( x=e^t \)      \( dx=e^tdt \)              \( y=\displaystyle\int_{}^{}t^2dt=\displaystyle\frac{t^3}{3}+Cte \)

y para deshacer el cambio de variable aplicamos la substitución inversa \( t=t^{-1}(x)=Ln(x) \), con lo que llegamos a la solución final:

\( \boxed{y = \displaystyle\frac{1}{3} ln^3(x) + Cte} \)

Resolución del ejercicio 1 por el método de composición:

\( y'=\displaystyle\frac{Ln^2(x)}{x} \)

Teniendo en cuenta que:

\( \displaystyle\frac{dx}{x}=d(Ln(x)) \)

resulta que:

\( y=\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{Ln^2(x)}{x}\ dx=\displaystyle\int_{}^{}Ln^2(x)d(Ln(x))=\displaystyle\int_{}^{}u^2du=\displaystyle\frac{1}{3}u^3+Cte \)

que nos permite ya resolver directamente la integral por composición, obteniéndose, claro está, el mismo resultado que antes.

Quizás hay demasiadas "sutilezas" en todo esto, estoy completamente de acuerdo en el caso que nos ocupa, pero hay otras muchas integrales, y las veremos, donde no tener en cuenta este tipo de sutilezas puede llevarnos a errores garrafales.

Resolución del ejercicio 1 por partes (como producto) : También es posible usar integración por partes, ya que considerando que:

\( u=Ln^2(x) \)       \( v=Ln(x) \)

resulta:

\( \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{Ln^2(x)}{x}\ dx=Ln^3(x)-2\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{Ln^2(x)}{x}\ dx\qquad\longrightarrow{}\qquad 3\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{Ln^2(x)}{x}\ dx=Ln^3(x) \)

que nos conduce directamente a la solución.

Mañana os pongo algunas otras soluciones del resto de ejercicios, y comentamos la jugada.

Saludos, Jabato. ;D

14 Enero, 2010, 09:22 am
Respuesta #9

Jabato

  • Visitante
Otra cuestión es que dado que el cursillo trata de métodos y no de soluciones, y dado que en esta disciplina tampoco es demasiado extraño llegar a soluciones correctas usando métodos incorrectos, es por lo que os pediría que cada vez que mostreis un ejercicio resuelto aportéis el detalle del método empleado para resolverlo, ya que eso es lo que más interesa al caso. De hecho ya se ve que aesede ha llegado a soluciones correctas usando métodos, cuando menos cuestionables, y es un fenómeno que se repetirá a menudo a lo largo del curso. Pero ¡ojo!, la única forma de garantizar que las soluciones son correctas es ... aplicar correctamente los métodos.

Saludos, Jabato. ;D