En el siguiente ejercicio, según mi interpretación, ¿no se darían "demasiadas topologías"?
Sea
\(
$X=\{a,b,c\}$\\
Son topologias:
$\tau=\{\emptyset,X,A\}$
$\tau=\{\emptyset,X,A,B\}$
$\tau=\{\emptyset,X,A,B,C\}$
$\tau=\{\emptyset,X,A\cup{B}\}$
$\tau=\{\emptyset,X,A\cup{C}\}$
$\tau=\{\emptyset,X,A\cup{C}\cup{B}\}$
$\tau=\{\emptyset,X,A\cap{B}\}$
$\tau=\{\emptyset,X,A\cap{C}\}$
$\ldots$
\)
Otra duda: ¿Es posible la interseccion de dos conjuntos con un solo elemento cada uno?:
Sea:\( A=\{a\}\;\; B=\{b\} \) He de suponer que \( A\cap{B} \) no es posible porque ninguno de los elementos \( a, b \) estan en A y B al mismo tiempo? En este caso las intersdecciones del ejercicio anterior no serían posibles
Saludos
Hola.
Disculpen la demora en las respuestas, pero es que estoy pasando una situación personal bastante complicada (aunque nada que lamentar por suerte).
Bien. En cuanto a las topologías posibles, no hay que ser tímidos. Hay una definición de topología y una lista de familias de conjuntos.
Cada una de ellas es una topología o no lo es.En el caso de \( X = \{a, b, c\} \) hay 8 subconjuntos posibles, los de \( P(X) \), claro está.
La cantidad de familias de conjuntos posibles es el cardinal de partes de este conjunto, o sea, el de P(P(X)), que es \( 2^8 = 256 \).
De esas 64 familias posibles, algunas son topologías y otras no.
Sin embargo, todas las topologías tienen a los elementos \( \emptyset,X \), así que la búsqueda se reduce a las familias posibles de subconjuntos de \( P(X) - \{\emptyset,X\} \), que tiene cardinal 6. Luego, habrá máximo \( 2^6=64 \) posibilidades de topologías (seguramente menos).
En primer lugar, siempre hay que contar las topologías triviales \( \{\emptyset, X\} \), y P(X):
Esas son 2 topologías en nuestro haber.
Luego, en general, para cualquier subconjunto E de X, la terna \( \{\emptyset, E, X\} \) es una topología. ¿O no?
Así que ahí tomemoes como E a todos los subconjuntos no triviales de X, y habremos obtenido 6 topologías distintas (porque P(X) tiene 6 de tales subconjuntos).
Si ahora tomamos dos subconjuntos de X, no triviales, y distintos entre sí, digamos E, F, hay dos situaciones clave a las que observar: que E \subset F, en cuyo caso \( \{\emptyset, E, F, X\} \) es una topología; y que ni E ni F tengan elementos no comunes el uno con el otro. En ese caso, la intersección de ellos difiere de E y F, y lo mismo pasa con la unión.
Analicemos por parte cada caso.
Cuando E, F cumplen \( E\subset F \), tenemos estas posibilidades:
* \( E = \{a\}, F = \{a, b\} \)
* \( E = \{a\}, F = \{a, c\} \)
Y no hay más casos no triviales.
Multiplicamos por los 3 casos posibles que puede tomar E: \( \{a\}, \{b\}, \{c\}. \)
Tenemos un total de 6 topologías obtenidas por esta vía.
Pasemos a los casos en que E y F tienen elementos mutuamente no comunes… además de ser no triviales.
Supongamos que \( E = \{a\} \) y no tiene elementos en común con F.
Puede ser entonces: \( F = \{b\}, F = \{c\}, F = \{b, c\}. \)
En cualquier caso obliga que a \( E\cup F \) esté en la topología, pero no hay otras “obligaciones”. Supongamos que no hay más conjuntos que estos obligados.
Podemos contar las posibilidades de este tipo… pero conviene enumerarlas, porque se van a repetir, incluso con casos futuros:
\( \{\emptyset, X, \{a\}, \{b\}, \{a,b\}\} \)
\( \{\emptyset, X, \{a\}, \{c\}, \{a,c\}\} \)
\( \{\emptyset, X, \{b\}, \{c\}, \{b,c\}\} \)
\( \{\emptyset, X, \{a\}, \{b,c\}\} \)
\( \{\emptyset, X, \{b\}, \{a,c\}\} \)
\( \{\emptyset, X, \{c\}, \{a,b\}\} \)
¿Puede haber elementos E, F tales que su intersección sea no vacía, y no sean subconjuntos uno de otro?
Claro que sí. Tenemos por ejemplo \( E = \{a, b\}, F = \{a, c\}. \)
Pero esto obliga a que su intersección esté en la topología.
Casos como estos nos dan 3 topologías:
\( \{\emptyset, X, \{a,b\}, \{a,c\}, \{a\}\} \)
\( \{\emptyset, X, \{a,b\}, \{b,c\}, \{b\}\} \)
\( \{\emptyset, X, \{a,c\}, \{b,c\}, \{c\}\} \)
A estas les podemos agregar siempre conjuntos unitarios como nuevos elementos adosados, y obtenemos otras 6 topologías:
\( \{\emptyset, X, \{a,b\}, \{a,c\}, \{a\}, \{b\}\} \)
\( \{\emptyset, X, \{a,b\}, \{b,c\}, \{a\}, \{b\}\} \)
\( \{\emptyset, X, \{a,c\}, \{b,c\}, \{a\}, \{c\}\} \)
\( \{\emptyset, X, \{a,b\}, \{a,c\}, \{a\}, \{c\}\} \)
\( \{\emptyset, X, \{a,b\}, \{b,c\}, \{b\}, \{c\}\} \)
\( \{\emptyset, X, \{a,c\}, \{b,c\}, \{b\}, \{c\}\} \)
Toda topología que contenga a \( \{a\}, \{b\}, \{c\}, \) al mismo tiempo contendrá a todos los subconjuntos de X. ¿Por qué? Pero esto es P(X) y ya la habíamos contado.
Así que ahora nos preguntamos si al tomar cualquiera de las topologías obtenidas, es posibles obtener una distinta agregando un nuevo elemento de \( P(X) \), sin caer de nuevo en los ejemplos ya vistos.
Quizá convenga comenzar desde las últimas hacia atrás, e ir comparando.
Como sea, veamos por ejemplo que si en la última topología agregamos el elemento \( \{a, b\} \), esto obliga por intersección a que esté el elemento \( \{a\}, \) y esto obliga a que la topología sea \( P(X). \)
Los demás casos se analizan uno a uno viendo si al agregar algun nuevo elemento de \( P(X) \) se obtienen topologías repetidas.
Si descubrís que alguno de mis ejemplos no es topología… avisame!!!!
Pero hasta ahora creo que mi recuento va bien, y tengo en total: 29 topologías.
¿Serán esas todas las topologías de X, será que agregué a la lista alguna que no lo era?
-------------------------------------
En cuanto a tu ultima pregunta, sobre si la interseccion de dos conjuntos {a}, {b} tiene sentido...
Claro que sí lo tiene!!!
La intersección da el vacio, que es elemento de toda topología.
En ese caso, la interseccion de elementos disjuntos no obliga a que haya nuevos elementos en la topologia.
Pero si que obliga a que esté su union, en este caso, el conjunto {a,b}.
Es muy simple la cosa, dados ciertos elementos de una familia de conjuntos, se toman sus intersecciones de a pares, y se ve si hay alguna que no está en la familia (no topologia), o están todas.
Luego, se consideran uniones arbitrarias, y se ve si todas ellas están aún en la familia. Esto puede ser complicado con conjuntos infinitos, pero con 3 elementos es cuestión de ponerse a enumerar, y hacer una búsqueda algo sistematica.
A lo mejor mi método de busqueda no sea el más eficaz... Pero tiene la virtud de que no se asusta.
En realidad, la idea de fondo que he usado es la de las "subbases".
Dada cualquier familia de conjuntos, existe una topologia "generada" por esa familia. Basta agregar el vacio, el total X, y luego todas las intersecciones finitas y uniones arbitrarias.
Saludos