Autor Tema: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)

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21 Enero, 2010, 10:58 pm
Respuesta #60

argentinator

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Creo que ya me quedó claro lo del 2.2, no se necesitaba que fuera biyectiva.

Ahora, una duda, la preimagen y la función inversa tienen la misma notación. Sin embargo, la preimagen siempre existe pero no necesariamente la función inversa. Cómo sabemos cuando hablamos de preimagen o de función inversa?

cómo ves el 2.4?

Recuerdo que Munkres explica este punto en alguna parte.
Si mal no recuerdo, yo mencioné algo también en los posts de teoría.

Fijate que no hay lugar a confusión.
Supongamos una función común y corrienge \( g \).
Si C es un subconjunto del dominio de la función, entonces está bien definido lo que significa \( g(C) \).
Eso es un conjunto: el de las imágenes \( g(x) \), para toda \( x\in C \).

Pero como g es función, también está definida la notación \( g(x) \), para cada \( x\in C \).
¿Acaso hay alguna confusión?

No, porque \( g(x) \) es un elemento de \( g(C) \).
Con \( g(x) \) se denota un elemento de un conjunto,
mientras que con \( g(C) \) se denota un conjunto.

Ahora vamos a la preimagen.
Resulta que \( g^{-1}(D) \) está definido como un conjunto, donde D es un subconjunto del codominio de la función.

Supongamos que \( g \) es biyectiva.
En ese caso tiene inversa, y denotémosla \( h \).
Resulta que \( h(D) \) es un conjunto, el de todas las imágenes de la función \( h(y) \), con \( y\in D \).

Si ahora nos preguntamos si el conjunto de "preimágenes" \( g^{-1}(D) \) es igual o diferente al conjunto de imágenes \( h(D) \), veremos que son iguales.
Eso se puede demostrar, y es seguramente muy fácil. (Ejercicio)

Por lo tanto, no hay confusión alguna si usamos la notación \( g^{-1}(D) \) para la preimagen de \( g \), tanto como para la imagen de la función inversa \( g^{-1} \).



Queda todavía una posible fuente de confusión.

Cuando \( g \) no es invertible, el símbolo \( g^{-1}(y) \) no estaría bien definido.
Si queremos expresar el conjunto de todas las preimágenes de \( y \), lo correcto y además más claro, sería escribir \( g^{-1}(\{y\}) \).
El \( \{y\} \) es un conjunto unitario que sólo tiene al elemento \( y \).
No hay lugar a confusión.

Sin embargo, si se "relaja" la notación, uno puede aceptar que \( g^{-1}(y) \) signifique el conjunto \( g^{-1}(\{y\}) \)...
Este tipo de cosas hay que tratar de evitarlas.
Y en todo caso, si uno las usa, es preferible aclarar en alguna parte del texto que uno va a usar esa notación ambigua, y lo que significa.

En ese caso sí podría haber confusión cuando hay inversa, porque \( g^{-1}(y) \) denotaría a la vez un solo elemento, y también un conjunto (el que contiene a ese elemento).

Así que, en resumen, no hay peligro de confusión, a menos que uno relaje demasiado la notación y no aclare lo que está haciendo.
Pero aunque uno no haga estragos con la notación, es bueno reflexionar sobre esto, porque puede haber libros que sí hagan ese tipo de cosas, y hay que saber leer e interpretar adecuadamente lo que se está queriendo decir.


21 Enero, 2010, 11:52 pm
Respuesta #61

argentinator

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Una pregunta, he visto que cuando tu escribiste una respuesta usaste la palabra "existe", en este ejercicio uso el símbolo \( \exists \) y también la palabra existe. Supongo que es de estilo, no? Cuál recomiendas y/o tu cuál empleas con más frecuencia?

Da igual.
Cuando uno está aprendiendo a demostrar... yo aconsejo usar siempre el símbolo \( \exists{} \), así uno lo emplea con corrección.
El simbolo \( \exists{} \) sólo puede ir acompañado de una variable, y no de otra cosa...

Eso te ayudará a darte cuenta de errores como en el siguiente ejercicio, que te marco en rojo:

Citar
Ejercicio 2.4
(a) Sea \( x\in\left(g\circ f\right)^{-1}\left(C_{0}\right) \), \( \exists\: z\in C_{0} \) tal que \( g\circ f\left(x\right)=z \), por definición \( g\circ f\left(x\right)=g\left(f\left(x\right)\right) \).
Entonces, \( f\left(x\right)\in g^{-1}\left(C_{0}\right) \), y \( x\in f^{-1}\left(g^{-1}\left(C_{0}\right)\right) \).
Sea \( x\in f^{-1}\left(g^{-1}\left(C_{0}\right)\right) \), entonces existe \( f\left(x\right)\in g^{-1}\left(C_{0}\right) \), y también \( g\left(f\left(x\right)\right)\in C_{0} \). Por definición, \( g\left(f\left(x\right)\right)=g\circ f\left(x\right) \), \( g\circ f\left(x\right)\in C_{0} \), y finalmente esto implica que \( x\in\left(g\circ f\right)^{-1}\left(C_{0}\right) \).

No se puede decir "existe f(x)".
Se entiende la idea, pero no es correcto.

Lo que se hace es siempre "copiar la definición de imagen" tal como está al definir conjunto de imagenes (lo que está en rojo son agregados o correcciones mias, en negro va lo tuyo):

Sea \( x\in f^{-1}\left(g^{-1}\left(C_{0}\right)\right) \), entonces existe \( y \) tal que \( y=f(x),y\in g^{-1}\left(C_{0}\right) \), y también existe \( z \) tal que \( z=g(y) \), con \( g(y)\in C_{0} \).
Además deducimos que: como \( z=g(y) \), \( y=f(x) \), entonces \( z=g(f(x)) \).

Por definición, \( g\left(f\left(x\right)\right)=g\circ f\left(x\right) \), \( g\circ f\left(x\right)\in C_{0} \), y finalmente esto implica que \( x\in\left(g\circ f\right)^{-1}\left(C_{0}\right) \).


Citar
(b) Por definición, si \( f \) es inyectiva para cualquier \( x_{0}\in A \) tal que \( f\left(x_{0}\right)=y_{0} \), \( y_{0}\in B \), tenemos que para cualquier otro \( x_{1}\in A \), dado \( x_{0}\neq x_{1} \), \( f\left(x_{1}\right)\neq y_{0} \). Entonces, si \( g \) es inyectiva para cualquier \( y_{0}\in B \) tal que \( g\left(y_{0}\right)=z_{0} \), \( z_{0}\in C \), tenemos que para cualquier otro \( y_{1}\in B \), dado \( y_{0}\neq y_{1} \), \( g\left(y_{1}\right)\neq z_{0} \). Esto implica que \( g\left(f\left(x_{0}\right)\right) \) tiene un único elemento en \( C \) llamado \( z_{0} \), por definición es inyectiva. Por definición \( g\left(f\left(x_{0}\right)\right)=g\circ f\left(x\right) \).

Esto está muy conversado.
Si yo quisiera convencer a mí mamá de algo, se lo explicaría más o menos, y me diría: "está bien hijo".
Porque mi mamá me quiere mucho.

Pero si trato de explicárselo a Terminator, sencillamente me liquidaría al primer síntoma de no-claridad.

Una demostracion es correcta solo si no hacemos enojar a Terminator...

Cuando atamos los argumentos "a la fuerza" las cosas no quedan bien demostradas.
El inicio de tu demostración no parece mal escrito, es aceptable... pero viene con un arranque dudoso, y eso hace que el final de la demostración sea tan forzado que simplemente ya no es correcto.

Para andar seguros en una demostración, hay que escribir las cosas tal como vienen en la definición de los conceptos que se utilizan.

Ese es el camino. Y es el camino más fácil, y más claro.
Así que ahí va una demostración en ese estilo: usando la definición de inyectividad.
Fijate que voy a hacer una demostración en varios pasos, usando modus ponens, y no metiendo todo en una sola línea de implicaciones... eso termina embarrando la demostración, y ya te expliqué que no hace falta.
Las conclusiones parciales de un razonamiento se pueden ir coleccionando en distintas líneas, y después, como ya están demostradas, se las puede invocar para demostrar lo deseado.


[1] Hipotesis: \( f, g \) son funciones inyectivas.
[2] Hipotesis: \( f, g \), son "componibles", o sea, la imagen de \( f \) está incluida en el dominio de \( g \), y definimos \( h=g\circ f \).
[3] La linea [1] implica, por definición de inyectividad, a este enunciado:

\( \forall{x_1,x_2\in dominio(f)}:f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow{x_1=x_2} \)

En castellano: Para cualesquiera \( x_1,x_2 \), que sean elementos del dominio de la función \( f \), vale la siguiente implicación: la igualdad \( f(x_1)=f(x_2) \) implica la igualdad \( x_1=x_2 \).

[4] La línea [1] implica idéntica propiedad para \( g \):

\( \forall{x_1,x_2\in dominio(g)}:g(x_1)=g(x_2)\Rightarrow{x_1=x_2} \)

[5] Sean \( x_1,x_2\in dominio(h) \), tales que \( h(x_1)=h(x_2) \).

[6] Por la línea [2], y por definición de composición de funciones, sabemos que \( x_1,x_2\in dominio(f) \).  (También hemos usado la línea [5], donde se dice quiénes son \( x_1,x_2 \))

[7] Por [5] tenemos además que \( g(f(x_1))=g(f(x_2)) \). (También la línea [6] nos permite )

[8] Sean \( y_1=f(x_1),y_2=f(x_2) \). Por [2], sabemos que \( y_1,y_2\in dominio(g) \).

[9] Además, por [7] y [8], tenemos ahora que \( g(y_1)=g(y_2) \).

[10] Las líneas [9] y [4] implican que \( y_1=y_2 \).

[11] Las líneas [10] y [8] implican que \( f(x_1)=f(x_2) \).

[12] Las líneas [11] y [3] implican que \( x_1=x_2 \).

[13] Por [5] y [12], \( \forall{x_1.x_2\in dominio(h)}:(h(x_1)=h(x_2)\Longrightarrow{x_1=x_2}) \).

[14] Por definición de función inyectiva, y por [13]: \( h[ \) es una función inyectiva.

Si ahora vemos todo el razonamiento, vemos que las hipótesis [1] y [2], que son el enunciado del ejercicio, implican finalmente la línea [14], o sea, que \( h \) es una función inyectiva.
Eso es lo que hay que lograr decir en última instancia.



Una vez que aprendes a hacer demostraciones con todo este desarrollo, claridad, y exactitud, ahí podrás de a poco ir resumiento.

Además, en los pasos [1] a [14] he agregado mucho palabrerío... ese palabrerío no tienes que imitarlo, porque son sólo comentarios aclaratorios.
Lo que va es la expresión simbólica concreta, sin palabras, nada de conversación.

Los demás incisos  del 2.4 te los dejo que los revises por tu cuenta.


02 Febrero, 2010, 09:15 pm
Respuesta #62

Alejo

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SUGERENCIA:

Cuando abro el foro "DICTADO DEL CURSO DE TOPOLOGIA", resulta que va muy lento y cada vez cuesta mas que aparezcan los textos escritos con latex. Supongo que será debido al gran tamaño de los diferentes post que vas enviando. Asi el último post no ologro que se abra con toda su simbología (latex) y el Explorer da un aviso: "Listo, pero con errores en la pagina" (o algo parecido. No se si esto me ocurre solo a mi, o es algo mas generalizado.

Sugiero que los diferentes dicatados, sean escritos en distintos post, que pueden estar clasificados por temas o lecciones, de esta forma basta con abrir el tema que vas a estudiar y quizas sea mas efectivo.

Algo similar ocurriria con este foro de Consultas. Podrian abrirse distintos hilos para Consultas tema 1, Consultas tema 2 etc.

De todas formas, valoro de forma muy sincera y positiva el esfuerzo y la dedicacion que debe suponerte el impartir este curso.

Saludos

02 Febrero, 2010, 10:57 pm
Respuesta #63

argentinator

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04 Febrero, 2010, 03:43 pm
Respuesta #64

Alejo

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ESPACIOS TOPOLOGICOS
La verdad es que cuando te pones a hacer un ejercicio, se presentan algunas dudas, y no vanales

En el siguiente ejercicio, según mi interpretación, ¿no se darían "demasiadas topologías"?

Sea
\(

$X=\{a,b,c\}$\\

Son topologias:

$\tau=\{\emptyset,X,A\}$

$\tau=\{\emptyset,X,A,B\}$

$\tau=\{\emptyset,X,A,B,C\}$

$\tau=\{\emptyset,X,A\cup{B}\}$

$\tau=\{\emptyset,X,A\cup{C}\}$

$\tau=\{\emptyset,X,A\cup{C}\cup{B}\}$

$\tau=\{\emptyset,X,A\cap{B}\}$

$\tau=\{\emptyset,X,A\cap{C}\}$

$\ldots$

 \)
¿Serian tambien topologias?

\(
$\tau=\{\emptyset,X,(A\cap{C})\cup{B}\}$ con A,B,C\;\in{\tau} \)

Otra duda: ¿Es posible la interseccion de dos conjuntos con un solo elemento cada uno?:

Sea:\( A=\{a\}\;\; B=\{b\}  \) He de suponer que \( A\cap{B} \) no es posible porque ninguno de los elementos \( a, b \) estan en A y B al mismo tiempo? En este caso las intersdecciones del ejercicio anterior no serían posibles

Saludos

06 Febrero, 2010, 05:22 pm
Respuesta #65

enloalto

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Hola argentinator, no voy a perder la oportunidad de repasar topología, voy con algunos ejercicios

Ejercicio 13.1. Sean \( X \) un espacio topológico y A un subconjunto de X. Supongamos que para cada \( x\in{A} \) existe un conjunto abierto U que contiene a x tal que \( U\subset{A} \). Pruebe que A es abierto.

Solución 13.1: Sea \( \tau \) la topología asociada a X, queremos probar que \( A\in{\tau} \).
Sea \( x\in{A} \), entonces, existe \( U_x\in{\tau} \) tal que:
\( x\in{U_x}\subseteq{A} \).
Por tanto:
\( A=\displaystyle\bigcup_{x\in{A}}{\left\{x}}\right\}}\subseteq{\displaystyle\bigcup_{x\in{A}}{U_x}}\subseteq{A} \).
En consecuencia,
\( A=\displaystyle\bigcup_{x\in{A}}{U_x} \), donde \( U_x\in{\tau} \).

Es decir, A es unión(arbitraria) de elementos de \( \tau \). Por tanto, por los axiomas de una topología, \( A\in{\tau} \), es decir, A es abierto.
Llovizna queriendo ser lluvia de verano

06 Febrero, 2010, 05:35 pm
Respuesta #66

enloalto

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Ejercicio 13.3. Muestre que la colección \( \tau_c \)  dada en el Ejemplo 4 de la sección 12 es una topología sobre el conjunto \( X \).
¿Es la siguiente colección una topología sobre \( X \)?:

\( \tau_\infty=\{U|X-U\textsf{\ es infinito, o vacío, o es el total\ }X\}. \)

Solución 13.3: Recordemos que dado un conjunto X, se define:
\( \tau _c=\left\{{U\subseteq{X}:X-U\mbox{es numerable o todo X}}\right\} \).

1) ¿\( \emptyset \) y X están en \( \tau _c \)?
    Puesto que \( X-\emptyset=X\Rightarrow{\emptyset\in{\tau _c}} \).
    \( X-X=\emptyset \), y por definición, el conjunto \( \emptyset \) es finito, de aquí, numerable, entonces \( X\in{\tau _c} \)

2) Sea \( \left\{{U_i}\right\}_{i\in{I}} \), donde I es un conjunto de índices, tales que: \( U_i\in{\tau_c} \), \( \forall{i\in{I}} \), ¿se tiene \( \displaystyle\bigcup_{i\in{I}}{U_i}\in{\tau} \)?
Por propiedades de conjuntos:
\( X-\displaystyle\bigcup_{i\in{I}}{U_i}=\displaystyle\bigcup_{i\in{I}}{(X-U_i)} \).

Como \( U_i\in{\tau_c} \), \( \forall{i\in{I}} \), tenemos los siguientes casos:

i) \( X-U_i \) es numerable, \( \forall{i\in{I}} \).
Nuevamente, por definición de la unión de conjuntos tenemos:
\( U_i\subseteq{\displaystyle\bigcup_{i\in{I}}{U_i}} \), \( \forall{i\in{I}} \), luego
\( X-\displaystyle\bigcup_{i\in{I}}{U_i}\subseteq{X-U_i} \), \( \forall{i\in{I}} \).

Como \( X-U_i \) es numerable \( \forall{i\in{I}} \), y sabemos que todo subconjunto de un conjunto numerable es numerable, entonces
\( X-\displaystyle\bigcup_{i\in{I}}{U_i} \) es numerable.

ii) \( X-U_i=X \), \( \forall{i\in{I}} \)
Entonces la union, sería todo X.

iii) Algunos \( U_i \) son numerables y otros son todo X.
La unión nuevamente es todo X.
Por tanto, en cualquier aso

\( X-\displaystyle\bigcup_{i\in{I}}{U_i}\in{\tau} \).
     
3) Sea \( \left\{{U_i}\right\}_{i=1}^n \), tales que:
\( U_i\in{\tau_c} \), \( \forall{1\leq{i}\leq{n}} \), ¿se tiene    \( \displaystyle\bigcap_{i=1}^n{U_i}\in{\tau} \)?

La respuesta es afirmativa, basta utilizar el mismo razonamiento que en (2)

De (1), (2) y (3). \( \tau_c \) es una topología.

De la misma forma, solo con algunas cositas extras se puede probar que \( \tau_{\infty} \) es una topología.
Llovizna queriendo ser lluvia de verano

06 Febrero, 2010, 06:30 pm
Respuesta #67

enloalto

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Ejercicio 13.4.
Con más detalles en la otra página.
Llovizna queriendo ser lluvia de verano

07 Febrero, 2010, 02:32 am
Respuesta #68

enloalto

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Ejercicio 13.5. Demuestre que si A es una base para una topología sobre X, entonces la topologia generada por A es igual a la interseccion de todas las topologias sobre X que contienen a A. Pruebe lo mismo que si A es una subbase.

Solución 13.5:Sean los conjuntos:
\( \tau_A \), la topología generada por A.
\( \mathbb{H}=\left\{{\tau\mbox{  topología sobre X}:A\subseteq{\tau}}\right\} \).
Sea \( D=\displaystyle\bigcap_{H\in{\mathbb{H}}}{H} \)

Por probar que \( \tau_A=D \).

Por la definición de D, y por las partes (a) y (b) del ejercicio 13.4, D es la menor topología sobre X que contiene a A, es decir:

Si existe una topología \( T \) sobre X, tal que \( A\subseteq{T} \), entonces \( D\subseteq{T} \)

Recordemos(es por la misma definición) que los elementos de una base, tambíen son elementos de la topología generada por dicha base, entonces \( A\subseteq{\tau_A} \) y \( \tau_A \) es topología sobre X. Luego por el párrafo anterior tenemos que:
\( D\subseteq{\tau_A} \)             (1)
.

Probemos que \( \tau_A\subseteq{D} \).

Sabemos por un lema de la teoría, que \( \tau_A \) es la colección de todas las uniones de elementos de A. Entonces si \( Z\in{\tau_A} \), existe un conjunto de índices I, tal que:
\( Z=\cup_{i\in I}{B_i} \), donde \( B_i\in{A} \), para todo \( i\in{I} \).

Sea ahora, \( H\in{\mathbb{H}} \), entonces H es topología sobre X y \( A\subseteq{H} \), luego \( B_i\in{A}\subseteq{H} \), para todo \( i\in{I} \), es decir, \( B_i\in{H} \), para todo \( i\in{I} \).
Luego tenemos:
\( Z=\cup_{i\in I}{B_i} \), donde \( B_i\in{H} \), para todo \( i\in{I} \)  y como H es topología, tenemos que \( Z\in{H} \), como el H fue un elemento arbitrario de \( \mathbb{H} \), se sigue que:

\( Z\in{H} \), \( \forall{H\in{\mathbb{H}}} \), es decir, \( Z\in{\displaystyle\bigcap_{H\in{\mathbb{H}}}{H}}=D \)
De donde
\( \tau_A\subseteq{D} \)                  (2)

De (1) y (2) \( \tau_A=D \), que es lo que deseábamos probar.

El caso de la subbase es análogo, pero de todas maneras, es bueno hacerlo.

Saludos.

Pd: ¿Cómo voy profe?
Llovizna queriendo ser lluvia de verano

07 Febrero, 2010, 05:42 am
Respuesta #69

enloalto

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Voy a dejar un ratito el capítulo de bases y subbases, para regresar a la sección 3 del capítulo 1(Relaciones), hay un ejercicio bonito, es el 3.3, dice asi:

Ejercicio 3.3. Aquí hay una "demostración" de que toda relación C que es a la vez simétrica y transitiva es también reflexiva:"Como C es simétrica, aCb implica bCa. Como C es transitiva, acb y bCa implican aCa, como se quería demostrar". Encuentre el fallo en este argumento.

Solución: Al principio, parace ser cierto, pero hay que recordar que las tres propiedades son independientes.
El fallo es que la reflexividad dice que PARA TODO a, aCa.
La simetría dice que si aCb entonces bCa.
Por tanto, basta tener un elemento a que no esté relacionado con ninguno, y se pueden cumplir las propiedades simétrica y transitiva sin problemas.

Un ejemplo: Sea C la relacion definida en el conjunto de los enteros no negativos {0,1,2,...} de la siguiente manera: aCb si y sólo si ab es distinto de 0. Entonces es fácil comprobar que es simétrica y transitiva, pero NO es reflexiva porque el 0 no está relacionado con ningún elemento y en particular 0 no está relacionado con 0.

Saludos

 
Llovizna queriendo ser lluvia de verano

07 Febrero, 2010, 06:47 pm
Respuesta #70

alefa

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Otra duda: ¿Es posible la interseccion de dos conjuntos con un solo elemento cada uno?:

Sea:\( A=\{a\}\;\; B=\{b\}  \) He de suponer que \( A\cap{B} \) no es posible porque ninguno de los elementos \( a, b \) estan en A y B al mismo tiempo? En este caso las intersdecciones del ejercicio anterior no serían posibles

Saludos

Hola La intersección te daria el vacío que también tiene que ser un elemento de la topología

08 Febrero, 2010, 05:31 am
Respuesta #71

argentinator

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En el siguiente ejercicio, según mi interpretación, ¿no se darían "demasiadas topologías"?

Sea
\(

$X=\{a,b,c\}$\\

Son topologias:

$\tau=\{\emptyset,X,A\}$

$\tau=\{\emptyset,X,A,B\}$

$\tau=\{\emptyset,X,A,B,C\}$

$\tau=\{\emptyset,X,A\cup{B}\}$

$\tau=\{\emptyset,X,A\cup{C}\}$

$\tau=\{\emptyset,X,A\cup{C}\cup{B}\}$

$\tau=\{\emptyset,X,A\cap{B}\}$

$\tau=\{\emptyset,X,A\cap{C}\}$

$\ldots$

 \)


Otra duda: ¿Es posible la interseccion de dos conjuntos con un solo elemento cada uno?:

Sea:\( A=\{a\}\;\; B=\{b\}  \) He de suponer que \( A\cap{B} \) no es posible porque ninguno de los elementos \( a, b \) estan en A y B al mismo tiempo? En este caso las intersdecciones del ejercicio anterior no serían posibles

Saludos


Hola.

Disculpen la demora en las respuestas, pero es que estoy pasando una situación personal bastante complicada (aunque nada que lamentar por suerte).

Bien. En cuanto a las topologías posibles, no hay que ser tímidos. Hay una definición de topología y una lista de familias de conjuntos.
Cada una de ellas es una topología o no lo es.


En el caso de \( X = \{a, b, c\} \) hay 8 subconjuntos posibles, los de \( P(X) \), claro está.
La cantidad de familias de conjuntos posibles es el cardinal de partes de este conjunto, o sea, el de P(P(X)), que es \( 2^8 = 256 \).

De esas 64 familias posibles, algunas son topologías y otras no.

Sin embargo, todas las topologías tienen a los elementos \( \emptyset,X \), así que la búsqueda se reduce a las familias posibles de subconjuntos de \( P(X) - \{\emptyset,X\} \), que tiene cardinal 6. Luego, habrá máximo \( 2^6=64 \) posibilidades de topologías (seguramente menos).

En primer lugar, siempre hay que contar las topologías triviales \( \{\emptyset, X\} \), y P(X):

Esas son 2 topologías en nuestro haber.

Luego, en general, para cualquier subconjunto E de X, la terna \(  \{\emptyset, E, X\} \) es una topología. ¿O no?
Así que ahí tomemoes como E a todos los subconjuntos no triviales de X, y habremos obtenido 6 topologías distintas (porque P(X) tiene 6 de tales subconjuntos).

Si ahora tomamos dos subconjuntos de X, no triviales, y distintos entre sí, digamos E, F, hay dos situaciones clave a las que observar: que E \subset F, en cuyo caso \( \{\emptyset, E, F, X\} \) es una topología; y que ni E ni F tengan elementos no comunes el uno con el otro. En ese caso, la intersección de ellos difiere de E y F, y lo mismo pasa con la unión.

Analicemos por parte cada caso.

Cuando E, F cumplen \( E\subset F \), tenemos estas posibilidades:

* \( E = \{a\}, F = \{a, b\} \)
* \( E = \{a\}, F = \{a, c\} \)

Y no hay más casos no triviales.
Multiplicamos por los 3 casos posibles que puede tomar E: \( \{a\}, \{b\}, \{c\}. \)
Tenemos un total de 6 topologías obtenidas por esta vía.

Pasemos a los casos en que E y F tienen elementos mutuamente no comunes… además de ser no triviales.

Supongamos que \( E = \{a\} \) y no tiene elementos en común con F.

Puede ser entonces: \( F = \{b\}, F = \{c\}, F = \{b, c\}. \)

En cualquier caso obliga que a \( E\cup F \) esté en la topología, pero no hay otras “obligaciones”. Supongamos que no hay más conjuntos que estos obligados.

Podemos contar las posibilidades de este tipo… pero conviene enumerarlas, porque se van a repetir, incluso con casos futuros:

\( \{\emptyset, X, \{a\}, \{b\}, \{a,b\}\} \)
\( \{\emptyset, X, \{a\}, \{c\}, \{a,c\}\} \)
\( \{\emptyset, X, \{b\}, \{c\}, \{b,c\}\} \)
\( \{\emptyset, X, \{a\}, \{b,c\}\} \)
\( \{\emptyset, X, \{b\}, \{a,c\}\} \)
\( \{\emptyset, X, \{c\}, \{a,b\}\} \)

¿Puede haber elementos E, F tales que su intersección sea no vacía, y no sean subconjuntos uno de otro?

Claro que sí. Tenemos por ejemplo \( E = \{a, b\}, F = \{a, c\}.  \)

Pero esto obliga a que su intersección esté en la topología.

Casos como estos nos dan 3 topologías:

\( \{\emptyset, X, \{a,b\}, \{a,c\}, \{a\}\} \)
\( \{\emptyset, X, \{a,b\}, \{b,c\}, \{b\}\} \)
\( \{\emptyset, X, \{a,c\}, \{b,c\}, \{c\}\} \)

A estas les podemos agregar siempre conjuntos unitarios como nuevos elementos adosados, y obtenemos otras 6 topologías:

\(  \{\emptyset, X, \{a,b\}, \{a,c\}, \{a\}, \{b\}\}  \)
\(  \{\emptyset, X, \{a,b\}, \{b,c\}, \{a\}, \{b\}\}  \)
\(  \{\emptyset, X, \{a,c\}, \{b,c\}, \{a\}, \{c\}\}  \)
\( \{\emptyset, X, \{a,b\}, \{a,c\}, \{a\}, \{c\}\} \)
\( \{\emptyset, X, \{a,b\}, \{b,c\}, \{b\}, \{c\}\} \)
\( \{\emptyset, X, \{a,c\}, \{b,c\}, \{b\}, \{c\}\} \)
 

Toda topología que contenga a \( \{a\}, \{b\}, \{c\}, \) al mismo tiempo contendrá a todos los subconjuntos de X. ¿Por qué? Pero esto es P(X) y ya la habíamos contado.

 

Así que ahora nos preguntamos si al tomar cualquiera de las topologías obtenidas, es posibles obtener una distinta agregando un nuevo elemento de \( P(X) \), sin caer de nuevo en los ejemplos ya vistos.

Quizá convenga comenzar desde las últimas hacia atrás, e ir comparando.

Como sea, veamos por ejemplo que si en la última topología agregamos el elemento \( \{a, b\} \), esto obliga por intersección a que esté el elemento \( \{a\}, \) y esto obliga a que la topología sea \( P(X). \)
Los demás casos se analizan uno a uno viendo si al agregar algun nuevo elemento de \( P(X) \) se obtienen topologías repetidas.

Si descubrís que alguno de mis ejemplos no es topología… avisame!!!!
Pero hasta ahora creo que mi recuento va bien, y tengo en total: 29 topologías.

¿Serán esas todas las topologías de X, será que agregué a la lista alguna que no lo era?

-------------------------------------

En cuanto a tu ultima pregunta, sobre si la interseccion de dos conjuntos {a}, {b} tiene sentido...
Claro que sí lo tiene!!!
La intersección da el vacio, que es elemento de toda topología.

En ese caso, la interseccion de elementos disjuntos no obliga a que haya nuevos elementos en la topologia.
Pero si que obliga a que esté su union, en este caso, el conjunto {a,b}.

Es muy simple la cosa, dados ciertos elementos de una familia de conjuntos, se toman sus intersecciones de a pares, y se ve si hay alguna que no está en la familia (no topologia), o están todas.
Luego, se consideran uniones arbitrarias, y se ve si todas ellas están aún en la familia. Esto puede ser complicado con conjuntos infinitos, pero con 3 elementos es cuestión de ponerse a enumerar, y hacer una búsqueda algo sistematica.

A lo mejor mi método de busqueda no sea el más eficaz... Pero tiene la virtud de que no se asusta.
En realidad, la idea de fondo que he usado es la de las "subbases".
Dada cualquier familia de conjuntos, existe una topologia "generada" por esa familia. Basta agregar el vacio, el total X, y luego todas las intersecciones finitas y uniones arbitrarias.

Saludos

08 Febrero, 2010, 05:44 am
Respuesta #72

argentinator

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Ejercicio 13.1. Sean \( X \) un espacio topológico y A un subconjunto de X. Supongamos que para cada \( x\in{A} \) existe un conjunto abierto U que contiene a x tal que \( U\subset{A} \). Pruebe que A es abierto.

Solución 13.1: Sea \( \tau \) la topología asociada a X, queremos probar que \( A\in{\tau} \).
Sea \( x\in{A} \), entonces, existe \( U_x\in{\tau} \) tal que:
\( x\in{U_x}\subseteq{A} \).
Por tanto:
\( A=\displaystyle\bigcup_{x\in{A}}{\left\{x}}\right\}}\subseteq{\displaystyle\bigcup_{x\in{A}}{U_x}}\subseteq{A} \).
En consecuencia,
\( A=\displaystyle\bigcup_{x\in{A}}{U_x} \), donde \( U_x\in{\tau} \).

Es decir, A es unión(arbitraria) de elementos de \( \tau \). Por tanto, por los axiomas de una topología, \( A\in{\tau} \), es decir, A es abierto.


Está perfecta la prueba.
Así que comento por si hay alguno que pueda sentir extraños algunos pasos.
Por ejemplo, cuando se dice que
\( A=\displaystyle\bigcup_{x\in{A}}{\left\{x}}\right\}}\subseteq{\displaystyle\bigcup_{x\in{A}}{U_x}}\subseteq{A} \).
se esta usando la propiedad de que si una familia arbitraria de conjuntos está contenida en A, entonces su unión sigue estando contenida en A.

Eso puede probarse, si es que no lo han hecho en la tanda de ejercicios de teoría de conjuntos.

Por lo demás, es mera cuestión de apelar a la definición de topología, una y otra vez, sin buscar ninguna otra cosa extraña en el camino.

Lo que sí puede hacer uno es tratar de congeniar la intuición geométrica que uno tiene de la topología de "abiertos en \( R^n \)" con los resultados generales, o ejemplos contraintuitivos. Eso enriquece la experiencia topologica.

Saludos

08 Febrero, 2010, 06:08 am
Respuesta #73

argentinator

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Ejercicio 13.3. Muestre que la colección \( \tau_c \)  dada en el Ejemplo 4 de la sección 12 es una topología sobre el conjunto \( X \).
¿Es la siguiente colección una topología sobre \( X \)?:

\( \tau_\infty=\{U|X-U\textsf{\ es infinito, o vacío, o es el total\ }X\}. \)

Solución 13.3: Recordemos que dado un conjunto X, se define:
\( \tau _c=\left\{{U\subseteq{X}:X-U\mbox{es numerable o todo X}}\right\} \).

(...)

2) Sea \( \left\{{U_i}\right\}_{i\in{I}} \), donde I es un conjunto de índices, tales que:
\( U_i\in{\tau_c} \), \( \forall{i\in{I}} \), ¿se tiene  \( \displaystyle\bigcup_{i\in{I}}{U_i}\in{\tau} \)?
\( X-\displaystyle\bigcup_{i\in{I}}{U_i}=\displaystyle\bigcup_{i\in{I}}{X-U_i} \).

Como \( U_i\in{\tau_c} \), \( \forall{i\in{I}} \), entonces \( X-U_i \) es numerable o es todo X,

entonces en el primer caso, sabemos que la unión arbitraria de conjuntos numerables, es numerables, 


Eso que marqué en rojo está mal.
La unión arbitraria de conjuntos numerables puede ser no-numerable. Por ejemplo, la unión de los conjuntos unitarios formados por puntos de la recta real... da la recta real, que no es numerable, jeje.

Así que hay que cambiar el argumento.

Supongamos que tenemos una familia de conjuntos \( U_i,i\in I \) tales que los \( X-U_i \) son todos finitos, o infinito.numerables.
Consideremos la unión V de todos ellos.
Dado un elemento cualquiera de la familia, digamos \( U_0 \), se tiene que \( U_0\subset V \).
Por lo tanto \( X-V\subset X-U_0 \).
Pero como \( X-U_0 \) era finito o infinito-numerable, también debe serlo \( X-V \), por estar contenido en \( X-U_0 \).

--------------------

En cuanto a las intersecciones, tu razonamiento funciona bien, porque tomando complementos se obtiene una familia finita de finitos o infinito-numerables, cuya unión es de nuevo numerable, y así el complemento de esta unión está en la familia.

Saludos

08 Febrero, 2010, 06:24 am
Respuesta #74

argentinator

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De la misma manera \( \bigcup_\alpha \tau_\alpha \) es una topología.


Eso no es correcto... mmm

El ejercicio de que la intersección arbitrarias de topologias es de nuevo una topologia, lo has demostrado perfectamente, pero la unión de topologías no es necesariamente una topología, a menos que se trate de casos muy especiales (como el caso de unir finitas topologias ordenadas por refinamiento).

Un ejemplo claro es el mismo inciso (c) del ejercicio 13,4.
En él se tiene

\( \tau_1=\{\emptyset,X,\{a\},\{a,b\}\},\qquad\qquad\tau_2=\{\emptyset,X,\{a\},\{b,c\}\}. \)

La unión de ambas topologías no puede ser una topologia.
Por ejemplo, la intersección de los elementos \( \{a,b\},\{b,c\} \) da el conjunto \( \{b\} \), que no está en \( \tau_1\cup\tau_2 \).

---------------------------

En cuanto a la parte final del inciso (a), y lo dicho en el inciso (b) del ejercicio 13, la "unión" de las topologias está cerca de ser la topología más pequeña que contenga a todas las de la familia, pero "le falta un paso".
¿Cuál es?
Es decir, es obvio que a la unión hay que considerarla, porque esa topología que estamos buscando debe contener a todos los elementos de la familia de topologias considerada... Pero al final habrá que "tunear" esa unión para que en efecto sea una topología.

¿Pistas? Hay dos caminos que se me ocurren: usar la idea de subbase, o bien usar ¡¡intersecciones y lo probado en (a)!!!
Pensar un poco, que sale.

08 Febrero, 2010, 06:31 am
Respuesta #75

enloalto

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Hola argentinator, bueno sí, se me pasaron algunas cosas, como lo de la unión, es unión numerable, y no arbitraria como escribí.

Lo de la union de topologías, lo hice a la volada, pero tienes razón, voy a pensarlo un poquito y lo pongo, ya tengo sueñito zzzzzzzzzzzzzz.

Saludos, respecto a  los problemillas que esta pasando, tranqui, los problemas tienen solución, o hay que demostrar que no la tienen ;), un abrazo.
Llovizna queriendo ser lluvia de verano

08 Febrero, 2010, 06:33 am
Respuesta #76

argentinator

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Solución 13.5:Sean los conjuntos:

Pd: ¿Cómo voy profe?


Este ejercicio, a pesar de basarse en el anterior que tenía errores... está excelentemente demostrado.

Saludos

08 Febrero, 2010, 06:36 am
Respuesta #77

argentinator

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respecto a  los problemillas que esta pasando.

No sé si llamarlos problemas, son asuntos urgentes y complicados que debo atender, pero no es nada grave.
Lo único problemático es que la situación en sí me oblida a estar alejado de internet y las computadoras, y por eso no respondo con la continuidad que quisiera.
Quizá siga con estas intermitencias todo el mes, pero sobretodo esta semana. Ya veremos.

Saludos

08 Febrero, 2010, 06:38 am
Respuesta #78

argentinator

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Voy a dejar un ratito el capítulo de bases y subbases, para regresar a la sección 3 del capítulo 1(Relaciones), hay un ejercicio bonito, es el 3.3, dice asi:

Ejercicio 3.3. Aquí hay una "demostración" de que toda relación C que es a la vez simétrica y transitiva es también reflexiva:"Como C es simétrica, aCb implica bCa. Como C es transitiva, acb y bCa implican aCa, como se quería demostrar". Encuentre el fallo en este argumento.

Solución: Al principio, parace ser cierto, pero hay que recordar que las tres propiedades son independientes.
El fallo es que la reflexividad dice que PARA TODO a, aCa.
La simetría dice que si aCb entonces bCa.
Por tanto, basta tener un elemento a que no esté relacionado con ninguno, y se pueden cumplir las propiedades simétrica y transitiva sin problemas.

Un ejemplo: Sea C la relacion definida en el conjunto de los enteros no negativos {0,1,2,...} de la siguiente manera: aCb si y sólo si ab es distinto de 0. Entonces es fácil comprobar que es simétrica y transitiva, pero NO es reflexiva porque el 0 no está relacionado con ningún elemento y en particular 0 no está relacionado con 0.


Muy bien.
Tenía ganas de poner un "smiley" de esos que aplauden, o un pulgar para arriba, pero no hay en el foro.

Saludos

08 Febrero, 2010, 06:39 am
Respuesta #79

argentinator

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Otra duda: ¿Es posible la interseccion de dos conjuntos con un solo elemento cada uno?:

Sea:\( A=\{a\}\;\; B=\{b\}  \) He de suponer que \( A\cap{B} \) no es posible porque ninguno de los elementos \( a, b \) estan en A y B al mismo tiempo? En este caso las intersdecciones del ejercicio anterior no serían posibles

Saludos

Hola La intersección te daria el vacío que también tiene que ser un elemento de la topología

Yo dije esto después que Alefa.
Disculpa Alefa que te he visto tarde.

Saludos