[Jabato]

1- Es como que asumes que la función integrando es función de dos variables, una x, y la otra p, a quien le das finalmente, el valor 1. Por eso aparece la derivada parcial verdad? En dicho caso me parece que más que paramétrico, se introduce una nueva variable a la función, para que se convierta en una función de dos variables... Es decir, por que paramétrico?

Bueno, no es exactamente así, \( p \) es un parámetro ya que asume un valor en la integral, el que más te guste, pero un único valor, aunque si prefieres considerarlo como una segunda variable respecto de la que vamos a derivar no seré yo quien te ponga objeciones a eso. Pero el método tiene nombre y se denomina "integración por derivación respecto de un parámetro".

2- No comprendo bien que le pasa al \( dx \):
\( {\displaystyle\int_{}^{}x^2e^x\ dx=\left[\frac{{\partial^2}}{{\partial p^2}}\displaystyle\int_{}^{}e^{px}\ dx\right]_{p=1}=\left[\frac{{\partial^2}}{{\partial p^2}}\displaystyle\frac{e^{px}}{p}\right]_{p=1}=\left[\frac{{\partial}}{{\partial p}}\displaystyle\frac{(px-1)}{p^2}e^{px}\right]_{p=1}=\left[\displaystyle\frac{p^2x-2p(px-1)}{p^4}e^{px}+x\displaystyle\frac{px-1}{p^2}e^{px}\right]_{p=1}=(x^2-2x+2)e^x+Cte} \)

Aquí queda una integral sin diferencial:

\( {\displaystyle\int_{}^{}x^2e^x\ dx=\left[\frac{{\partial^2}}{{\partial p^2}}\displaystyle\int_{}^{}e^{px}\right]_{p=1} \)

La integral se transforma completamente y el \( dx \) "vuela"? No debería transformarse en \( dp \) ??

No, no, el diferencial se me olvidó ponerlo por error, ya lo he corregido sobre estas lineas. lo que se hace es derivar dos veces el resultado de la integral y particularizar posteriormente el valor obtenido para \( p=1 \)

Continuaré aclarando tus dudas.

[Luis Fuentes]

Hola

 Perdonad la intromisión. En cuanto a esto:

Hola Jabato, hace tiempo me surgió una duda, no respecto a un método pero creo que viene al caso. En muchas ocasiones he observado una expresión como \( \displaystyle\int_{}^{}\left |{f(x)}\right |\ dx \), esto es un simbolismo o se puede resolver una integral de este tipo. Digamos \( \displaystyle\int_{}^{}\left |{\frac{e^{5x}}{8x^2}}\right | dx \), esto tiene una solución especial o simplemente debo aplicar el valor absoluto a la primitiva hallada? Saludos!

 La forma buena de enfocarlo es la que apunta Jabato:

Si acaso se me ocurre que la forma más aproximada a una solución sería, basándonos en el teorema fundamental del cálculo, algo parecido a esto:

\( \displaystyle\int_{}^{}|f(x)|\ dx=\displaystyle\int_{a}^{x}|f(t)|\ dt+Cte \)

 Nótese que para calcular:

\( \displaystyle\int_{a}^{x}|f(t)|\ dt \)

 debemos dependiendo de los valores de \( x \), dividir nuestra intervalo de integración en trozos separando aquellos donde \( f(t) \) es siempre negativo, de los que vale positivo.

 Es fácil por ejemplo practicar con el caso más sencillo:

\( \displaystyle\int |x|dx \)

 La primitiva salvo constante debe de dar:

\( F(x)=\begin{Bmatrix} x^2/2 & \mbox{ si }& x\geq 0\\-x^2/2 & \mbox{si}& x<0\end{matrix} \)

Saludos.

[Jabato]

Gracias manco por la puntualización, la verdad es que nunca me había enfrentado a integrales indefinidas en las que la función subintegral está encerrada entre las barras del valor absoluto y no estaba seguro de que lo que apunté fuera del todo exacto. Parece que si.

Bien siguiendo con las aclaraciones a gmares, que parece que le está costando este método le diré solo una cosa más de momento, todo el método se basa en la siguiente igualdad:

\( \displaystyle\frac{{\partial^n}}{{\partial p^n}}\displaystyle\int_{}^{}e^{px}\ dx=\displaystyle\int_{}^{}\frac{{\partial^n}}{{\partial p^n}}e^{px}\ dx \)

igualdad que puede demostrarse si es necesario. Bueno, para ser exactos ambos términos se diferencian en una constante, pero como lo que vamos buscando son funciones primitivas dicha constante no afecta al resultado. No lo demostré en el curso (no me pareció necesario) y no lo haré aquí (sigue sin parecérmelo), pero puede demostrarse con facilidad. Es decir que es exactamente lo mismo derivar respecto del parámetro \( p \) dentro que fuera de la integral. Evidentemente es más sencillo realizar primero la integración y después derivar que hacerlo al revés, lo que permite simplificar el proceso del cálculo de la primitiva. La particularización que se realiza al final de todo el proceso al valor del parámetro \( p=1 \) se hace para que el resultado de tales operaciones coincida con el valor de la integral que vamos buscando, que es en este caso:

\( \displaystyle\int_{}^{}x^ne^x\ dx \)

¿Está más claro ahora? Espero que sí.

Saludos, Jabato.

[herotodo]

buenas Jabato, no tengo internet todo el tiempo. Crees que exista la posibilidad de poner el contenido del curso en un pdf o un documento de word para imprimirlo.
Si no se puede no importa.
saludos a todos

[Jabato]

Pues no lo sé, la verdad, no he intentado hacerlo. Quizás los moderadores del foro puedan ayudarte con eso.

Saludos, Jabato.

[Luis Fuentes]

Hola

buenas Jabato, no tengo internet todo el tiempo. Crees que exista la posibilidad de poner el contenido del curso en un pdf o un documento de word para imprimirlo.
Si no se puede no importa.
saludos a todos

No tienes más que ir al dicatado del curso y darle a la pestaña imprimir.

Saludos.

[herotodo]

Jabato, podrías explicar paso a paso mediante un ejemplo el método de derivación con respecto a un parámetro. El ejemplo que viene en los ejercicios de aplicación no lo entiendo.
saludos

[Jabato]

¿Que es exactamente lo que no entiendes?

Saludos, Jabato.

[gmares]

Jabato:
Dada la ecuación diferencial \( y'\ =\ \frac{y}{x} \) (1)
Resuelvo separando las variables:
\( \displaystyle\int_{}^{}\frac{dy}{y}\ =\ \displaystyle\int_{}^{}\frac{dx}{x} \) luego esto es igual a:
\( Ln\ y\ =\ Ln\ x + c \) siendo \( c \) una constante, ahora bien puedo poner esta constante como:
\( Ln\ y\ =\ Ln\ x + Ln\ c\ \Rightarrow{}\ Ln\ y\ =\ Ln\ (x\cdot{c}) \)
Finalmente: \( y\ =\ x\cdot{c} \)

La pregunta es: es viable hacer lo mismo del lado de las \( y \). Es decir, si la integral respecto a \( y \) y la integral respecto a \( x \) difieren en una constante, entonces sumo dicha constante a \( y \).
\( Ln\ y + c\ =\ Ln\ x \)
\( Ln\ y\ + Ln\ c\ =\ Ln\ x  \Rightarrow{}\ Ln\ (y \cdot{c})\ =\ Ln\ x \)
Finalmente \( y\cdot{c}\ =\ x \) (2)

En caso de que sí, pregunto lo siguiente: Dada la ecuación: \( y\ =\ x \cdot{c} \) obtengamos la ecuación diferencial que se corresponde con esa familia de funciones:
\( y\ =\ x \cdot{c} \)
\( \frac{y}{x} =\ c \)
\( y'\ =\ c \)
Reemplazo \( c \) y me queda:
\( y'\ =\ \frac{y}{x} \)
Llegamos a (1) lo que de alguna forma indica que se ha procedido correctamente.

Sin embargo mi duda surge aquí:
\( y\ =\ x \cdot{c} \)
\( \frac{y}{c} =\ x \)
Luego:
\( \frac{1}{c} =\frac{x}{y} \)
Pero aquí \( c \) es una constante arbitraria entonces \( \frac{1}{c} \) es una constante arbitraria también que podría designar nuevamente con \( c \) o bien para ser más claros con \( c_1 \) luego:
\( y'\ =\ c \) como \( c \) es cualquie constante, entonces la reemplazo por \( c_1 \) luego:
\( y'\ =\ c_1 \)
Reemplazo \( c_1 \) y me queda:
\( y'\ = \frac{x}{y} \)
No llegamos a (1) sino que llegamos más bien llegamos a (2), pero hemos procedido correctamente apoyados en la arbitrariedad de \( c \) y \( c_1 \), que sucedió entonces?

Espero se entienda mi duda, es respecto a la constante c...

[gmares]

Una duda parecida a la anterior:
Dada \( y'\ =\ y \cdot{x} \) resolviendo queda:
\( Ln \y\ =\ x +c \) Luego: \( y\ =\ e^{x +c} \).

Sien embargo si hacemos:
Dada \( y'\ =\ y \cdot{x} \) resolviendo queda:
\( Ln \y\ =\ x + Ln\ c \) Luego: \( Ln\ y - Ln\ c\ = x \)
Finalmente:
\( \frac{y}{c} = e^x  \).

Pregunta: Las dos soluciones son correctas?
\( \frac{y}{c} = e^x  \) y \( y\ =\ e^{x +c} \).