[enloalto]

Ejercicio 16.5. Denotemos por \( X \) y \( X' \) a conjuntos de las topologías \( \mathcal{T} \) y \( \mathcal{T}^{\prime} \), respectivamente; sean \( Y \) e \( Y' \) conjuntos de las topologías \( \mathcal{U} \) y \( \mathcal{U}^{\prime} \), respectivamente. Asumimos que estos conjuntos son no vacíos.

(a) Demuestre que si \( \mathcal{T}^{\prime}\supset{\mathcal{T}} \) y \( \mathcal{U}^{\prime}\supset{\mathcal{U}} \), entonces la topología producto sobre \( X'\times{Y'} \) es más fina que la topología producto sobre \( X\times{Y} \).

(b)¿Se cumple el recíproco de (a)? Explique su respuesta.

Solución 16.5:
(a)
Sean \( \mathcal{B} \) una base y \( \mathcal{T}_{X\times{Y}} \) la topología producto sobre \( X\times{Y} \)

Sea \( \mathcal{B'} \) una base y \( \mathcal{T}_{X'\times{Y'}} \) la topología producto sobre \( X'\times{Y'} \).

Deseamos probar que \( \mathcal{T}_{X\times{Y}}\subset{\mathcal{T}_{X'\times{Y'}}} \).

Tomemos \( B\in{\mathcal{B}} \), entonces existen elementos básicos \( U \), \( V \) de \( X \) e \( Y \) respectivamente, tales que \( B=U\times{V} \), como \( U\in{\mathcal{T}}\subseteq{\mathcal{T'}} \) y \( V\in{\mathcal{U}}\subseteq{\mathcal{U'}} \), entonces
\( B=U\times{V} \), con \( U\in{\mathcal{T'}} \) y \( V\in{\mathcal{U'}} \), es decir, \( B\in{\mathcal{B'}} \).

Por tanto, \( \mathcal{T}_{X\times{Y}}\subset{\mathcal{T}_{X'\times{Y'}}} \), que es lo que deseábamos probar.

[enloalto]

Me detengo para revisar y tratar de terminar los ejercicios faltantes de la sección 13.

Saludos

[argentinator]

(...)
Solución 13.8:
(a)
Lema 13.2. ...

Entonces, debemos probar que para cualquier conjunto abierto,\( U \), de \( \mathbb{R} \)(especto a la topología usual), y para cada \( x\in{U} \), existe un elemento de \( B \) de \( \mathfrak{B} \) tal que \( x\in{B\subseteq{U}} \).

Bien, con eso en mente, elijamos un abierto de la topología usual, \( (c,d) \), \( c<d \), sea \( x\in{(c,d)} \) un elemento arbitrario, entonces ...

En este ejercicio, la prueba "sirve", pero no está planteada correctamente.
Por un lado, estás diciendo que vas a tomar abiertos \( U \) cualesquiera,
pero después, en la demostración, te conformas sólo con abiertos en forma de intervalo \( (a, b) \). ¿Cómo es la cosa?

Para "aprovechar" tu razonamiento, quizá convenga usar el Lema 13.3, y demostrar que las bases de intervalos con extremos racionales, y la base "usual" de intervalos cualesquiera, generan topologías que son una más fina que la otra, y viceversa, o sea, generan la misma topología.

En ese caso, "sirve" lo que has dicho de que para un elemento \( (a,b) \) de la base "usual" y para \( x\in(a,b) \) se obtiene un \( (c,d) \) con extremos racionales tal que \( x\in(c,d)\subset(a,b) \).
Restaría verificar el caso "recíproco", o sea, que todo intervalo con extremos racionales \( (c,d) \) satisface algo como \( x\in(c,d)\subset (a,b) \), pero esto es trivial, porque se puede tomar al mismo \( (c,d) \) como el "\( (a,b) \)". ¿No?

[argentinator]

Solución 13.8:
(b)
(...)
Dame una manito argentinator, ya??

Por la parte (a), la topología de intervalos con extremos racionales es la misma que la topología usual.
Y eso es todo lo que se necesita para decir que se trata de una topología distinta a la del límite inferior, porque ya sabemos que la usual difiere de la del limite inferior.

[argentinator]

Ahora vuelvo a comentar la parte (a) del ejercicio 13.8.

Ahí el enunciado exigía que se use el Lema 13.2, y no el 13.3, como yo hice.
Perdón por la imprecisión.

Pero las ideas son entonces más o menos las mismas.

Sólo que hay que "aprovechar" tus ideas de la manera correcta.
Falta un detallito, que vendría así:

Sea U un conjunto abierto según la topología usual.
Sea \( x\in U \). En tal caso, existe un intervalo abierto \( (a,b) \) tal que \( x\in(a,b)\subset U \).
Ahora usamos tu construcción para encontrar un intervalo abierto \( (c,d) \) con extremos racionales tal que \( x\in(c,d)\subset(a,b) \).
En particular, esto muestra que \( x\in(c,d)\in U \).

Por el Lema 13.2, la familia de todos estos "\( (c,d) \)" (con extremos racionales) sería una base.

[enloalto]

Revisando vi el HORROR que cometí

Ejercicio 13.8.
(a) Aplique el Lema 13.2 para ver que la colección numerable

\( \mathfrak{B}=\{(a,b)|a<b,\quad a,b\in\mathbb{Q}\} \)

es una base que genera la topología usual sobre \( \mathbb{R} \).
(b) Demuestre que la colección

\( \mathcal{B}=\{(a,b)|a<b,\quad a,b\in\mathbb{Q}\}
 \)

es una base que genera una topología distinta de la topología del límite inferior sobre \( \mathbb{R} \).

En (b) es\( \mathfrakl{C}=\{[a,b)|a<b,\quad a,b\in\mathbb{Q}\}
 \)

Mil perdones, voy a corregirlo

[enloalto]

Ya corregí la parte (a)

Solución 13.8:
(b)
(...)
Dame una manito argentinator, ya??

Por la parte (a), la topología de intervalos con extremos racionales es la misma que la topología usual.
Y eso es todo lo que se necesita para decir que se trata de una topología distinta a la del límite inferior, porque ya sabemos que la usual difiere de la del limite inferior.

¿Se sigue cumpliendo?

[argentinator]

Claro, porque las topologías "con extremos racionales" o "con extremos cualesquiera" son las mismas.
Y dos topologías \( \tau,\tau' \) son "la misma" si y sólo si contienen a los mismos elementos, que son los "abiertos" de cada una de ellas.

Si un miembro de la topología del límite inferior no está en \( \tau \) tampoco está en \( \tau' \). ¿No?

Las "bases" pueden ser distintas, pero una vez que hemos probado que la topología es la misma, ¿qué duda hay? La igualdad topologica es una igualdad de familias de conjuntos. No hay lugar a confusión en esto, o al menos eso creo yo, jeje 

[argentinator]

La duda viene porque la topología generada por los intervalos con extremo racional es "aparentemente" más pequeña que la "topología usual". Pero en realidad son la misma topología.

Hay otro ejemplo: considerar los intervalos de la forma
\( \left(\dfrac{m}{2^k},\dfrac{m+1}{2^k}\right) \), donde \( m,k \) son enteros cualesquiera.
Esta es la familia de intervalos diádicos, y claramente es una familia estrictamente más chica que la de los intervalos de extremos racionales.

Aún así, forman una base para la topologia usual. 


Ser una base para una cierta topología significa que la susodicha base "genera" esa topología, y no otra.
Y en definitiva, la pregunta que tenemos que hacernos en todo contexto de trabajo es esta:
¿Qué topología/as son las que tengo en este momento?

¡¡¡Y no dejarse confundir por las bases posibles, que las hay muchas!!!

[enloalto]

Estuve leyendo el link de la teoría, y en la sección de la topología del orden, a partir del ejemplo 2, los paréntesis azules, no tienen el " ) ".