Autor Tema: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

07 Febrero, 2010, 06:47 pm
Respuesta #70

alefa

  • $$\pi \pi$$
  • Mensajes: 46
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Femenino


Otra duda: ¿Es posible la interseccion de dos conjuntos con un solo elemento cada uno?:

Sea:\( A=\{a\}\;\; B=\{b\}  \) He de suponer que \( A\cap{B} \) no es posible porque ninguno de los elementos \( a, b \) estan en A y B al mismo tiempo? En este caso las intersdecciones del ejercicio anterior no serían posibles

Saludos

Hola La intersección te daria el vacío que también tiene que ser un elemento de la topología

08 Febrero, 2010, 05:31 am
Respuesta #71

argentinator

  • Consultar la FIRMAPEDIA
  • Administrador
  • Mensajes: 7,274
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • Vean mis posts activos en mi página personal
    • Mis posts activos (click aquí)
En el siguiente ejercicio, según mi interpretación, ¿no se darían "demasiadas topologías"?

Sea
\(

$X=\{a,b,c\}$\\

Son topologias:

$\tau=\{\emptyset,X,A\}$

$\tau=\{\emptyset,X,A,B\}$

$\tau=\{\emptyset,X,A,B,C\}$

$\tau=\{\emptyset,X,A\cup{B}\}$

$\tau=\{\emptyset,X,A\cup{C}\}$

$\tau=\{\emptyset,X,A\cup{C}\cup{B}\}$

$\tau=\{\emptyset,X,A\cap{B}\}$

$\tau=\{\emptyset,X,A\cap{C}\}$

$\ldots$

 \)


Otra duda: ¿Es posible la interseccion de dos conjuntos con un solo elemento cada uno?:

Sea:\( A=\{a\}\;\; B=\{b\}  \) He de suponer que \( A\cap{B} \) no es posible porque ninguno de los elementos \( a, b \) estan en A y B al mismo tiempo? En este caso las intersdecciones del ejercicio anterior no serían posibles

Saludos


Hola.

Disculpen la demora en las respuestas, pero es que estoy pasando una situación personal bastante complicada (aunque nada que lamentar por suerte).

Bien. En cuanto a las topologías posibles, no hay que ser tímidos. Hay una definición de topología y una lista de familias de conjuntos.
Cada una de ellas es una topología o no lo es.


En el caso de \( X = \{a, b, c\} \) hay 8 subconjuntos posibles, los de \( P(X) \), claro está.
La cantidad de familias de conjuntos posibles es el cardinal de partes de este conjunto, o sea, el de P(P(X)), que es \( 2^8 = 256 \).

De esas 64 familias posibles, algunas son topologías y otras no.

Sin embargo, todas las topologías tienen a los elementos \( \emptyset,X \), así que la búsqueda se reduce a las familias posibles de subconjuntos de \( P(X) - \{\emptyset,X\} \), que tiene cardinal 6. Luego, habrá máximo \( 2^6=64 \) posibilidades de topologías (seguramente menos).

En primer lugar, siempre hay que contar las topologías triviales \( \{\emptyset, X\} \), y P(X):

Esas son 2 topologías en nuestro haber.

Luego, en general, para cualquier subconjunto E de X, la terna \(  \{\emptyset, E, X\} \) es una topología. ¿O no?
Así que ahí tomemoes como E a todos los subconjuntos no triviales de X, y habremos obtenido 6 topologías distintas (porque P(X) tiene 6 de tales subconjuntos).

Si ahora tomamos dos subconjuntos de X, no triviales, y distintos entre sí, digamos E, F, hay dos situaciones clave a las que observar: que E \subset F, en cuyo caso \( \{\emptyset, E, F, X\} \) es una topología; y que ni E ni F tengan elementos no comunes el uno con el otro. En ese caso, la intersección de ellos difiere de E y F, y lo mismo pasa con la unión.

Analicemos por parte cada caso.

Cuando E, F cumplen \( E\subset F \), tenemos estas posibilidades:

* \( E = \{a\}, F = \{a, b\} \)
* \( E = \{a\}, F = \{a, c\} \)

Y no hay más casos no triviales.
Multiplicamos por los 3 casos posibles que puede tomar E: \( \{a\}, \{b\}, \{c\}. \)
Tenemos un total de 6 topologías obtenidas por esta vía.

Pasemos a los casos en que E y F tienen elementos mutuamente no comunes… además de ser no triviales.

Supongamos que \( E = \{a\} \) y no tiene elementos en común con F.

Puede ser entonces: \( F = \{b\}, F = \{c\}, F = \{b, c\}. \)

En cualquier caso obliga que a \( E\cup F \) esté en la topología, pero no hay otras “obligaciones”. Supongamos que no hay más conjuntos que estos obligados.

Podemos contar las posibilidades de este tipo… pero conviene enumerarlas, porque se van a repetir, incluso con casos futuros:

\( \{\emptyset, X, \{a\}, \{b\}, \{a,b\}\} \)
\( \{\emptyset, X, \{a\}, \{c\}, \{a,c\}\} \)
\( \{\emptyset, X, \{b\}, \{c\}, \{b,c\}\} \)
\( \{\emptyset, X, \{a\}, \{b,c\}\} \)
\( \{\emptyset, X, \{b\}, \{a,c\}\} \)
\( \{\emptyset, X, \{c\}, \{a,b\}\} \)

¿Puede haber elementos E, F tales que su intersección sea no vacía, y no sean subconjuntos uno de otro?

Claro que sí. Tenemos por ejemplo \( E = \{a, b\}, F = \{a, c\}.  \)

Pero esto obliga a que su intersección esté en la topología.

Casos como estos nos dan 3 topologías:

\( \{\emptyset, X, \{a,b\}, \{a,c\}, \{a\}\} \)
\( \{\emptyset, X, \{a,b\}, \{b,c\}, \{b\}\} \)
\( \{\emptyset, X, \{a,c\}, \{b,c\}, \{c\}\} \)

A estas les podemos agregar siempre conjuntos unitarios como nuevos elementos adosados, y obtenemos otras 6 topologías:

\(  \{\emptyset, X, \{a,b\}, \{a,c\}, \{a\}, \{b\}\}  \)
\(  \{\emptyset, X, \{a,b\}, \{b,c\}, \{a\}, \{b\}\}  \)
\(  \{\emptyset, X, \{a,c\}, \{b,c\}, \{a\}, \{c\}\}  \)
\( \{\emptyset, X, \{a,b\}, \{a,c\}, \{a\}, \{c\}\} \)
\( \{\emptyset, X, \{a,b\}, \{b,c\}, \{b\}, \{c\}\} \)
\( \{\emptyset, X, \{a,c\}, \{b,c\}, \{b\}, \{c\}\} \)
 

Toda topología que contenga a \( \{a\}, \{b\}, \{c\}, \) al mismo tiempo contendrá a todos los subconjuntos de X. ¿Por qué? Pero esto es P(X) y ya la habíamos contado.

 

Así que ahora nos preguntamos si al tomar cualquiera de las topologías obtenidas, es posibles obtener una distinta agregando un nuevo elemento de \( P(X) \), sin caer de nuevo en los ejemplos ya vistos.

Quizá convenga comenzar desde las últimas hacia atrás, e ir comparando.

Como sea, veamos por ejemplo que si en la última topología agregamos el elemento \( \{a, b\} \), esto obliga por intersección a que esté el elemento \( \{a\}, \) y esto obliga a que la topología sea \( P(X). \)
Los demás casos se analizan uno a uno viendo si al agregar algun nuevo elemento de \( P(X) \) se obtienen topologías repetidas.

Si descubrís que alguno de mis ejemplos no es topología… avisame!!!!
Pero hasta ahora creo que mi recuento va bien, y tengo en total: 29 topologías.

¿Serán esas todas las topologías de X, será que agregué a la lista alguna que no lo era?

-------------------------------------

En cuanto a tu ultima pregunta, sobre si la interseccion de dos conjuntos {a}, {b} tiene sentido...
Claro que sí lo tiene!!!
La intersección da el vacio, que es elemento de toda topología.

En ese caso, la interseccion de elementos disjuntos no obliga a que haya nuevos elementos en la topologia.
Pero si que obliga a que esté su union, en este caso, el conjunto {a,b}.

Es muy simple la cosa, dados ciertos elementos de una familia de conjuntos, se toman sus intersecciones de a pares, y se ve si hay alguna que no está en la familia (no topologia), o están todas.
Luego, se consideran uniones arbitrarias, y se ve si todas ellas están aún en la familia. Esto puede ser complicado con conjuntos infinitos, pero con 3 elementos es cuestión de ponerse a enumerar, y hacer una búsqueda algo sistematica.

A lo mejor mi método de busqueda no sea el más eficaz... Pero tiene la virtud de que no se asusta.
En realidad, la idea de fondo que he usado es la de las "subbases".
Dada cualquier familia de conjuntos, existe una topologia "generada" por esa familia. Basta agregar el vacio, el total X, y luego todas las intersecciones finitas y uniones arbitrarias.

Saludos

08 Febrero, 2010, 05:44 am
Respuesta #72

argentinator

  • Consultar la FIRMAPEDIA
  • Administrador
  • Mensajes: 7,274
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • Vean mis posts activos en mi página personal
    • Mis posts activos (click aquí)
Ejercicio 13.1. Sean \( X \) un espacio topológico y A un subconjunto de X. Supongamos que para cada \( x\in{A} \) existe un conjunto abierto U que contiene a x tal que \( U\subset{A} \). Pruebe que A es abierto.

Solución 13.1: Sea \( \tau \) la topología asociada a X, queremos probar que \( A\in{\tau} \).
Sea \( x\in{A} \), entonces, existe \( U_x\in{\tau} \) tal que:
\( x\in{U_x}\subseteq{A} \).
Por tanto:
\( A=\displaystyle\bigcup_{x\in{A}}{\left\{x}}\right\}}\subseteq{\displaystyle\bigcup_{x\in{A}}{U_x}}\subseteq{A} \).
En consecuencia,
\( A=\displaystyle\bigcup_{x\in{A}}{U_x} \), donde \( U_x\in{\tau} \).

Es decir, A es unión(arbitraria) de elementos de \( \tau \). Por tanto, por los axiomas de una topología, \( A\in{\tau} \), es decir, A es abierto.


Está perfecta la prueba.
Así que comento por si hay alguno que pueda sentir extraños algunos pasos.
Por ejemplo, cuando se dice que
\( A=\displaystyle\bigcup_{x\in{A}}{\left\{x}}\right\}}\subseteq{\displaystyle\bigcup_{x\in{A}}{U_x}}\subseteq{A} \).
se esta usando la propiedad de que si una familia arbitraria de conjuntos está contenida en A, entonces su unión sigue estando contenida en A.

Eso puede probarse, si es que no lo han hecho en la tanda de ejercicios de teoría de conjuntos.

Por lo demás, es mera cuestión de apelar a la definición de topología, una y otra vez, sin buscar ninguna otra cosa extraña en el camino.

Lo que sí puede hacer uno es tratar de congeniar la intuición geométrica que uno tiene de la topología de "abiertos en \( R^n \)" con los resultados generales, o ejemplos contraintuitivos. Eso enriquece la experiencia topologica.

Saludos

08 Febrero, 2010, 06:08 am
Respuesta #73

argentinator

  • Consultar la FIRMAPEDIA
  • Administrador
  • Mensajes: 7,274
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • Vean mis posts activos en mi página personal
    • Mis posts activos (click aquí)
Ejercicio 13.3. Muestre que la colección \( \tau_c \)  dada en el Ejemplo 4 de la sección 12 es una topología sobre el conjunto \( X \).
¿Es la siguiente colección una topología sobre \( X \)?:

\( \tau_\infty=\{U|X-U\textsf{\ es infinito, o vacío, o es el total\ }X\}. \)

Solución 13.3: Recordemos que dado un conjunto X, se define:
\( \tau _c=\left\{{U\subseteq{X}:X-U\mbox{es numerable o todo X}}\right\} \).

(...)

2) Sea \( \left\{{U_i}\right\}_{i\in{I}} \), donde I es un conjunto de índices, tales que:
\( U_i\in{\tau_c} \), \( \forall{i\in{I}} \), ¿se tiene  \( \displaystyle\bigcup_{i\in{I}}{U_i}\in{\tau} \)?
\( X-\displaystyle\bigcup_{i\in{I}}{U_i}=\displaystyle\bigcup_{i\in{I}}{X-U_i} \).

Como \( U_i\in{\tau_c} \), \( \forall{i\in{I}} \), entonces \( X-U_i \) es numerable o es todo X,

entonces en el primer caso, sabemos que la unión arbitraria de conjuntos numerables, es numerables, 


Eso que marqué en rojo está mal.
La unión arbitraria de conjuntos numerables puede ser no-numerable. Por ejemplo, la unión de los conjuntos unitarios formados por puntos de la recta real... da la recta real, que no es numerable, jeje.

Así que hay que cambiar el argumento.

Supongamos que tenemos una familia de conjuntos \( U_i,i\in I \) tales que los \( X-U_i \) son todos finitos, o infinito.numerables.
Consideremos la unión V de todos ellos.
Dado un elemento cualquiera de la familia, digamos \( U_0 \), se tiene que \( U_0\subset V \).
Por lo tanto \( X-V\subset X-U_0 \).
Pero como \( X-U_0 \) era finito o infinito-numerable, también debe serlo \( X-V \), por estar contenido en \( X-U_0 \).

--------------------

En cuanto a las intersecciones, tu razonamiento funciona bien, porque tomando complementos se obtiene una familia finita de finitos o infinito-numerables, cuya unión es de nuevo numerable, y así el complemento de esta unión está en la familia.

Saludos

08 Febrero, 2010, 06:24 am
Respuesta #74

argentinator

  • Consultar la FIRMAPEDIA
  • Administrador
  • Mensajes: 7,274
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • Vean mis posts activos en mi página personal
    • Mis posts activos (click aquí)

De la misma manera \( \bigcup_\alpha \tau_\alpha \) es una topología.


Eso no es correcto... mmm

El ejercicio de que la intersección arbitrarias de topologias es de nuevo una topologia, lo has demostrado perfectamente, pero la unión de topologías no es necesariamente una topología, a menos que se trate de casos muy especiales (como el caso de unir finitas topologias ordenadas por refinamiento).

Un ejemplo claro es el mismo inciso (c) del ejercicio 13,4.
En él se tiene

\( \tau_1=\{\emptyset,X,\{a\},\{a,b\}\},\qquad\qquad\tau_2=\{\emptyset,X,\{a\},\{b,c\}\}. \)

La unión de ambas topologías no puede ser una topologia.
Por ejemplo, la intersección de los elementos \( \{a,b\},\{b,c\} \) da el conjunto \( \{b\} \), que no está en \( \tau_1\cup\tau_2 \).

---------------------------

En cuanto a la parte final del inciso (a), y lo dicho en el inciso (b) del ejercicio 13, la "unión" de las topologias está cerca de ser la topología más pequeña que contenga a todas las de la familia, pero "le falta un paso".
¿Cuál es?
Es decir, es obvio que a la unión hay que considerarla, porque esa topología que estamos buscando debe contener a todos los elementos de la familia de topologias considerada... Pero al final habrá que "tunear" esa unión para que en efecto sea una topología.

¿Pistas? Hay dos caminos que se me ocurren: usar la idea de subbase, o bien usar ¡¡intersecciones y lo probado en (a)!!!
Pensar un poco, que sale.

08 Febrero, 2010, 06:31 am
Respuesta #75

enloalto

  • $$\pi \pi \pi \pi \pi$$
  • Mensajes: 587
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola argentinator, bueno sí, se me pasaron algunas cosas, como lo de la unión, es unión numerable, y no arbitraria como escribí.

Lo de la union de topologías, lo hice a la volada, pero tienes razón, voy a pensarlo un poquito y lo pongo, ya tengo sueñito zzzzzzzzzzzzzz.

Saludos, respecto a  los problemillas que esta pasando, tranqui, los problemas tienen solución, o hay que demostrar que no la tienen ;), un abrazo.
Llovizna queriendo ser lluvia de verano

08 Febrero, 2010, 06:33 am
Respuesta #76

argentinator

  • Consultar la FIRMAPEDIA
  • Administrador
  • Mensajes: 7,274
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • Vean mis posts activos en mi página personal
    • Mis posts activos (click aquí)
Solución 13.5:Sean los conjuntos:

Pd: ¿Cómo voy profe?


Este ejercicio, a pesar de basarse en el anterior que tenía errores... está excelentemente demostrado.

Saludos

08 Febrero, 2010, 06:36 am
Respuesta #77

argentinator

  • Consultar la FIRMAPEDIA
  • Administrador
  • Mensajes: 7,274
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • Vean mis posts activos en mi página personal
    • Mis posts activos (click aquí)
respecto a  los problemillas que esta pasando.

No sé si llamarlos problemas, son asuntos urgentes y complicados que debo atender, pero no es nada grave.
Lo único problemático es que la situación en sí me oblida a estar alejado de internet y las computadoras, y por eso no respondo con la continuidad que quisiera.
Quizá siga con estas intermitencias todo el mes, pero sobretodo esta semana. Ya veremos.

Saludos

08 Febrero, 2010, 06:38 am
Respuesta #78

argentinator

  • Consultar la FIRMAPEDIA
  • Administrador
  • Mensajes: 7,274
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • Vean mis posts activos en mi página personal
    • Mis posts activos (click aquí)
Voy a dejar un ratito el capítulo de bases y subbases, para regresar a la sección 3 del capítulo 1(Relaciones), hay un ejercicio bonito, es el 3.3, dice asi:

Ejercicio 3.3. Aquí hay una "demostración" de que toda relación C que es a la vez simétrica y transitiva es también reflexiva:"Como C es simétrica, aCb implica bCa. Como C es transitiva, acb y bCa implican aCa, como se quería demostrar". Encuentre el fallo en este argumento.

Solución: Al principio, parace ser cierto, pero hay que recordar que las tres propiedades son independientes.
El fallo es que la reflexividad dice que PARA TODO a, aCa.
La simetría dice que si aCb entonces bCa.
Por tanto, basta tener un elemento a que no esté relacionado con ninguno, y se pueden cumplir las propiedades simétrica y transitiva sin problemas.

Un ejemplo: Sea C la relacion definida en el conjunto de los enteros no negativos {0,1,2,...} de la siguiente manera: aCb si y sólo si ab es distinto de 0. Entonces es fácil comprobar que es simétrica y transitiva, pero NO es reflexiva porque el 0 no está relacionado con ningún elemento y en particular 0 no está relacionado con 0.


Muy bien.
Tenía ganas de poner un "smiley" de esos que aplauden, o un pulgar para arriba, pero no hay en el foro.

Saludos

08 Febrero, 2010, 06:39 am
Respuesta #79

argentinator

  • Consultar la FIRMAPEDIA
  • Administrador
  • Mensajes: 7,274
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • Vean mis posts activos en mi página personal
    • Mis posts activos (click aquí)


Otra duda: ¿Es posible la interseccion de dos conjuntos con un solo elemento cada uno?:

Sea:\( A=\{a\}\;\; B=\{b\}  \) He de suponer que \( A\cap{B} \) no es posible porque ninguno de los elementos \( a, b \) estan en A y B al mismo tiempo? En este caso las intersdecciones del ejercicio anterior no serían posibles

Saludos

Hola La intersección te daria el vacío que también tiene que ser un elemento de la topología

Yo dije esto después que Alefa.
Disculpa Alefa que te he visto tarde.

Saludos