Autor Tema: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)

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18 Enero, 2010, 09:08 am
Respuesta #50

morito14

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Para las imagenes he usado la variable \( y \) en vez de la \( x \).
Eso no tiene importancia en sí mismo, pero veo que has usado una \( x \), y aunque formalmente no está mal, sospecho que "tu mente" anda mezclando imágenes con preimagenes.

Fíjate que no, creo que no me había puesto a pensar pero está mucho mejor la manera en la que tu lo propones. Dejar una letra para la imagen y otra para la preimagen, en lugar de mezclar las letras (que no los conceptos, al menos trato  :P).

Pensaré qué me hace falta de la f) y veré si no es mucha lata hacer las demostraciones hacia el otro lado. Si es mucha lata ya dejaré que otro compañero las haga, que al menos creo haber aprendido y todavía quedan muchos ejercicios de esta sección.

Por otro lado, una pregunta de LaTex. ¿Existe el símbolo "tal que"? Mi profesor de mate usaba como una t inversa con dos puntitos. Pero no sé si sea algo estándar y si exista en LaTex.

18 Enero, 2010, 09:16 am
Respuesta #51

morito14

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Creo que la f) (después de tanto problema con las otras), ya se me facilitó más.

(f) Supongamos \( y\in f\left(A_{0}\cup A_{1}\right) \). Entonces existe \( x\in\left(A_{0}\cup A_{1}\right) \) tal que \( f\left(x\right)=y \). Entonces \( x\in A_{0} \) o \( x\in A_{1}\Rightarrow y\in f\left(A_{0}\right)\cup f\left(A_{1}\right) \)


18 Enero, 2010, 09:19 am
Respuesta #52

argentinator

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Por otro lado, una pregunta de LaTex. ¿Existe el símbolo "tal que"? Mi profesor de mate usaba como una t inversa con dos puntitos. Pero no sé si sea algo estándar y si exista en LaTex.

Para decir tal que, yo suelo usar dos puntos ":".
Hay gente que usa una barra /.
Podrías usar la abreviatura t.q.

En la definición de un conjunto se usa la barra vertical |.



La (f) está perfecta.  :)

Sólo le agrego un detallito en azul "por las dudas":


(f) Supongamos \( y\in f\left(A_{0}\cup A_{1}\right) \). Entonces existe \( x\in\left(A_{0}\cup A_{1}\right) \) tal que \( f\left(x\right)=y \). Entonces \( x\in A_{0} \) o \( x\in A_{1}\Rightarrow y{\color{blue}=f(x)}\in f\left(A_{0}\right)\cup f\left(A_{1}\right) \)


(Editado: Falta la inclusión hacia el otro lado, pero sale facil..., no?)

Saludos

19 Enero, 2010, 08:28 am
Respuesta #53

morito14

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Profe, haciendo la g me di cuenta de que no era tan trivial demostrar las igualdades hacia el otro lado. Así que me di a la tarea de agregarle es parte a las que les hacía falta, de hecho me di cuenta que para eso se usa que f es biyectiva (creo)... ahí van:
2

(a) Sea \( x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\Rightarrow f\left(x\right)\in B_{0} \), por hipótesis \( B_{0}\subset B_{1}\Rightarrow f\left(x\right)\in B_{1} \), por la definición de preimagen, \( \Rightarrow x\in f^{-1}\left(B_{1}\right)\therefore B_{0}\subset B_{1}\Rightarrow f^{-1}\left(B_{0}\right)\subset f^{-1}\left(B_{1}\right) \).

(b) Supongamos \( x\in f^{-1}\left(B_{0}\cup B_{1}\right)\Rightarrow x\in A\: tal\: que\: f\left(x\right)\in\left(B_{0}\cup B_{1}\right)\Rightarrow f\left(x\right)\in\left(B_{0}\right)\: o\: f\left(x\right)\in\left(B_{1}\right) \), por la definición de preimagen \( x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\: o\: x\in f^{-1}\left(B_{1}\right)\therefore x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\cup f^{-1}\left(B_{1}\right) \). Sea \( x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\cup f^{-1}\left(B_{1}\right)\Rightarrow x\in A\: tal\: que\: f\left(x\right)\in\left(B_{0}\cup B_{1}\right) \). Entonces, \( f\left(x\right)\in B{}_{0} \) o \( f\left(x\right)\in B{}_{1} \), dado que \( f \) es biyectiva \( f\left(x\right)\in\left(B_{0}\cup B_{1}\right)\Rightarrow x\in f^{-1}\left(B_{0}\cup B_{1}\right) \).

(c) Supongamos \( x\in f^{-1}\left(B_{0}\cap B_{1}\right)\Rightarrow x\in A\: tal\: que\: f\left(x\right)\in\left(B_{0}\cap B_{1}\right)\Rightarrow f\left(x\right)\in\left(B_{0}\right)\: y\: f\left(x\right)\in\left(B_{1}\right) \), por la definición de preimagen \( x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\: y\: x\in f^{-1}\left(B_{1}\right)\therefore x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\cap f^{-1}\left(B_{1}\right) \). Sea \( x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\cap f\left(B_{1}\right)\Rightarrow x\in A\: tal\: que\: f\left(x\right)\in\left(B_{0}\cap B_{1}\right) \). Entonces, \( f\left(x\right)\in B{}_{0} \) y \( f\left(x\right)\in B{}_{1} \), dado que \( f \) es biyectiva \( f\left(x\right)\in\left(B_{0}\cap B_{1}\right)\Rightarrow x\in f^{-1}\left(B_{0}\cap B_{1}\right) \).

(d) Supongamos \( x\in f^{-1}\left(B_{0}-B_{1}\right)\Rightarrow x\in A\: tal\: que\: f\left(x\right)\in\left(B_{0}-B_{1}\right)\Rightarrow f\left(x\right)\in\left(B_{0}\right)\: y\: f\left(x\right)\notin\left(B_{1}\right)\therefore x\in\left(f^{-1}\left(B_{0}\right)-f^{-1}\left(B_{1}\right)\right) \). Sea \( x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)-f\left(B_{1}\right)\Rightarrow x\in A\: tal\: que\: x\in B_{0},x\notin B_{1} \). Entonces, \( f\left(x\right)\in B{}_{0} \) y \( f\left(x\right)\notin B{}_{1} \), dado que \( f \) es biyectiva \( f\left(x\right)\in\left(B_{0}-B_{1}\right)\Rightarrow x\in f^{-1}\left(B_{0}-B_{1}\right) \).

(e) Supongamos que \( y\in f(A_{0}) \). Entonces existe \( x\in A_{0} \) tal que \( f(x)=y \). Entonces, \( f\left(x\right)\in f\left(A_{0}\right) \). Por hipótesis \( A_{0}\subset A_{1} \). Entonces \( x\in A_{1} \), entonces, \( f\left(x\right)\in f\left(A_{1}\right). \) Pero teníamos \( y=f(x) \), \( \therefore f\left(A_{0}\right)\subset f\left(A_{1}\right) \).

(f) Supongamos \( y\in f\left(A_{0}\cup A_{1}\right) \). Entonces existe \( x\in\left(A_{0}\cup A_{1}\right) \) tal que \( f\left(x\right)=y \). Entonces \( x\in A_{0} \) o \( x\in A_{1}\Rightarrow f\left(x\right)=y\in f\left(A_{0}\right)\cup f\left(A_{1}\right) \). Supongamos \( y\in f\left(A_{0}\right)\cup f\left(A_{1}\right) \), entonces \( y\in f\left(A_{0}\right) \) o \( y\in f\left(A_{1}\right) \) y existe \( x\in A_{0}\cup A_{1} \) tal que \( f\left(x\right)=y \). Entonces, \( x\in\left(A_{0}\cup A_{1}\right)\Rightarrow y\in f\left(A_{0}\cup A_{1}\right) \)

(g) Supongamos \( y\in f\left(A_{0}\cap A_{1}\right) \). Entonces existe \( x\in\left(A_{0}\cap A_{1}\right) \) tal que \( f\left(x\right)=y \). Entonces \( x\in A_{0} \) y \( x\in A_{1}\Rightarrow f\left(x\right)=y\in f\left(A_{0}\right)\cap f\left(A_{1}\right) \). Si \( f \) es inyectiva, entonces existe un solo \( x \) tal que \( f\left(x\right)=y \), entonces, sea \( y\in f\left(A_{0}\right)\cap f\left(A_{1}\right) \), por lo tanto, \( y\in f\left(A_{0}\right)  \)y\(  y\in f\left(A_{1}\right) \). Esto implica que \( x\in A_{0}  \)y\(  x\in A_{1} \), dado que \( x  \)es único\(  x\in\left(A_{0}\cap A_{1}\right)\Rightarrow f\left(x\right)=y\in f\left(A_{0}\cap A_{1}\right) \).

(h) Sea \( y\in f\left(A_{0}\right)-f\left(A_{1}\right) \), por definición de función \( y \) es el único elemento de \( B \) que cumple con \( f\left(x\right)=y \). Además, \( y\in f\left(A_{0}\right)  \)y\(  y\notin f\left(A_{1}\right) \). Entonces, \( x\in A_{0},x\notin A_{1} \), o bien \( x\in A_{0}-A_{1}\Rightarrow f\left(x\right)=y\in f\left(A_{0}-A_{1}\right) \). Supongamos \( y\in f\left(A_{0}-A_{1}\right) \), entonces, \( y\in f\left(A{}_{0}\right) \) y \( y\notin f\left(A{}_{1}\right) \), si \( f \) es inyectiva implica que sólo existe un \( x \) tal que \( f\left(x\right)=y \), por lo que podríamos decir que \( x\in A_{0},x\notin A_{1}\Rightarrow x\in\left(A_{0}-A_{1}\right)\therefore f\left(x\right)=y\in f\left(A_{0}-A_{1}\right)  \)

PD ya vi que me han puesto como usario Junior, ¿cuándo termine este curso seré usuario nivel Sensei?  ;D

20 Enero, 2010, 07:22 am
Respuesta #54

morito14

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2.4

modifiqué el c y el e, el e lo traté de hacer de la manera en la que me has enseñado

(c) \( f \) tiene que ser inyectiva, pero \( g \) no necesariamente. Ejemplo: \( A=\left\{ 1\right\} ,B=\left\{ 1,2\right\} ,C=\left\{ 1\right\}  \),
let \( f\left(x\right)=x \) and \( g\left(y\right)=1 \), tal que \( x\in A,y\in B \).
Entonces, hace falta probar que \( f \) necesita ser inyectiva, por contradicción,
supongamos\( f \) no es inyectiva, es decir, \( \exists x_{1}\neq x_{2} \)
tal que \( x_{1},x_{2}\in domain\left(f\right) \) y que \( f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right) \).
Sin embargo, por hipótesis si \( g\circ f\left(x_{1}\right)=g\circ f\left(x_{2}\right)\Rightarrow g\left(f\left(x_{1}\right)\right)=g\left(f\left(x_{2}\right)\right)\Rightarrow{x_{1}=x_{2}} \)
lo cual es una contradicción.

(e) \( f \) no necesita ser suryectiva, sólo \( g \). Ejemplo: \( A=\left\{ 1\right\} ,B=\left\{ 1,2\right\} ,C=\left\{ 1\right\}  \),
let \( f\left(x\right)=1 \) and \( g\left(y\right)=y \), , tal que \( x\in A,y\in B \).
Hace falta probar que \( g \) necesita ser suryectiva:

[1] Por contradicción, suponga que \( g \) no es surjectiva, esto es, \( \exists z_{0}\in C \)
tal que \( g\left(y_{i}\right)\neq z_{0} \) para \( \forall{y_{i}\in B} \).
[2] Definamos \( f\left(x_{j}\right)=y_{j} \), entonces \( y_{j}\subset y_{i} \)
[3] Por 1 y 2, \( g\left(y_{j}\right)\neq z_{0} \) o sustituyendo \( g\left(f\left(x_{j}\right)\right)\neq z_{0} \)
[4] Sin embargo, nuestra hipótesis inicial era que \( g\circ f \), es decir \( g\left(f\left(x\right)\right) \),
era suryectiva. Entonces tenemos una contradicción.

20 Enero, 2010, 02:43 pm
Respuesta #55

argentinator

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Ante todo, te pido disculpas por las demoras en las respuestas,
pero se debe a problemas de fuerza mayor: no funciona mi proveedor de internet.


(b) Supongamos \( x\in f^{-1}\left(B_{0}\cup B_{1}\right)\Rightarrow x\in A\: tal\: que\: f\left(x\right)\in\left(B_{0}\cup B_{1}\right)\Rightarrow f\left(x\right)\in\left(B_{0}\right)\: o\: f\left(x\right)\in\left(B_{1}\right) \), por la definición de preimagen \( x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\: o\: x\in f^{-1}\left(B_{1}\right)\therefore x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\cup f^{-1}\left(B_{1}\right) \).

Sea \( x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\cup f^{-1}\left(B_{1}\right)\Rightarrow x\in A\: tal\: que\: f\left(x\right)\in\left(B_{0}\cup B_{1}\right) \). Entonces, \( f\left(x\right)\in B{}_{0} \) o \( f\left(x\right)\in B{}_{1} \), dado que \( f \) es biyectiva \( f\left(x\right)\in\left(B_{0}\cup B_{1}\right)\Rightarrow x\in f^{-1}\left(B_{0}\cup B_{1}\right) \).


No entiendo por qué te complicás la vida con la "reciproca", si después de todo es igual que la primer implicación, pero en orden inverso:

Sea \( x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\cup f^{-1}\left(B_{1}\right) \)

Se sigue que :\( x\in f^{-1}\left(B_{0}\right) \textsf{\ o\ } x\in f^{-1}\left(B_{1}\right)  \)

Luego: \( f(x)\in\left(B_{0}\right) \textsf{\ o\ } f(x)\in\left(B_{1}\right) . \)

Entonces \( f(x)\in\left(B_{0}\right)\cup\left(B_{1}\right)  \).
Finalmente, se deduce que: \( x\in f^{-1}\left(B_{0}\cup B_{1}\right)  \).

No entiendo por qué has invocado la biyectividad de f en este ejercicio...
El ejercicio no supone que f es biyectiva. Además la implicación es cierta, sin recurrir a biyectividad alguna.

En los demás incisos del ejercicio 2 has cometido el mismo error de invocar propiedades que no están en el enunciado.
Pareciera que estás mezclando las hipótesis de otros ejercicios.
Cada nuevo ejercicio... es borrón y cuenta nueva.
En los incisos del ejercicio 2 no se exige biyectividad ni ninguna otra propiedad a las funciones...

¿Estás teniendo claro que "no todas las funciones son biyectivas, o inyectivas o suryectivas"?

¿O es sólo una mezcla de enunciados de ejercicios?

20 Enero, 2010, 06:26 pm
Respuesta #56

morito14

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(b) Supongamos \( x\in f^{-1}\left(B_{0}\cup B_{1}\right)\Rightarrow x\in A\: tal\: que\: f\left(x\right)\in\left(B_{0}\cup B_{1}\right)\Rightarrow f\left(x\right)\in\left(B_{0}\right)\: o\: f\left(x\right)\in\left(B_{1}\right) \), por la definición de preimagen \( x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\: o\: x\in f^{-1}\left(B_{1}\right)\therefore x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\cup f^{-1}\left(B_{1}\right) \).

Sea \( x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\cup f^{-1}\left(B_{1}\right)\Rightarrow x\in A\: tal\: que\: f\left(x\right)\in\left(B_{0}\cup B_{1}\right) \). Entonces, \( f\left(x\right)\in B{}_{0} \) o \( f\left(x\right)\in B{}_{1} \), dado que \( f \) es biyectiva \( f\left(x\right)\in\left(B_{0}\cup B_{1}\right)\Rightarrow x\in f^{-1}\left(B_{0}\cup B_{1}\right) \).


No entiendo por qué te complicás la vida con la "reciproca", si después de todo es igual que la primer implicación, pero en orden inverso:

¿Estás teniendo claro que "no todas las funciones son biyectivas, o inyectivas o suryectivas"?

¿O es sólo una mezcla de enunciados de ejercicios?


Más preocupante, según yo necesitaba esa propiedad. Pero bueno, vamos mejorando. Revisaré los conceptos antes de intentar corregir los ejercicios.

21 Enero, 2010, 06:14 am
Respuesta #57

morito14

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Creo que ya me quedó claro lo del 2.2, no se necesitaba que fuera biyectiva.

Ahora, una duda, la preimagen y la función inversa tienen la misma notación. Sin embargo, la preimagen siempre existe pero no necesariamente la función inversa. Cómo sabemos cuando hablamos de preimagen o de función inversa?

cómo ves el 2.4?

21 Enero, 2010, 06:21 am
Respuesta #58

morito14

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Ante todo, te pido disculpas por las demoras en las respuestas,
pero se debe a problemas de fuerza mayor: no funciona mi proveedor de internet.



No importa, al contrario te agradezco mucho, me siento cada vez un poco más cómodo con las demostraciones.

21 Enero, 2010, 07:32 am
Respuesta #59

morito14

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Sección 3
1
\( E=\left\{ y\mid y\sim x^{2}\right\}  \)
Reflexibilidad: \( x_{i}^{2}\sim x_{i}^{2}\forall x_{i}\in A \), esto se cumple dada la igualdad
Simetría: \( x_{0}^{2}\sim y_{0} \), entonces \( y_{0}\sim x_{0}^{2} \), esto se cumple dada la igualdad
Transitividad: dada la igualdad, reflexibilidad y simetria podemos afirmar que \( x_{1}^{2}\sim y_{0} \)

4
(a) Transitividad: sea \( a_{i}\in A \), \( i=1,2,3,... \) Si \( a_{1}\sim a_{2} \) y \( a_{2}\sim a_{3} \), entonces \( f(a_{1})=f(a_{2}) \) y \( f(a_{2})=f(a_{3}) \), entonces \( f(a_{1})=f(a_{3}) \). Luego \( a_{1}\sim a_{3} \).
Simetría: si \( a_{0}\sim a_{1}\Rightarrow\left(f(a_{0})=f(a_{1})\right)\Rightarrow\left(f(a_{1})=f(a_{2})\right)\Rightarrow a_{1}\sim a_{0} \)
Reflexibilidad: si \( a_{1}\sim a_{1}\Rightarrow\left(f(a_{1})=f(a_{1})\right)\Rightarrow a_{1}\sim a_{1} \)
(b) Sea \( A={[a]|a\in A} \) la relación de equivalencia, también sea
\( f^{\star}:A^{\star}\rightarrow B \) la función que mapea el conjunto de relaciones de equivalencia en \( B \). Por definición de función suryectiva, dado \( b\in B \) existe un \( a\in A \) tal que \( f\left(a\right)=b \), por definición de relación de equivalencia \( f^{\star}\left(\left[a\right]\right)=f\left(a\right) \), luego \( f^{\star}\left(\left[a\right]\right)=b \) \( \therefore f^{\star} \) es suryectiva. Además, dada la igualdad y la relación de equivalencia \( f^{\star}\left(\left[a_{1}\right]\right)=f^{\star}\left(\left[a_{2}\right]\right)\Rightarrow f(a_{1})=f(a_{2}) \), por la definición de \( f^{\star} \), entonces \( a_{1}\sim a_{2}\Rightarrow \)\( \left[a_{1}\right]=\left[a_{2}\right] \) \( \therefore f \) es inyectiva.

5