Autor Tema: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)

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23 Diciembre, 2010, 02:46 am
Respuesta #460

argentinator

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Ejercicio 7.8
Sea \( X=\{0,1\} \); \( B \) el conjunto de los subconjuntos numerables de \( X^{\omega} \). Demuestre que \( X^{\omega} \) y \( B \) tienen el mismo cardinal.
Demostración:
Ni idea profe

Si S es un elemento de B, entonces S es subconjunto numerable de \( X^\omega \).
Digamos \( S=\{\sigma_j\}_{j=1}^\infty \).
Cada \( \sigma_j \) es de la forma \( \sigma_j={\sigma_{jk}\}_{k=1}^\infty \).

Formemos a partir de S un elemento s de \( X^\omega \) mediante la siguiente asignación:
\( s=(s_1,s_2, s_3,...) \)
donde:
\( s_{2^j(2k-1)}=\sigma_{jk} \).

Esto produce la biyección buscada.

23 Diciembre, 2010, 07:29 am
Respuesta #461

enloalto

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Ejercicio 7.8
Sea \( X=\{0,1\} \); \( B \) el conjunto de los subconjuntos numerables de \( X^{\omega} \). Demuestre que \( X^{\omega} \) y \( B \) tienen el mismo cardinal.
Demostración:
Ni idea profe

Si S es un elemento de B, entonces S es subconjunto numerable de \( X^\omega \).
Digamos \( S=\{\sigma_j\}_{j=1}^\infty \).
Cada \( \sigma_j \) es de la forma \( \sigma_j={\sigma_{jk}\}_{k=1}^\infty \).

Formemos a partir de S un elemento s de \( X^\omega \) mediante la siguiente asignación:
\( s=(s_1,s_2, s_3,...) \)
donde:
\( s_{2^j(2k-1)}=\sigma_{jk} \).

Esto produce la biyección buscada.

Wow!!!!!! :aplauso: :aplauso: la verdad nunca se me hubiera ocurrido. Pero imagino que debe haber una forma buscando inyecciones para usar el teorema de Schroder Berenstein.
Llovizna queriendo ser lluvia de verano

23 Diciembre, 2010, 08:59 pm
Respuesta #462

enloalto

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  • Ejercicio 7.9
    • (a) La fórmula
      \( (*)\qquad h(1)=1,\qquad h(2)=2,\qquad h(n)=[h(n+1)]^2-[h(n-1)]^2,\quad  n\geq2 \)

      no es una a la cual se aplica el principio de definición recursiva.
      Muestre que no existe una función \( h:\mathbb{Z}_+\to\mathbb{R} \) que satisface esta fórmula.
      Ayuda: Reformule \( (*) \) tal que el principio pueda aplicarse y requiera que \( h \) sea positiva.
    • (b) Muestre que la fórmula \( (*) \) de la parte (a) no determina \( h \) unívocamente.
      Ayuda: Si \( h \) es una función positivia que satisface \( (*) \), hacer \( f(i)=h(i) \) para \( i\neq3 \), y \( f(3)=-3 \).
    • Muestre que no hay una función \( h:\mathbb{Z}_+\to\mathbb{R} \) que satisface la fórmula

      \( h(1)=1,\qquad h(2)=2,\qquad h(n)=[h(n+1)]^2-[h(n-1)]^2,\quad n \geq2. \)

(a) Hallemos \( h(3) \), por la definición de la fórmula se tiene
\( h(2)=[h(3)]^2-[h(1)]^2\Rightarrow{2=[h(3)]^2-1}\Rightarrow{[h(3)]^2=3} \) de donde tenemos dos valores para \( h(3) \) lo que contradice el hecho de que \( h(i) \) debe estar unívocamente determinado para los enteros menores que \( i \). Pero si exigimos que \( h \) sea positiva, se tendría que \( h(3)=\sqrt[ ]{3} \). Reformulando \( h \) se tiene
\( h(n)=\sqrt[ ]{h(n-1)+[h(n-2)]^2} \), para \( n\geq{3} \)

(b) no lo entiendo, creo que ya lo hice en(a)
(c) debe ser
\( h(1)=1,\qquad h(2)=2,\qquad h(n)=[h(n+1)]^2{\color{red}+}[h(n-1)]^2,\quad n \geq2. \)
Llovizna queriendo ser lluvia de verano

29 Diciembre, 2010, 10:17 am
Respuesta #463

iguanodon

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Hola! Hago mi primera consulta:


Ejercicio: pag.114  6) Denotemos por \( A, B, A_\alpha \) subconjuntos de X. Pruebe:

a)Si \( A \subset B \Longrightarrow{ }\overline{A}\subset\overline{B} \)
b)\( \overline{A \cup B} = \overline{A}\cup\overline{B} \)
c)\( \cup \overline{A_\alpha} \subset \overline{\cup A_\alpha} \).  Dé un ejemplo donde no se de la igualdad


Solución:
a)
No sé cómo empezar. Parece fácil pero no se como empezarlo. No me importaría tener una pequeña pista...

b)

\( \subset \)

Sea \( x\in{\overline{A \cup B}} \Longrightarrow  \forall{} U \) entorno de x, se tiene que \( U\cap[A \cup B]\neq\emptyset \Rightarrow [U \cap A] \cup [U \cap B] \neq\emptyset  \forall{}  \)U entorno de x, luego \( x\in{\overline{A} \cup \overline{B}} \)

\( \supset{} \)

No creo que esté bien, pero ahí va mi intento:

Supongamos que \( x\notin\overline{A \cup B} \). Entonces \( \exists{} U  \)entorno de x tal que \( \emptyset = U \cap [A \cup B] = [U \cap A] \cup [U \cap B]  \)de donde \( [U \cap A]=\emptyset=[U \cap B] \Rightarrow x\notin\overline{A},x\notin\overline{B}\Rightarrowx\notin \overline{A} \cup \overline{B} \)


c)

Sea \( x\in{}\cup \overline{A_\alpha}.  \)Entonces \( \exists{} \alpha _i  \)tal que \( x\in{\overline{A_\alpha_i}}  \)luego \(  \forall{} U  \)entorno de x, \( U \cap A_\alpha_i  \neq \emptyset. \)
Sea V entorno de x. Entonces \( V \cap [ \cup A_\alpha] = \cup (V \cap A_\alpha)\neq\emptyset  \)porque \( U \cap A_\alpha_i  \neq \emptyset  \)para todo U entorno de x (en particular, para V). Luego \( x\in{} \overline{\cup A_\alpha} \)

Todavía estoy buscando el ejemplo donde no se de la igualdad pero no doy con él... ¿Quizás haya que considerar subespacios o irse a una topología "rara"?

Espero que algo por lo menos esté bien... Muchas gracias!

29 Diciembre, 2010, 02:05 pm
Respuesta #464

argentinator

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No sé por qué usás demostraciones tan complicadas en términos de entornos.
La definición de "clausura" que hace Munkres es una intersección de cerrados.

(a) Se sabe que \( E\subset \bar E \) para todo E.
Así que \( B\subset \bar B \).
Por lo tanto \( A\subset \bar B \).
Como \( \bar B \) es cerrado, y contiene a \( A \),
ha de contener al mínimo cerrado que contiene a \( A \), que es...

(b) \( \subset{} \) Tendrías que probar que para todo entorno U de x, la intersección con A es no vacía, o bien la intersección con B es no vacía. Pienso que tu prueba es errónea.

A mí me gusta más así: \( A\cup B\subset \bar A\cup\bar B \), que es un conjunto cerrado que contiene a \( A\cup B \). Luego, por definición de "clausura", contiene a \( \overline{A\cup B} \)

\( \supset{} \) Parece que está bien, pero hacia el final está mal escrito.

(c) Está ok, creo.

Para el contraejemplo, hay que notar que no se puede hacer una generalización como en (b), ya que la unión infinita de cerrados no es siempre cerrado.

Podríamos tomar \( A_\alpha = (\alpha, \infty) \) en R, con \( \alpha  >0 \).


06 Febrero, 2011, 12:55 am
Respuesta #465

algebra1

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Ejercicio 4.9
(b) Si \( x\not\in{\mathbb{Z}} \), demuestre que existe exactamente un \( n\in{}\mathbb{Z} \) tal que \( n<x<n+1 \).
Supongo lo contrario, es decir que para todo \( n\in\mathbb{Z} \) \( n\geq x \) o \( x\geq n+1 \), como \( x\geq n+1 \) no es posible, entonces para todo \( n\in{}\mathbb{Z} \) \( n\geq x \), es decir que el conjunto \( \mathbb{Z} \) es acotado inferiormente lo que no es cierto. Por tanto existe un \( n\in{}\mathbb{Z} \) tal que \( n<x<n+1 \). La unicidad no veo como probarlo.

Otra manera que encontré es la siguiente. Como \( x\in \mathbb{R} \), entonces por la propiedad arquimedeana de los números reales, existe un \( n\in{\mathbb{Z}} \) tal que \( x<n \), luego el conjunto \( A_x=\{n\in\mathbb{Z};x<n\} \) es no vacío y por el principio del buen orden posee elemento mínimo(que es único), sea este \( m_x=1+n_x \). Luego \( n_x\not\in{A} \), entonces \( n_x\leq x<m_x=n_x+1 \), pero como \( x\in{\mathbb{Z}} \), no puede suceder que \( n_x=x \), por lo que
\( n_x< x<n_x+1 \)

El enunciado está incorrecto, debe decir algo como: \( n\leq x <n+1 \).

La primer demostración que hiciste me parece más clara.
Pero usaste que Z no está acotado. ¿Eso está probado? Igual, eso es fácil de probar, tomando el "supremo" de Z...

En cuanto a la unicidad, creo que sale de la mera linealidad del orden.
Si hubiera dos enteros distintos m, n, con la propiedad indicada,
podemos suponer que m < n.
Por tricotomía vale que  \( m + 1 < n \), o bien \( m +1 = n \).

Luego, \( m \leq x < m+1 \leq n \leq  x < n+ \)1.
Esto da x < x, absurdo.

Hola argentinator, tengo unas dudas al principio cuando enloalto dice \( x\not\in{\mathbb{Z}} \) entonces x es un real?, segundo cuando dice: como \( x\geq n+1 \) no es posible, no es posible qué? 3) cómo veo que Z no es acotado, 4) cuando dices: podemos suponer que m < n.
Por tricotomía vale que  \( m + 1 < n \), o bien \( m +1 = n \)., no entiendo lo que dices por tricotomia vale que \( m + 1 < n \)

06 Febrero, 2011, 03:28 am
Respuesta #466

argentinator

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Si x no es entero, entonces se supone que es un real no entero.
El contexto es el de números reales.

Hay que prestar atención a lo que dice todo el ejercicio.
Los enunciados están en la sección de Dictado.

Lo que dice es que "como \( x\geq n+1 \) no es posible", entonces ocurre el otro caso y bla bla bla.

Lo que no es posible es eso, que \( x\geq n+1 \).
Eso es por lo que dice en el renglón anterior sobre el intervalo en que se halla x.

Z es no acotado porque contiene a N que es un conjunto no acotado.
Así que basta ver  que N no es acotado.
Para demostrar esto, se supone que N tiene cota, luego por ser N subconjunto acotado de R, tiene supremo. Ese supremo lo llamamos s. Obviamente s es no natural...

Para todo t < s existe un número natural m tal que t < m <s.
En particular, existe un tal m tal que s-1< m < s, luego s < m+1, pero m+1 está en N, absurdo, porque s es supremo de N.

Cuando tomo m < n es porque son letras genéricas, da igual lo que suponga.
Si supongo n < m, el análisis es el mismo, se repite todo pero intercambiando las letras m y n entre sí.
Son las únicas dos posibilidades, por tricotomía, ya que hemos tomad \( m\neq n \).

Por tricotomía sólo hay tres posibilidades: m+1 < n, m+1 = n  ó m+1 > n.
La última opción se descarta porque \( m+1\leq (n-1)+1 = n \), ya que hemos tomado m < n, siendo m, n naturales.


06 Febrero, 2011, 03:43 am
Respuesta #467

algebra1

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Hola argentinator, mil disculpa por molestarte, ahora si quedo claro en la mayoría de las cosas, por último aquí ¿a cuál renglón te refieres? "Eso es por lo que dice en el renglón anterior sobre el intervalo en que se halla x", cuando suponemos lo contrario tenemos las desigualdades que coloco enloalto, pero dónde vive x ???

Saludos y muchas gracias

06 Febrero, 2011, 05:53 am
Respuesta #468

argentinator

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07 Junio, 2011, 05:08 am
Respuesta #469

javier m

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hola, una pregunta: ¿que nivel en matemáticas es necesario para aventurarse a leer el curso?

saludos.