En tu segunda pregunta lo que no puedes hacer es substituir \( c \) por \( c_1 \). Vayamos por partes y más despacio:
Razonamiento a)\( y=cx\qquad\longrightarrow{}\qquad \displaystyle\frac{y}{x}=c\qquad\longrightarrow{}\qquad y'=c\qquad\longrightarrow{}\qquad y'=\displaystyle\frac{y}{x} \)
Razonamiento b)\( {y=cx\qquad\longrightarrow{}\qquad \displaystyle\frac{y}{c}=x\qquad\longrightarrow{}\qquad \displaystyle\frac{1}{c}=\displaystyle\frac{x}{y}\qquad\longrightarrow{}\qquad \boxed{y'=c=c_1=\displaystyle\frac{1}{c}=\displaystyle\frac{x}{y}}} \)
La ecuación recuadrada es falsa. De donde te sacas que \( y'=c_1 \) La constante es arbitraria si la matienes arbitraria, pero si la condicionas mediante una ecuación entonces ya no es arbitraria, está sometida a una ecuación que en este caso es:
\( c=\displaystyle\frac{1}{c}\qquad\longrightarrow{}\qquad c=\pm{1} \)
Observa entonces que para esos dos valores de c se cumple la:
\( \displaystyle\frac{y}{x}=\displaystyle\frac{x}{y} \)
Lo que has hecho es condicionar los valores de \( c \) de una forma velada, no explícita, mediante un razonamiento basado en la arbitrariedad de \( c \) que no es correcto. Piensa que a cada punto del plano le corresponde un único valor de \( c \), y cada valor de \( c \) determina una curva. No es correcto asumir que:
\( c=\displaystyle\frac{1}{c} \)
porque estás distorsionando el conjunto de soluciones de la ecuación diferencial.
No sé bien si aclaré tu duda. Analiza un poco más el concepto de "constante arbitraria", me parece que no lo tienes claro.
Saludos, Jabato.
