Autor Tema: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)

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31 Marzo, 2012, 10:43 pm
Respuesta #480

alejandra

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jajajajajajajaja tanta demostración para luego escribir cualquier conclusión! jajajajaja ahora lo modifico!! Tendré en cuenta todo lo que me sugeriste en las demás demostraciones.  :laugh:
Profe una consulta, espero no molestar...
Prodía darme  un ejemplo de función finalmente cero, la definición apunta a que si tengo una regla de asignación que dice que la función me va a dar elementos enteros positivos hasta un tope y luego solo da todos ceros? Es eso verdad?
Por ejemplo en el ejercicio 7.5.f
Concluyo que el conjunto que se refiere es  \( \{0,1\}^\mathbb Z_+  \) pero...cómo incluyo esa funcion finalmente cero?  :-\

31 Marzo, 2012, 10:56 pm
Respuesta #481

argentinator

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Las funciones \( X^{Z_+} \) para cualquier conjunto \( X \) son las bien conocidas "sucesiones de elementos de X", o sea, si tenés una función

\( f\in X^{Z_+} \), quiere decir que \( f:Z_+\to X \), o sea, una función con dominio los enteros positivos e imagen en X.
Esto a su vez se puede visualizar como una sucesión (de hecho, ES una sucesión), pues si en vez de escribir \( f(1),f(2), \), etc., escribimos

\( (a_1,a_2,a_3,...) \)

donde \( a_j=f(j) \), todo \( j \),

entonces, lo que estamos diciendo en este ejercicio en particular con X = {0,1} es que hablamos de sucesiones de 0's y 1's.

Ahora una "función" finalmente 0, quiere decir que, si la miramos como "sucesión", hay un índice N a partir del cual la sucesión se hace 0 de ahí en adelante:

\( a_1,a_2,...,a_N,0,0,0,... \)

Esto ahora visto de nuevo como "función", se dice así:

\( \exists{N\in Z_+}:(\forall{j> N}:f(j)=0). \)

_________

Siempre conviene "mirar" a las funciones con dominio \( Z_+ \) como sucesiones, y viceversa.
Matemáticamente es "exactamente" lo mismo.
La única diferencia es la "intuición" que se obtiene en la "manera en que se escribe".

Es decir, la sucesión es una manera de escribir la función de modo que nos recuerde a una "lista ordenada de objetos".
Pero eso es sólo una ayuda intuitiva.
Técnicamente, una sucesión es una función con dominio \( Z_+ \).

Por otro lado, una función de un conjunto A en {0,1} conviene pensarla también como la "función característica" de un cierto subconjunto B de A.

En efecto, si \( f=\chi_B:A\to\{0,1\} \), se tiene que

\( \chi_B(x)=1 \) si y sólo si \( x\in B \), y
\( \chi_B(x)=0 \) si y sólo si \( x\not\in B \).

A su vez, si \( f \) es una función \( f:A\to\{0,1\} \), entonces es la característica de algún subconjunto B de A, pues basta definir:

\( B=\{x\in A:f(x) =1\} \)

y luego es trivial verificar que \( f=\chi_B \) (o sea, \( f(x) = \chi_B(x) \) para todo \( x\in A \)).

_____________

Una función finalmente cero en el ejercicio citado, es una sucesión de 0's y 1's (corregido) enteros positivos que son finalmente 0 en el sentido arriba explicado, o sea, esas funciones son elementos de \( \{0,1\}^{Z_+} \) que son 0 "a partir de un cierto índice N dado".







01 Abril, 2012, 01:28 am
Respuesta #482

argentinator

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Hago una corrección a lo último que escribí:

Citar
Una función finalmente cero en el ejercicio citado, es una sucesión de enteros positivos que son finalmente 0 en el sentido arriba explicado

Lo correcto es decir que "es una sucesión de 0's y 1's".

Disculpá el error, espero no te haya confundido.

05 Abril, 2012, 04:13 pm
Respuesta #483

alejandra

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Hola  :D

Tratando de resolver los ejercicios complementarios: el buen orden surgió una duda.

El ejercicio pide:
Si E es un conjunto bien ordenado, demuestre que ninguna seccion de E tiene el tipo de orden de E, ni dos secciones diferentes de E tienen el mismo tipo de orden.

Demostración:

Sea E el conjunto bien ordenado, y \( \ S_x \) debo probar que no existe funcion biyectiva de E a \( \ S_x \) tal que si dos elementos de E estan relacionados bajo una relacion en E la imagen de estos dos elementos esten relacionados bajo la relacion de \( \ S_x \).

Observé, que no existe una funcion inyectiva entre E y \( \ S_x \) pero si de \( \ S_x \) a E, así concluí que el \( \ |E|\geq{|S_x|} \) entonces no existe una funcion biyectiva, así no tienen el mismo tipo de orden.

Jaja, está bien? ¿Alguna sugerencia para hacer la segunda parte?

Desde ya muchas gracias.  :)

05 Abril, 2012, 04:48 pm
Respuesta #484

argentinator

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Al hablar sólo de biyecciones estás demostrando sólo hechos de cardinalidad.

Una sección de un ordinal E bien puede tener el mismo cardinal que E.

Por ejemplo, si \( E=\omega +\omega  \), entonces la sección \( S_\omega  \) tiene el mismo cardinal que E, y así existen biyecciones entre ambos conjuntos.

Para trabajar con el tipo de orden, lo que hay que hacer es usar justamente la relación de orden, pues de otro modo es casi imposible demostrar propiedades "ordinales".

Así, podrías suponer que existe un isomorfismo ordinal (que en particular es una biyección) y luego arribar a alguna contradicción.

Para probar que no tienen el mismo tipo de orden, hay que trabajar con biyecciones que conservan (o no) el orden.
Aquí hay que usar el principio de buena ordenación.
Si \( \phi :S_x\to E \) es un isomorfismo ordinal, en particular es una biyección, y además \( \alpha <\alpha ' \) implica \( \phi (\alpha )<\phi (\alpha ') \).

Aquí el orden es el mismo en ambos conjuntos porque la sección está contenida en E y hereda el orden de E.

05 Abril, 2012, 05:01 pm
Respuesta #485

argentinator

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05 Abril, 2012, 05:03 pm
Respuesta #486

alejandra

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Citar
Si \( \phi :S_x\to E \) es un isomorfismo ordinal, en particular es una biyección, y además \( \alpha <\alpha ' \) implica \( \phi (\alpha )<\phi (\alpha ') \).

Aquí el orden es el mismo en ambos conjuntos porque la sección está contenida en E y hereda el orden de E.


Había, en un principio supuesto algo parecido, pero despues dudé, pues el ejercicio me pide mostrar que ninguna seccion tiene el mismo tipo de orden. Si uso el teorema de buen orden llego a una contradiccion de lo que tengo que mostrar, pues...

Cualquier sección de E es subconjunto del mismo y por el teorema me aseguro que le induce la relación de buen orden.Entonces?

mmm, no debo entonces estar comprendiendo lo que me piden hacer. :'(

05 Abril, 2012, 05:07 pm
Respuesta #487

argentinator

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Cualquier sección de E es subconjunto del mismo y por el teorema me aseguro que le induce la relación de buen orden.Entonces?

Claro, en la sección tenés que considerar el orden inducido o heredado que obtiene por ser subconjunto de E.

05 Abril, 2012, 05:39 pm
Respuesta #488

argentinator

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Creo que primero convendría probar (si es que no figura ya como teorema o ejercicio previo) que la imagen de un isomorfismo ordinal de una sección es de nuevo una sección.

Sean D, E conjuntos bien ordenados, y sea \( h \) un isomorfismo ordinal de D en E.
Sea \( x \) un elemento de D, y sea \( S_x \) la sección correspondiente.
Mostraremos que \( h(S_x)=S_{h(x)} \).

En efecto, sea  \( z=h(x) \) la imagen en E de x.
Si \( \beta < z \) entonces \( \alpha =h^{-1}(\beta )<x \), porque tanto h como su inversa conservan el orden.
Esto muestra que \( \beta \in h(S_x) \).

Además, si \( \beta \geq z \), entonces \( \alpha \geq x \), otra vez porque h y su inversa conservan el orden, y así \( \beta \not\in h(S_x) \).

En conclusión, \( h(S_x)=S_z=S_{h(x)} \), con lo cual hemos probado que la imagen de una sección en D es una sección en E.

__________________

(Lo que sigue está mal, no sale así). Después de probar este resultado, usando ahora que \( x\in E \), vemos que la sección \( S_x \) no es todo E, puesto que \( x \) mismo no está en \( S_x \).
La imagen de \( x \) es algún elemento \( z=\phi (x)\in E \), y de nuevo \( S_z \) no es todo E, porque no contiene al elemento \( z \).
Sin embargo, la imagen de \( S_x \) por \( \phi  \) es la sección \( S_z \), que ya sabemos que no es todo E.

Esto demuestra que ninguna sección de E tiene el mismo tipo de orden que E.


_________________

Es importante señalar que puede haber subconjuntos de E con el mismo tipo de orden que E, pero dichos subconjuntos no serán Secciones de E, por lo que acabamos de probar.

Por ejemplo, el conjunto de los números impares tiene el mismo tipo de orden que el conjunto "E" de los números naturales.



05 Abril, 2012, 06:25 pm
Respuesta #489

alejandra

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la verdad...muchas gracias por ayudarme!

Saludos