Autor Tema: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

09 Mayo, 2012, 04:01 am
Respuesta #500

argentinator

  • Consultar la FIRMAPEDIA
  • Administrador
  • Mensajes: 7,274
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • Vean mis posts activos en mi página personal
    • Mis posts activos (click aquí)
Está bien, pero en la \( \tau_3 \) no está bien dicho que tomás "elementos básicos", porque en esa topología nadie ha dado una "base", sino que se define directamente diciendo cuáles son sus abiertos.

Resulta que todo abierto en esa topología es abierto en \( \tau_1 \).

El razonamiento o técnica de los "básicos" vale para incluir \( \tau_3 \) en \( \tau_4 \).

No entiendo a qué te referís con que \( U \) es de la forma (a, b), porque no lo es.

O sea que el resultado está bien, pero la justificación no.   :'(



09 Mayo, 2012, 04:05 am
Respuesta #501

argentinator

  • Consultar la FIRMAPEDIA
  • Administrador
  • Mensajes: 7,274
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • Vean mis posts activos en mi página personal
    • Mis posts activos (click aquí)

09 Mayo, 2012, 04:20 am
Respuesta #502

alejandra

  • $$\pi \pi \pi \pi$$
  • Mensajes: 268
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Femenino
Tomemos un elemento U de \( \tau_3 \) estos son de la forma


\( U=R\setminus \{x_1,...,x_n\}=(-\infty,x_1)\cup \bigcup _{k=1}^{n-1}(x_{k},x_{k+1})\cup (x_n,\infty) \)

Todo abierto U en \( \tau_3 \) es abierto en \( \tau_1 \)  por qué? por ser unión de abiertos de \( \tau_1 \) entonces como
\( \tau_3\subset{\tau_1\subset{\tau_4}}\rightarrow{\tau_3\subset{\tau_4}} \)

Ahora bien cada conjunto de la union es de la forma (a,b) es por eso que digo que son abiertos de \( \tau_1 \).

Eso quise decir...pero  :'( tal vez me falta mucha practica para expresarme mejor...

09 Mayo, 2012, 04:25 am
Respuesta #503

argentinator

  • Consultar la FIRMAPEDIA
  • Administrador
  • Mensajes: 7,274
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • Vean mis posts activos en mi página personal
    • Mis posts activos (click aquí)



Ahora bien cada conjunto de la union es de la forma (a,b) es por eso que digo que son abiertos de \( \tau_1 \).

Eso quise decir...


Esto está bien dicho.

Y sí, es práctica.

¡Suerte!

09 Mayo, 2012, 03:55 pm
Respuesta #504

alejandra

  • $$\pi \pi \pi \pi$$
  • Mensajes: 268
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Femenino
Ejercicio 16.5
X conjunto con la topologia \( \tau_x \),   \( \ X^{'} \) conjunto con la topologia \( \tau^{' }_{x^{'}} \) ,  Y conjunto con la topologia \( \tau_y \), \( \ Y^{'} \) conjunto con la topologia \( \tau^{' }_{y^{'}} \)

Debo probar que si \( \tau_x\subset{\tau^{' }_{x^{'}}} y \tau_y\subset{\tau^{' }_{y^{'}}} \) entonces \( \tau_p\subset{\tau^{' }_{p^{'}}} \) siendo las topologias producto sobre XxY, \( \ X^{'}\times{\ Y^{'}} \) respectivamente

Sea \( \{B_x} \) la base que genera a \( \tau_x \)
Sea \( \{B^{'}_{x^{'}}} \) la base que genera a \( \tau^{' }_{x^{'}} \)
Sea \( \{B_y} \) la base que genera a \( \tau_y \)
Sea \( \{B^{'}_{y^{'}}} \) la base que genera a \( \tau^{' }_{y^{'}} \)

\( U\in{\tau_p}\rightarrow{U=\displaystyle\bigcup_{i\in{I}}{{B_i\times{{C_i : B_i\in{{B_x}}}\wedge C_i\in{{B_y} }}}\rightarrow{U=\displaystyle\bigcup_{i\in{I}}{{B_i\times{{C_i : B_i\in{{\tau_x}}}\wedge C_i\in{{\tau_y} }}}\rightarrow{U=\displaystyle\bigcup_{i\in{I}}{{B_i\times{{C_i : B_i\in{{\ tau^{' }_{x^{'}}}}}\wedge C_i\in{{\ tau^{' }_{y^{'}}} }}}\rightarrow{U\in{\ tau^{' }_{p^{'}}}} \)


b) Sean \( B_1 , B_2 \in{{B_x}} \) ambos iguales al vacio y \( C_1, C_2 \in{}{B_y}|C_1, C_2\not\in{B^{'}_{y^{'}}}  \)

queremos ver que la reciproca no se cumple es decir que \( \tau_p\subset{\tau^{' }_{p^{'}}}\rightarrow{]\tau_x\subset{\tau^{' }_{x^{'}}} y \tau_y\subset{\tau^{' }_{y^{'}}}} \)

Entonces supongamos por absurdo que se cumple entonces sea \( V=B_1\times{C_1}\cup{B_2\times{C_2}} y U={B^{'}_1\times{{C^{'}_1}}\cup{B^{'}_2\times{{C^{'}_2}}}} \) entonces \( V=\emptyset\subset{U} \) pero a pesar de que \( {B_x}\subset{{B^{'}_{x^{'}}}} \) no ocurre que \( {B^{'}_{x^{'}}}\subset{{B^{'}_{y^{'}}}} \) Absurdo!


09 Mayo, 2012, 04:49 pm
Respuesta #505

argentinator

  • Consultar la FIRMAPEDIA
  • Administrador
  • Mensajes: 7,274
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • Vean mis posts activos en mi página personal
    • Mis posts activos (click aquí)
En el (a) estás asumiendo que hay una base en X, X', Y, Y', cuando eso no siempre se tiene, debido a que la base alguien te la tiene que dar.

(En realidad una topología es trivialmente una "base" que genera su propia topología..., o sea que técnicamente no es incorrecto lo que escribiste).

Es más interesante aprovechar las técnicas de bases para la topología producto, ya que ahí es donde simplifican el desarrollo.

Así, basta demostrar que si \( U\times V \) es básico en la topología producto \( \tau_p \), entonces es un abierto en \( \tau_p' \).

Pero esto es trivial ya que, si \( B \) es básico en \( \tau_p \), entonces \( B \) es de la forma \( B=U\times V \), con \( U\in \tau_X,V\in \tau_Y \) (o sea, abiertos cualesquiera, no hace falta que sean básicos).

Pero, debido a las inclusiones de topologías del enunciado, se tiene ahora que \( U\in\tau_{X'},V\in\tau_{Y'} \).
Se deduce entonces que \( U\times V \) es básico en \( X'\times Y' \), por lo tanto es abierto en esa topología.

Esto implica que todo abierto en \( \tau_p \) es abierto en \( \tau_{p'} \), lo cual se prueba de un modo totalmente rutinario, escribiendo cada abierto como unión de elementos de la base.

Pero esto último, que es rutina, conviene dejarlo para el final, y centrarse en la prueba de más arriba en lo que ocurre con los conjuntos "básicos".

Vos arrancaste directamente desde los abiertos de la topología producto, y eso no está mal, pero no le veo utilidad a que hayas empleado básicos en cada coordenada, para después no aprovechar los básicos en la topología producto.

Pero parece que tus cuentas son correctas a pesar de que el enfoque no es el más óptimo.
________

En la parte (b) no entiendo qué estás haciendo, imagino que buscás un contraejemplo.
Pero el conjunto vacío en general no se toma como elemento de una base, no podés asumir que el vacío es elemento de una familia de conjuntos básicos.

Tampoco sirve pensar en topologías vacías.
Eso no sé qué tan claro está en cada libro, pero en general no se aceptan conjuntos vacíos como espacios topológicos.

Así que, si bien el vacío te destroza los productos cartesianos como conjuntos, en el caso del tema de topología no se podría usar con esa intención.

El enunciado asume que los productos satisfacen \( \tau_p\subset \tau_{p'} \).
Para ver que las topologías en cada coordenada X, Y, son más gruesas que cada coordenada X', Y',
basta usar proyecciones.
Hay que tomar preimágenes e imágenes de proyecciones, y jugando con eso vas a ver que te salen las inclusiones en cada coordenada.

Saludos

09 Mayo, 2012, 07:49 pm
Respuesta #506

alejandra

  • $$\pi \pi \pi \pi$$
  • Mensajes: 268
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Femenino

En la parte (b) no entiendo qué estás haciendo, imagino que buscás un contraejemplo.
Pero el conjunto vacío en general no se toma como elemento de una base, no podés asumir que el vacío es elemento de una familia de conjuntos básicos.

Tampoco sirve pensar en topologías vacías.
Eso no sé qué tan claro está en cada libro, pero en general no se aceptan conjuntos vacíos como espacios topológicos.

Así que, si bien el vacío te destroza los productos cartesianos como conjuntos, en el caso del tema de topología no se podría usar con esa intención.

El enunciado asume que los productos satisfacen \( \tau_p\subset \tau_{p'} \).
Para ver que las topologías en cada coordenada X, Y, son más gruesas que cada coordenada X', Y',
basta usar proyecciones.
Hay que tomar preimágenes e imágenes de proyecciones, y jugando con eso vas a ver que te salen las inclusiones en cada coordenada.

Saludos


Lo estuve pensando y lo desarrolle de la siguiente manera...

Hipotesis: \( \tau_p\subset{\tau^{' }_{p^{'}}} \)
Tesis: \( \tau_x\subset{\tau^{' }_{x^{'}}} y \tau_y\subset{\tau^{' }_{y^{'}}} \)

supongamos que \( U\in\tau_x,V\in\tau_y \) notemos que U,V son abiertos en \( \tau_x \) y \( \tau_y \) respectivamente
Defino la proyeccion \( \pi_1:X\times Y\to X \) y \( \pi_2:X\times Y\to Y \)
si \( U\subset X,V\subset Y \) se tiene que \( \pi_1^{-1}(U)=U\times Y,\qquad \pi_2^{-1}(V)=X\times V \)
\( U\times V=\pi_1^{-1}(U)\cap{ \pi_2^{-1}(V)} \) con  \( U\in\tau_x,V\in\tau_y \) entonces por definicion de topologia producto sobre XxY se tiene que es aquella en la que todo abierto básico de \( \tau_p \) es de la foma WxM con \( W\in\tau_x,M\in\tau_y \) entonces UxV responde a esa forma entonces UxV es basico en XxY por lo tanto es abierto en \( \tau_p \) y por hipotesis  \( \tau_p\subset{\tau^{' }_{p^{'}}} \) entonces UxV es basico de \( X'\times Y' \) por lo tanto es abierto en \( \tau^{' }_{p^{'}} \) es decir \( U\in{\tau^{'}_{x'}} y V\in{\tau^{'}_{y'}} \). que era lo que queriamos probar...

Uff costo...   :o es asi la idea? ::)

09 Mayo, 2012, 10:15 pm
Respuesta #507

argentinator

  • Consultar la FIRMAPEDIA
  • Administrador
  • Mensajes: 7,274
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • Vean mis posts activos en mi página personal
    • Mis posts activos (click aquí)

09 Mayo, 2012, 11:09 pm
Respuesta #508

alejandra

  • $$\pi \pi \pi \pi$$
  • Mensajes: 268
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Femenino
Los ejercicios 16.8 y 16.9 los he resuelto pero son muy largos para escribirlos por aca, ajjajajjaja por eso quisiera decirle los resultados que obtuve para saber si los hice bien...

Ej.16.8
a) La topologia del limite inferior es la que mas se aproxima a la topologia como subespacio de \( R_{l}\times{R} \)
b) En este me quedan tres casos que generan la topologia del limite inferior y una sola que me genera la topologia discreta

Ej.16.9
b)son comparables...osea obtuve que la topologia usual es mas gruesa que la topologia producto sobre  \( {R_{d}\times{R} \)

ahora intentare el 16.10

Desde ya muchas gracias... :D

10 Mayo, 2012, 02:23 am
Respuesta #509

argentinator

  • Consultar la FIRMAPEDIA
  • Administrador
  • Mensajes: 7,274
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • Vean mis posts activos en mi página personal
    • Mis posts activos (click aquí)
Lo estuve pensando y lo desarrolle de la siguiente manera...

Hipotesis: \( \tau_p\subset{\tau^{' }_{p^{'}}} \)
Tesis: \( \tau_x\subset{\tau^{' }_{x^{'}}} y \tau_y\subset{\tau^{' }_{y^{'}}} \)

supongamos que \( U\in\tau_x,V\in\tau_y \) notemos que U,V son abiertos en \( \tau_x \) y \( \tau_y \) respectivamente
Defino la proyeccion \( \pi_1:X\times Y\to X \) y \( \pi_2:X\times Y\to Y \)
si \( U\subset X,V\subset Y \) se tiene que \( \pi_1^{-1}(U)=U\times Y,\qquad \pi_2^{-1}(V)=X\times V \)
\( U\times V=\pi_1^{-1}(U)\cap{ \pi_2^{-1}(V)} \) con  \( U\in\tau_x,V\in\tau_y \) entonces por definicion de topologia producto sobre XxY se tiene que es aquella en la que todo abierto básico de \( \tau_p \) es de la foma WxM con \( W\in\tau_x,M\in\tau_y \) entonces UxV responde a esa forma entonces UxV es basico en XxY por lo tanto es abierto en \( \tau_p \) y por hipotesis  \( \tau_p\subset{\tau^{' }_{p^{'}}} \) entonces UxV es basico de \( X'\times Y' \) por lo tanto es abierto en \( \tau^{' }_{p^{'}} \) es decir \( U\in{\tau^{'}_{x'}} y V\in{\tau^{'}_{y'}} \). que era lo que queriamos probar...

Uff costo...   :o es asi la idea? ::)

Bueno, vuelvo otra vez sobre este ejercicio.

Lo que voy a hacerte es un comentario "accesorio", para ayudar a pulir las ideas, puesto que el ejercicio está correcto.

Cuando tomaste las preimágenes por las proyecciones, obtuviste los conjuntos UxY y XxV.
Esos conjuntos "ya" son abiertos en la topología producto XxY, y en particular son abiertos en X'xY'.
Por lo tanto, si los volvés a proyectar, al 1ero en el eje X y al 2do en el eje Y, vas a obtener que U es abierto en X' y que V es abierto en Y'.

A lo que voy con esto es que "no estabas obligada" a considerar el conjunto producto _UxV para poder trabajar.
No te marco esto por molestar, sino que, en algún ejercicio distinto a éste, con el mismo enfoque, te podrías llegar a trabar, si es que creés que estás "obligada" a usar el conjunto UxV.

Por otra parte, en cierto modo, el hecho de haber usado el conjunto UxV ahorra algo de "tinta".