[enloalto]

Hola a todos, ya corregí mi soluciones, pero me falta la de la topologías más grande, pensando

Como comentó argentinator dicha topología debe contener a la unión de las topologías, para trabajar con subbases, tengo que buscar una colección de conjuntos tales que su unión sea todo X. sigo pensando...

Profe ayudaaaaaa!!!!!!!!!

[enloalto]

Ejercicio 13.6. Pruebe que las topologías de \( \mathbb{R}_l \) y \( \mathbb{R}_k \) no son comparables.
Solución 13.6:
Recordemos que dos topologías \( \tau_1 \) y \( \tau_2 \) son comparables si
\( \tau_1\subseteq{\tau_2} \) o \( \tau_2\subseteq{\tau_1} \).

Por tanto, decir que \( \tau_1 \) y \( \tau_2 \) NO son comparables quiere decir que
\( \tau_1\not\subseteq{\tau_2} \) y \( \tau_2\not\subseteq{\tau_1} \).

Tambien recordemos que:
1)La topología del limite inferior sobre \( \mathbb{R} \), \( \mathbb{R}_l \), es la formada por los intervalos semi abiertos del tipo
\( [a,b)=\{x\in\mathbb{R}|a \leq x<b\},\qquad\qquad a<b. \)

2)Sea \( K=\left\{{\displaystyle\frac{1}{n}:n\in{\mathbb{Z}_+}}\right\} \), La K-topología sobre \( \mathbb{R} \), \( \mathbb{R}_k \), es la topologia generada por los conjuntos de la forma
\( \left\{{(a,b),(a,b)-K:(a,b)\mbox{ es intervalo abierto}}\right\} \).

Sean \( \tau_l \) y \( \tau_k \) las topologías de \( \mathbb{R}_l \) y \( \mathbb{R}_k \) respectivamente.
i) \( \tau_l\not\subseteq{\tau_k} \)
Tomemos un elemento básico de \( \tau_l \), sea \( [0,b) \). Supongamos que: \( \tau_l\subseteq{\tau_k} \), entonces tenemos dos casos existe un elemento básico de \( \tau_k \),\( U \) ,tal que para todo \( x\in{[0,b)} \)(en particular a 0), se tiene, \( 0\in{U\subseteq{[0,b)}} \). Tenemos dos casos de elementos básicos en \( \tau_k \).

i-a) Si \( U \) es un intervalo, es decir, \( U=(c,d) \).

Entonces, tenemos un \( (c,d)\in{\tau_k} \) ,tal que para todo \( x\in{[0,b)} \)(en particular a 0), se tiene,
\( 0\in{(c,d)\subseteq{[0,b)}} \)
Tenemos que \( c<0<d \) y \( 0\leq{c}>b \)
lo cual es una contradicción.

i-b) Si \( U \) es de la forma \( U=(c,d)-K \).
Entonces, tenemos un \( (c,d)-K\in{\tau_k} \) ,tal que para todo \( x\in{[0,b)} \)(en particular a 0), se tiene,
\( 0\in{(c,d)-K\subseteq{[0,b)}} \)
Nuevamente tenemos que \( c<0<d \) y \( 0\leq{c}>b \)
lo cual es una contradicción.

Dichas contradicciones vinieron de suponer que
\( \tau_l\subseteq{\tau_k} \).
Por tanto, \( \tau_l\not\subseteq{\tau_k} \)

ii) \( \tau_k\not\subseteq{\tau_l} \)

Tomemos un elemento básico de \( \tau_k \), en particular, \( B=(-1,1)-K \). Supongamos que \( \tau_k\subseteq{\tau_l} \), entonces para todo \( x\in{B} \)(en particular para 0), existe un elemento básico de \( \tau_l \), digamos \( [a,b) \) tal que: \( 0\in{[a,b)\subseteq{B}} \). Como \( a\leq{0}<b \), existe un \( n_b\in{\mathbb{Z^+}} \) suficientemente grande tal que \( y=\displaystyle\frac{1}{n_b}<b \)(en realidad existen infinitos, pero nos basta solo uno), es decir, \( \displaystyle\frac{1}{n_b}\in{[a,b)} \), pero por definición, \( \displaystyle\frac{1}{n_b}\not\in{B} \), es decir, \( [a,b)\not\subset{B} \), que es una contradicción. Dicha contradicción vino de suponer que \( \tau_k\subseteq{\tau_l} \).
Por tanto, \( \tau_k\not\subseteq{\tau_l} \).

De (i) y (ii), las topologías de \( \mathbb{R}_l \) y \( \mathbb{R}_k \) no son comparables.
CORREGIDO

[alefa]

Hola para probar que no son comparables yo hice lo siguiente:
si la topología del limite inferior es menos fina que la k-topología entonces para todo x real, y para todo elemento básico de la k-topologia (al que llamo B) talque x pertenece a ese elemento básico entonces existe [a,b) elemento básico de la topología de la topologia de limite inferior que cumple que x este en ese intervalo y el intervalo está incluido en el B.
Considero el conjunto B =(-1,1)-K y x=0 en este caso particular no existe un [0,b) que cumplo que este incluido en el B por lo tanto la topología del limite inferior no es menos fina que la k topologia
El otro caso lo demostre de forma analoga tomando el conjunto B=(a,b)-K
Pido disculpas por no usar el latex prometo estudiarlo porque nunca trabaje con él.
Saludos

[argentinator]

Hola a todos, ya corregí mi soluciones, pero me falta la de la topologías más grande, pensando

Profe ayudaaaaaa!!!!!!!!!

Bueno, la unión de todas las topologías es, ciertamente un conjunto.
A ese conjunto se lo toma como subbase, y fin de la historia.

Más concretamente, sin adelantar el tema de subbases si no se desea, se puede razonar así:
Sea \( \mathcal S \) la unión de todas las topologías \( \tau_\alpha \) sobre el conjunto X.
Ciertamente, ese gran conjunto \( \mathcal S \) está contenido en la topología P(X).

Por lo tanto, "existe" al menos una topología que contiene al conjunto \( \mathcal S \).
Ahora tomamos la familia de topologías que contienen a \( \mathcal S \). Como esta familia es no vacía, se puede calcular sin problemas su intersección.
Y esta intersección, que denotaremos \( \tau \), es de nuevo una topología por la parte (a) del ejercicio.

Ahora bien. Es claro que \( \tau \) es la topología más pequeña que contiene a todas las \( \tau_\alpha \), porque si hubiera una más pequeña... estaría estrictamente dentro de la intersección, y no puede ser.

En cuanto a la topología más grande contenida en todas las topologías \( \tau_\alpha \), es la intersección de todas las \( \tau_\alpha \), ya que toda otra topología contenida en todas las \( \tau_\alpha \) está contenida necesariamente en la intersección.

Saludos

[argentinator]

si la topología del limite inferior es menos fina que la k-topología entonces para todo x real, y para todo elemento básico de la k-topologia (al que llamo B) talque x pertenece a ese elemento básico entonces existe [a,b) elemento básico de la topología de la topologia de limite inferior que cumple que x este en ese intervalo y el intervalo está incluido en el B.

Hola. Para el razonamiento que has usado no hace mucha falta el Latex.
Lo que sí veo es que no está del todo claro lo que estás diciendo, aunque el razonamiento parece arrancar bien.
Pero habría que terminar de decirlo bien.

Usar las bases, como has hecho, es lo más adecuado, acorde a los teoremas de bases de topologias, porque simplifica el ejercicio. Así que eso está bien. Sólo te pido redactarlo más claramente para que entendamos bien lo que has hecho.

Saludos

[enloalto]

Puesto que el ejercicio 13.4 es muy largo, lo voy a hacer por partes.

Ejercicio 13.4.a
Si \( \{\tau_\alpha\}_\alpha \) es una familia de topologías sobre \( X \), muestre que \( \bigcap_\alpha \tau_\alpha \) es una topología sobre \( X \).
¿Es \( \bigcup_\alpha \tau_\alpha \) una topología sobre \( X \)?
Solución:
(a)
1)¿\( \emptyset \) y \( X \) pertenecen a \( \bigcap_\alpha \tau_\alpha \)?

Puesto que \( \tau _\alpha \) son topologías \( \forall{\alpha} \), entonces tanto \( \emptyset \) como \( X \) pertenecen a \( \tau _\alpha \)  \( \forall{\alpha} \), luego, pertenecen a la intersección.

2) Sea \( \left\{{U_i}\right\}_{i\in{I}} \), donde I es un conjunto de índices, tales que \( U_i\in{\bigcap_\alpha \tau_\alpha} \), \( \forall{i\in{I}} \), ¿ se tiene 
\( \displaystyle\bigcup_{i\in{I}}{U_i}\in{\bigcap_\alpha \tau_\alpha} \)?

Como
\( U_i\in{\bigcap_\alpha \tau_\alpha} \), \( \forall{i\in{I}} \), entonces \( U_i\in{\tau_\alpha} \), \( \forall{i\in{I}} \), \( \forall{\alpha} \), luego \( \displaystyle\bigcup_{i\in{I}}{U_i}\in{\tau_\alpha} \), \( \forall{\alpha} \).

En consecuencia

\( \displaystyle\bigcup_{i\in{I}}{U_i}\in{\bigcap_\alpha \tau_\alpha} \).

3) Sea \( \left\{{U_i}\right\}_{i=1}^n \), tales que \( U_i\in{\bigcap_\alpha \tau_\alpha} \), \( \forall{1\leq{i\leq{n}} \), ¿se tiene \( \displaystyle\bigcap_{i=1}^n{U_i}\in{\bigcap_\alpha \tau_\alpha} \)?

\( U_i\in{\bigcap_\alpha \tau_\alpha} \), \( \forall{i\in{I}} \), entonces \( U_i\in{\tau_\alpha} \), \( \forall{i\in{I}} \), \( \forall{\alpha} \), luego \( \displaystyle\bigcap_{i=1}^n{U_i}\in{\tau_\alpha} \), \( \forall{\alpha} \).

Por tanto:

\( \displaystyle\bigcap_{i=1}^n{U_i}\in{\bigcap_\alpha \tau_\alpha} \).

De (1), (2) y (3). \( \tau_c \) es una topología.

Sin embargo, al igual que sucede con los espacios vectoriales, la unión de topologías no necesariamente es una topología, basta ver las topologias del item (c)

[enloalto]

Ejercicio 13.4.b.
Sea \( \{\tau_\alpha\}_\alpha \) una familia de topologías sobre \( X \).
Muestre que hay una única topología más pequeña sobre \( X \) que contiene a todas las colecciones \( \tau_\alpha \), y que hay una única topología mayor que está contenida en todas las \( \tau_\alpha \).
Solución:
1)Sea \( S=\bigcup_\alpha \tau_\alpha \), luego \( S\subseteq{P(X)} \), donde P(X) es la topología más grande sobre X.
Entonces, sea
\( R=\left\{{T\mbox{ topología sobre X}:S\subseteq{T}}\right\} \), luego, \( P(X)\in{R} \), por tanto, \( R\neq{\emptyset} \), entonces podemos tomar su intersección
\( \tau=\bigcap_{T\in{R}} T \), puesto que T es topología, entonces por la parte (a), \( \tau \) también es una topología.

Veamos que \( \tau \) es la topología más pequeña que contiene a todas las topologías de la familia \( \{\tau_\alpha\}_\alpha \).

Sea \( T \) una topología sobre X tal que \( \tau_\alpha\subseteq{T} \) para todo \( \alpha \) \( \Rightarrow{S=\bigcup_\alpha \tau_\alpha\subseteq{T}} \), entonces \( T\in{R} \), por tanto \( \tau\subseteq{T} \), de donde se obtiene el resultado.

2) Sabemos por (a) que \( \tau=\bigcap_\alpha \tau_\alpha \) es una topología, probemos que es la más grande entre todas las que estan contenidas en toda \( \{\tau_\alpha\}_\alpha \).

Sea \( T \) una topología sobre X tal que \( T\subseteq{\tau_\alpha} \) para todo \( \alpha \), entonces \( T\subseteq{\bigcap_\alpha \tau_\alpha=\tau} \)

[enloalto]

Ejercicio 13.4.c.

Si \( X=\{a,b,c\} \), sea

\( \tau_1=\{\emptyset,X,\{a\},\{a,b\}\},\qquad\qquad\tau_2=\{\emptyset,X,\{a\},\{b,c\}\}. \)

Hallar la topología más pequeña que contiene a \( \tau_1 \) y a \( \tau_2 \), y
la topología más grande contenida en \( \tau_1 \) y \( \tau_2 \).

Solución:
\( \tau_1=\{\emptyset,X,\{a\},\{a,b\}\} \)
\( \tau_2=\{\emptyset,X,\{a\},\{b,c\}\} \)

1) Hallemos la topología más grande contenida en \( \tau_1 \) y a \( \tau_2 \), por (b)
\( \tau=\tau_1\cap{\tau_2}=\{\emptyset,X,\{a\}\} \).

2) Hallemos la topología más pequeña que contenga a \( \tau_1 \) y a \( \tau_2 \), por (b)
Primero hallamos su unión, S.
\( S=\tau_1\cup{\tau_2}=\left\{{\emptyset,X,\{a\},\{a,b\},\{b,c\},}\right\} \)
Luego, hallamos el conjunto
\( R=\left\{{T\mbox{ topología sobre X}:S\subseteq{T}}\right\} \)

Aca tengo un problema, pues X tiene 29 topologías, y es muy trabajoso hallar todas.
pensando...
¿Alguna pista profesor?

[alefa]

hola
lo que hice fue encontrarr un elemento de la base de la k-topología (B=(-1,1)-K)  que contiene al 0 de manera que no existe un elemento de la topología del limite inferior de la forma B'=[0,b)que este incluido en B. Por lo que ahí se da la contradiccción porque si una es más fina que la otra para todo elemento de conjunto y para todo elemento de una de las base que lo contenga tiene que existir un elemento de la otra base que contenga al otro basico
No se si aclaré mi razonamiento

[argentinator]

No estoy muy seguro de que esté bien.

Lo que pasa es que "no ser más fina que la otra" es una condición que se debe verificar en las dos direcciones. Que una de las topologías no es más fina que la otra sale con ese ejemplo, y la ¿"viceversa"?
Creo que eso es lo que no veo claramente en lo que hiciste.

Además lo que has mirado son sólo los intervalos [0, b), eso no me parece suficiente.

Saludos