en el ejercicio 16.3 tengo que decir si ciertos conjuntos son abiertos en Y y \( \mathbb{R} \) pero no sé si la manera en que estoy resolviendo el ejercicio es correcto...
\( A={ x | 0.5<|x|<1 \} \), en conclusión digo que si, pertenecen a ambos.
Análisis: \( (-1,-0.5)=(-1,-0.5)\cap{[-1,1]} \) donde \( (-1,-0.5)\in{\mathbb{R}} \)
análogo para el otro conjunto.
\( (-1,-0.5)\cup{(0.5,1)}= \displaystyle\bigcup_{i\in{I}}{(a_i,b_i) } \)
Esto está bien planteado, pero está mal redactado.
A lo último escribiste el conjunto \( A \) como unión de intervalos.
¿Para qué?
¿Y cuáles intervalos? ¿O qué quisiste decir ahí?
Lo que estás intentando demostrar es que \( A \) es abierto en la topología de subespacio de \( Y=[-1,1] \).
Entonces eso es lo que tenés que dejar claro en tu argumentación.
Lo podés decir con símbolos o con palabras, pero tiene que ser claro, eso es lo que importa.
Podrías decir algo como esto: "Hemos podido escribir \( A \) como unión de (dos) conjuntos abiertos en la topología de subespacio \( Y \), por lo tanto \( A \) es abierto en dicha topología".
O bien, en símbolos:
Puesto que \( A=(-1,-0,5)\cup (0,5,1) \) y \( (-1,-0,5),(0,5,1)\in\tau_Y \), entonces \( A\in Y \).
B=\( \{ x | 0.5\leq{|x|}<1\} \)
\( B\not\in{\tau_y} \)
no existe \( M\in{\tau_\mathbb{R}}/ (-1,-0.5]=[-1,1]\cap{M} \) pues M es de la forma (a,b)
Esto está incompleto e impreciso.
Pareciera que estás tratando de trabajar con elementos de la base, pero faltan cosas que probar.
La idea es ésta:
* Todo abierto en una topología se puede escribir como unión de elementos de alguna base, si te dan alguna.
* Para demostrar que un conjunto no es abierto en esa topología, razonamos por absurdo pensando que sí es abierto.
* Pero si es abierto, es unión de (algunos de los) elementos de la base, siempre.
* Luego, cada punto del conjunto está cubierto por algún elemento de la base, que a su vez está contenido en el conjunto.
* Si hallamos un tal elemento de la base que está contenido en el conjunto... pero a la vez no lo está, llegamos al absurdo buscado.
Siguiendo ese camino, dibujando los intervalos en un borrador, y especulando con lo que va pasando, vamos obteniendo esto:
(1) Supongamos que \( B\in\tau_Y \) (o sea, abierto en la topología subespacio \( Y \)).
(2) Entonces existe una familia \( \{M_j\}_{j\in J} \) de elementos básicos de \( \tau_Y \) tal que \( U=\bigcup _{j\in J}M_j \).
(3) En particular, existe \( j\in J \) tal que \( 0,5\in M_j \). Llamémosle \( M \) a este elemento \( M_j \), para seguir tu notación.
(4) Como la base de \( \tau_Y \) se obtiene intersecando intervalos abiertos (básicos de R) con \( Y \), tenemos que: existe \( (a,b) \) tal que \( M=Y\cap (a, b) \).
(Llegamos a lo que vos escribiste).
Vos lo hiciste con -0,5, y yo lo hice con 0,5... pero es lo mismo.
En resumen, tenemos estos hechos importantes, que conducirán a lo que buscamos:
\( 0,5\in M, M\subset B \) (pues \( M \) era uno de los \( M_j \) de la unión).
(5) Fijate que el intervalo \( (a,b) \) podría ser muy grande, y no nos sirve para el análisis que estamos haciendo. Necesitamos llegar a una contradicción, y para eso basta observar lo que pasa "localmente", o sea "cerquita" del punto 0,5.
(6) Entonces observamos que si \( 0< a'< 0,5 \) y si \( a< a' \), entonces \( M'=(a',b)\cap Y \) es un conjunto aún más pequeño, y que todavía está contenido en \( B \), pues: \( M'\subset M\subset B \).
Además, también sigue ocurriendo que \( 0,5\in M' \).
Así que tomaremos \( M \) ó \( M' \) como nuestro conjunto básico, según lo que nos convenga.
Voy a denotar a ambos con la misma \( M \)... mmmmm
Tenemos ahora que \( M=(a,b)\cap [-1,1] \) es un intervalo de números reales que contiene al elemento 0,5.
(Esto es un hecho elemental de los números reales, o sea: la intersección de dos intervalos que tienen un punto en común, es de nuevo un intervalo que contiene a ese punto común).
Pero observemos que el intervalo \( (a, 0,5] \) está contenido en \( M \), que a su vez está contenido en \( B \).
Esto quiere decir que \( B \) contiene elementos \( x \) que están entre \( a \) y \( 0,5 \), y mayores todavía que -0,5...
Esto es absurdo.
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Me paré en muchos detalles, por las dudas.
No sé si vos tenés que escribir tantos detalles.
En realidad, para no dar tantas vueltas, lo que conviene es ir comprendiendo cómo se trabaja con elementos básicos.
En este caso, lo que hicimos fue un análisis "localizado" del conjunto \( B \).
O sea, nos paramos en un punto \( x \) (x = 0,5) del que sospechamos que tiene un comportamiento anómalo, y a partir del cual hallaremos una contradicción.
(O sea, si B no es abierto, es por "culpa" del 0,5).
Cuando se hace un análisis "localizado", conviene hacerlo con elementos de la base tan "pequeños" como sea necesario.
Si uno tiene un elemento M de la base, contenido en B, que contiene el punto x, siempre puede encontrar un elemento básico N que siga cumpliendo lo mismo que M, pero que sea más chico que M.
Esto se infiere de las propiedades de las bases, y es una propiedad útil, pues en topología, muchas veces, conviene irse "tan cerca" como se pueda.
Después de todo, la topología tiene que ver con continuidad y procesos de límite.
Hay que acostumbrarse a manejar con soltura "entornos pequeños alrededor de un punto dado".
\( B\not\in{\tau_\mathbb{R}} \)
supongamos que \( [0.5,1)= \displaystyle\bigcup_{i\in{I}}{(a_i,b_i) } \)
\( \exists{i_o\in{I}}/0.5\in{(a_i_o,b_i_o)}\rightarrow{a_i_o<0.5<b_i_o}\rightarrow{[0.5,1)\subset{(a_i_o,b_i_o)}} \) absurdo
Esta parte es muy parecido a la anterior, y sospechosamente lo resolviste mucho mejor.
Quizás es porque la topología es la de R, y no la topología relativa...
Lo que hiciste mal es el último paso, porque eso no es cierto en general, y además el absurdo no sale así.
Lo que vos tenés es que \( (a_{i_o},b_{i_o})\subset B \), por la manera en que escribiste B, como unión de esos intervalos...
Pero entonces, como \( a_{i_o}< 0,5< b_{i_o} \), estás diciendo que los puntos del intervalo \( (a_{i_o},0,5] \) están contenidos en \( B \).
Pero en \( B \) no hay puntos que cumplan eso (y que estén "cerquita" del 0,5).
Ahí está el absurdo.
La idea es como antes.
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A ver si logro simplificar algunas cosas.
Si en vez de B, tuvieras solamente el conjunto \( C=[0,5,1) \), no haría falta hacer esos análisis que hice de irme tan "cerquita" del 0,5.
De hecho, cualquier intervalo hallado (a, b) en los razonamientos previos, con \( a< 0,5< b \) ya sirve, porque \( (a,0,5] \) queda contenido en
B, absurdo.
Acá, lo que "molesta" es que B es unión de dos pedazos, y uno no quiere "mezclar" el pedazo \( (-1,-0,5] \) con el pedazo \( [0,5,1) \).
Por eso, se hace un análisis un poquito más fino, y se buscan conjuntos básicos que no sean cualesquiera, sino lo bastante cercanos al 0,5, como para que me "pesquen" puntos del pedazo \( (-1,-0,5] \).
Lamento no haberlo explicado antes, que puede haber enturbiado las ideas de la demostración.
Pues en realidad la idea original es muy simple.
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En cuanto al conjunto \( E \), no sé qué te dice tu intuición, quizás si describieras un dibujo de la situación podría "creerte", jeje.
Lo que tenés ahí es el intervalo abierto (-1, 1), que es abierto en R, al que le has quitado la sucesión de los números de la forma 1/n, con n = 1, 2, 3, 4, ...
Cuando uno quita puntos que están "separados" entre sí una cierta distancia, lo que te queda entre dos de ellos es un "intervalo abierto" en la recta.
O sea que pareciera que sí, que es abierto, porque uno uniría los intervalos intermedios \( (1/n, 1/(n+1)) \), y eso te da un conjunto abierto.
Sin embargo no es abierto, pues hay un "problemilla" en el punto \( x=0 \), que es el límite de la sucesión 1/n.
Esto es un problema "sólo" cuando agregamos los elementos negativos, porque estamos agregando el intervalo \( (-1,0] \), que "intuitivamente" no es un conjunto abierto.
No hace falta probar que este intervalo no es abierto, pero usaremos esta información para demostrar que E no es abierto.
Razonamos con bases, como hasta ahora.
Como sospechamos que el culpable de arruinar el ejercicio es el x = 0, entonces analizamos lo que pasa ahí.
Supongamos que E es abierto en R.
En particular, existe un elemento básico \( (a, b) \) tal que \( 0\in (a, b) \) y tal que \( (a, b)\subset (-1,1) \).
Tenemos que \( a< 0< b \).
Como 1/n tiende a 0, sabemos que existe un n tal que \( 0< 1/n < b \). Con lo cual \( 1/n\in (a, b)\subset E \).
Pero \( 1/n\not\in E \), y esto es una contradicción.
Lo mismo pasará para el subespacio Y porque E está contenido en Y.
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Fijate que las cuentas salen de forma casi automática, una vez que uno se ha situado correctamente en el problema. (En este caso, apuntándole los tiros al x = 0).
Saludos
