[Jabato]

Tus dos soluciones son incorrectas (incompletas estrictamente hablando) porque en ninguna de las dos se admiten valores negativos de \( y \) y sin embargo existen soluciones para las que \( y<0 \). Piensa que en la segunda solución que planteas es obligado que \( c>0 \) lo que conduce en igual forma a valores positivos de \( y \)

¿Porqué no mejor esta otra?

\( {y'=yx\qquad\longrightarrow{}\qquad \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{dy}{y}=\displaystyle\int_{}^{}dx\qquad\longrightarrow{}\qquad Ln|y|=x+c\qquad\longrightarrow{}\qquad y=\pm{\ e^{x+c}}\qquad\longrightarrow{}\qquad y=\pm{\ e^c\cdot e^x}=ke^x} \)

en la que se admiten tanto valores positivos como negativos e incluso nulos de la constante de integración y no hay pérdida de soluciones.

Piensa que si aceptas solo una de estas dos expresiones para la primitiva de \( 1/y \):

\( \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{dy}{y}=Ln(y)+Cte \)                             \( \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{dy}{y}=Ln(-y)+Cte \)

estas obligando implícitamente a que \( y \) adopte solo valores positivos ó negativos, pero en ambos casos pierdes soluciones, la solución más correcta pasa por considerar que: 

\( \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{dy}{y}=Ln|y|+Cte \)

como ya se ha comentado en alguna otra parte de este hilo, ¿no te parece?

La pérdida de soluciones a la hora de resolver una ecuación diferencial es a menudo un problema grave, y no es conveniente fomentarlo sino más bien ponerlo de manifiesto siempre que se presente.

Saludos, Jabato.

[gmares]

Hola Jabato, gracias por la respuesta. Pero creo que la primer solución si admite valores negativos de y:
\( \frac{y}{c} = e^x  \)

Pasando c al segundo miembro:
\( y = c \cdot{e^x} \) lo que coincide con lo que tu pones en \( e^c\cdot e^x=ke^x \), parecen ser la misma solución. Lo que sí, en mi solución, no se admite el valor 0 para c: \( c\neq{0} \)

En cuanto a:

Piensa que en la segunda solución que planteas es obligado que \( c>0 \) lo que conduce en igual forma a valores positivos de \( y \)

Siendo la expresión \( y = e^{x+c} \) aquí \( c \) puede ser negativo, es decir \( c < 0 \), no veo por que no. En lo que sí estoy completamente de acuerdo es que expresada de esta forma, no existen valores de \( c \) que hagan negativos a \( y \), por lo que coincido que es una solución "parcial" y por ello incorrecta. No es por contradecir, nada mas planteo mis dudas  . Al fin al cabo etoy de acuerdo contigo, veo que la expresión debe resultar de forma que admita todos los valores solución, y no colocar \( c \) por que sí en cualquier lado. Corríjeme si este último razonamiento es correcto por favor.

PD: Aquí te había dejado otra duda similar, que tal vez exprese mejor mi duda, sucede que justo se agregó una página al tema y esta quedo "oculta" en la página tres. http://rinconmatematico.com/foros/index.php?action=post;msg=157700;topic=28768.60;sesc=6a8ecfe5f195198033dd79eb9b390f1e#top

[Jabato]

Bueno, yo diría por la forma en que hiciste la deducción que en tu desarrollo se muestra el logaritmo de \( c \), y ó me explicas como justificas que \( c \) pueda ser negativo ó no puedo aceptar que \( c \) sea negativo.

[gmares]

Entiendo lo que dices, partí de \( Ln\ c \) pero es que no coloqué las barras de valor absoluto si fuese \( Ln\ \left |{y }\right | - Ln\ \left |{c}\right |\ = x \) supongo en ese caso abría sido correcto mi razonamiento, es decir, el procedimiento estubo mal, pués ál elegir mi constante como \( Ln\ c \) ya desde ahí excluí soluciones...

[herotodo]

Jabato, he estado tratando de entender integración por derivación respecto de un parámetro leyendo lo que le explicaste a gmares,me aclaró algunas cosas, pero todavía no entiendo.
?El parámetro p solo se le multiplica al exponente x de \(  e  \)?
?este tipo de integración solo es válida cuando está presente \(  e^x  \)?
?Cómo integraría una función de la forma \(  (ax^2+bx+c)e^x  \). ?
saludos

[Jabato]

Ocurre que el procedimiento es válido de forma general, lo que pasa es que su utilidad máxima aparece cuando el parámetro aprece en la forma expuesta en la función exponencial, pero pueden hacerse desarrollos similares en funciones trigonométricas tales como el seno y el coseno, por ejemplo, aunque su efectividad disminuye a medida que nos alejamos de la exponencial. Basta con que la función sea integrable, y ella misma y su primitiva sean derivables respecto de \( p \). Al aplicar la condición de Schwartz se concluye con la validez del método, que de forma más general puede expresarse como:

\( \displaystyle\int \frac{{\partial}}{{\partial p}}f(px)g(x)\ dx=\displaystyle\frac{{\partial}}{{\partial p}}\displaystyle\int f(px)g(x)\ dx+Cte \)

Por otro lado tenemos que:

\( \displaystyle\int (ax^2+bx+c)e^x\ dx=a\displaystyle\int x^2e^x\ dx+b\displaystyle\int xe^x\ dx+c\displaystyle\int e^x\ dx \)

en la que cada sumando puede resolverse por derivación parametrica de forma independiente. ¿Se te ocurre una forma más rápida de hacerlo? A mi no. Debes tener en cuenta que a la hora de integrar no solo cuenta saber hacerlo bien, sino también saber hacerlo deprisa, usando los métodos más ágiles a nuestra disposición, lo que suele ser incluso más difícil todavía.

Saludos, Jabato.

[gmares]

Jabato dónde está el error:
Dada la ecuación diferencial \( y'\ =\ \frac{y}{x} \) (1)
Resuelvo separando las variables:
\( \displaystyle\int_{}^{}\frac{dy}{y}\ =\ \displaystyle\int_{}^{}\frac{dx}{x} \) luego esto es igual a:
\( Ln\ \left |{y}\right |\ =\ Ln\ \left |{x}\right | + c \) siendo \( c \) una constante, ahora bien puedo poner esta constante como:
\( Ln\ \left |{y}\right |\ =\ Ln\ \left |{x}\right | + Ln\ \left |{c}\right |\ \Rightarrow{}\ Ln\ \left |{y}\right |\ =\ Ln\ \left |{x\cdot{c}}\right | \)
Finalmente: \( y\ =\ x\cdot{c} \)

La pregunta es: es viable hacer lo mismo del lado de las \( y \). Es decir, si la integral respecto a \( y \) y la integral respecto a \( x \) difieren en una constante, entonces sumo dicha constante a \( y \).
\( Ln\ \left |{y}\right | + c\ =\ Ln\ \left |{x}\right | \)
\( Ln\ \left |{y}\right |\ + Ln\ \left |{c}\right |\ =\ Ln\ \left |{x}\right |  \Rightarrow{}\ Ln\ \left |{y \cdot{c}}\right |\ =\ Ln\ \left |{x}\right | \)
Finalmente \( y\cdot{c}\ =\ x \) (2)

En caso de que sí, pregunto lo siguiente: Dada la ecuación: \( y\ =\ x \cdot{c} \) obtengamos la ecuación diferencial que se corresponde con esa familia de funciones:
\( y\ =\ x \cdot{c} \)
\( \frac{y}{x} =\ c \)
\( y'\ =\ c \)
Reemplazo \( c \) y me queda:
\( y'\ =\ \frac{y}{x} \)
Llegamos a (1) lo que de alguna forma indica que se ha procedido correctamente.

Sin embargo mi duda surge aquí:
\( y\ =\ x \cdot{c} \)
\( \frac{y}{c} =\ x \)
Luego:
\( \frac{1}{c} =\frac{x}{y} \)
Pero aquí \( c \) es una constante arbitraria entonces \( \frac{1}{c} \) es una constante arbitraria también que podría designar nuevamente con \( c \) o bien para ser más claros con \( c_1 \) luego:
\( y'\ =\ c \) como \( c \) es cualquie constante, entonces la reemplazo por \( c_1 \) luego:
\( y'\ =\ c_1 \)
Reemplazo \( c_1 \) y me queda:
\( y'\ = \frac{x}{y} \)
No llegamos a (1) sino que llegamos más bien llegamos a (2), pero hemos procedido correctamente apoyados en la arbitrariedad de \( c \) y \( c_1 \), que sucedió entonces?

Espero se entienda mi duda, es respecto a la constante c, parece ser algo así como el concepto de \( \infty \) pues las operaciones no la afectan, entonces como podemos a partir de dicha constante inferir que esta divide o multiplica para hallar una ecuación diferencial?

[Jabato]

En tu segunda pregunta lo que no puedes hacer es substituir \( c \) por \( c_1 \). Vayamos por partes y más despacio:

Razonamiento a)

\( y=cx\qquad\longrightarrow{}\qquad \displaystyle\frac{y}{x}=c\qquad\longrightarrow{}\qquad y'=c\qquad\longrightarrow{}\qquad y'=\displaystyle\frac{y}{x} \)

Razonamiento b)

\( {y=cx\qquad\longrightarrow{}\qquad \displaystyle\frac{y}{c}=x\qquad\longrightarrow{}\qquad \displaystyle\frac{1}{c}=\displaystyle\frac{x}{y}\qquad\longrightarrow{}\qquad \boxed{y'=c=c_1=\displaystyle\frac{1}{c}=\displaystyle\frac{x}{y}}} \)     

La ecuación recuadrada es falsa. De donde te sacas que \( y'=c_1 \) La constante es arbitraria si la matienes arbitraria, pero si la condicionas mediante una ecuación entonces ya no es arbitraria, está sometida a una ecuación que en este caso es:

\( c=\displaystyle\frac{1}{c}\qquad\longrightarrow{}\qquad c=\pm{1} \)

Observa entonces que para esos dos valores de c se cumple la:

\( \displaystyle\frac{y}{x}=\displaystyle\frac{x}{y}  \)

Lo que has hecho es condicionar los valores de \( c \) de una forma velada, no explícita, mediante un razonamiento basado en la arbitrariedad de \( c \) que no es correcto. Piensa que a cada punto del plano le corresponde un único valor de \( c \), y cada valor de \( c \) determina una curva. No es correcto asumir que:

\( c=\displaystyle\frac{1}{c} \)

porque estás distorsionando el conjunto de soluciones de la ecuación diferencial.

No sé bien si aclaré tu duda. Analiza un poco más el concepto de "constante arbitraria", me parece que no lo tienes claro.
Saludos, Jabato.

[gmares]

Saludos Jabato, gracias por contestar.
Si aclaraste la duda con esto:

La ecuación recuadrada es falsa. De donde te sacas que \( y'=c_1 \) La constante es arbitraria si la matienes arbitraria, pero si la condicionas mediante una ecuación entonces ya no es arbitraria, está sometida a una ecuación

Una ultima cosa que viene al caso, supongamos:
\( y' = 2\cdot{\frac{y}{x}} \)

Integrando obtenemos:
\( Ln\left |{y}\right | = Ln \left |{{(x\cdot{C_1}})^2}\right | \)
Finalmente:
\( y = x^2\cdot{{c_1}^2} \)

La duda es: si observo \( {c_1}^2 \) evidentemente es un valor positivo pues está elevado al cuadrado, si para simplificar, decido reemplazar  \( {c_1}^2 \) por \( c_2 \), no estaría cometiendo un error, al pasar por alto que \( c_2 \) no es totalmente arbitraria, sino que solo puede tomar valores positivos, no sería más correcto dejar expresado simplemente \( {c_1}^2 \). Ya que en este caso se deja sentado explícitamente que el valor constante es positivo?

[Jabato]

¿Resolviste bien tu ecuación diferencial? ¿Estás seguro de que \( y \) no puede tomar valores negativos? Revisa de donde sale ese \( C_1^2 \) a ver si estás perdiendo soluciones por alguna parte.

Saludos, Jabato.