[morito14]

Respuesta 2.4
a)
Supongamos \( a\in\left(g\circ f\right)^{-1}\left(C_{0}\right)\Rightarrow a\in A\Rightarrow f\left(a\right)\in B\Rightarrow g\left(f\left(a\right)\right)\in C \), tal que \( g\left(f\left(a\right)\right)\in C_{0}\subset C \). La preimagen de \( C_{0} \) se define como \( g^{-1}\left(C_{0}\right) \) y por definición está en \( B \). Luego \( f\left(a\right)\in g^{-1}\left(C_{0}\right)\Rightarrow a\in f^{-1}\left(g^{-1}\left(C_{0}\right)\right) \).

Cómo ve Profesor, éstos demostraciones están correctas o me hace falta estudiar más antes de seguir contestando los ejercicios?

[argentinator]

Tienes razón, hice un completo desmadre.

Creo que así va el b

Supongamos
\( x\in f^{-1}\left(B_{0}\cup B_{1}\right)\Rightarrow x\in A\: tal\: que\: f\left(x\right)\in\left(B_{0}\cup B_{1}\right)\Rightarrow f\left(x\right)\in\left(B_{0}\right)\: o\: f\left(x\right)\in\left(B_{1}\right), \)
por la definición de preimagen \( x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\: o\: x\in f^{-1}\left(B_{1}\right) \)

Cómo la ves ahora?

Muy bien, este está pefecto.
Era cuestión de "ponerle más cariño" al asunto, nada más, parece.

Sólo te faltó el remate:

* "Por lo tanto \( x\in f^{-1}\left(B_{0}\right) \cup  f^{-1}\left(B_{1}\right) \)".

[argentinator]

y ésta sería mi respuesta para el a)
a

Supongamos \( f\left(x\right)\in B_{0} \), por la definición de preimagen, \( \Rightarrow x\in f^{-1}\left(B_{0}\right) \). Dado que \( B_{0}\subset B_{1}\Rightarrow f\left(x\right)\in B_{1}\Rightarrow x\in f^{-1}\left(B_{1}\right) \)

Este está muy bien razonado.
Sólo le falta un poco más de precisión, que ahora te explico.

Si empiezas diciendo: "supongamos que \( f(x)\in B_0 \)", no tiene sentido.
¿Por qué? Porque nunca has dicho qué cosa es \( x \).

Fijate que el significado de \( f,B_0,B_1 \), etc. está dado ya en alguna parte, al menos en el enunciado del ejercicio. ¿Pero \( x \)?
Es sólo una letra que no se sabe qué significa.

Uno al leerlo lo entiende, pero trata de imaginarte que esto mismo se lo tienes que explicar a una computadora, y no a una persona. ¿Podrá adivinar la máquina qué representa "x"?
Claro que no.

La "formalidad" en una demostración busca que la misma sea bastante "maquinal".
Esa es la idea de fondo.

Y eso amerita que "nada se puede adivinar" en una demostración.
Con la práctica, y el acostumbramiento a la jerga en cierto tema, la gente empieza a abreviar y quitar pedazos de demostraciones o de definiciones, pero eso viene después de la mucha práctica, no antes.

Bien. El comienzo correcto en tu demostración necesita decir quién es x, así que mejor se empieza por la hipotesis de lo que se desea probar.

Estás queriendo probar una inclusión, así que decimos:

Sea \( y\in B_0 \).
(Luego/entonces/por lo tanto) existe \( x\in f^{-1}(B_0) \) tal que \( f(x)=y \).
Esto implica que \( f(x)\in B_0 \).

Y después se puede seguir con tus pasos.


Mi sensación es que "te queda incómodo" trabajar en el conjunto imagen de una función, y entonces das unas vueltas enredadas, tratando de que la cosa se aclare.

Pero mi consejo es que "no le tengas miedo" al contexto.

Una prueba de que "un conjunto está incluido en otro" se hace "siempre de la misma forma".
Si hay que probar que \( C\subset D \), hay que empezar diciendo
"Sea \( z\in C \), luego bla bla bla bla bla, y  por lo tanto \( z\in D \)".

Eso no cambia. Tenés que confiar en la lógica.
Después en el camino vas agregando todo lo que haga falta para completar la demostración, pero el objetivo es siempre el mismo y no cambia.

Cuando se prueban igualdades de conjuntos, es lo mismo, sólo que ahora se deben demostrar dos inclusiones, una para un lado y otra para el otro lado.

Fijate que "las inclusiones" van corriendo paralelas a "las implicaciones".

Un truquillo para probar igualdades de conjuntos más rápido es aprovechar este otro:
"Las igualdades de conjuntos" van corriendo paralelas a los "si, y sólo si", o sea, flechas de doble implicación.

Pero eso sólo funciona cuando la prueba es fácil.

[argentinator]

Respuesta 2.4
a)
Supongamos \( a\in\left(g\circ f\right)^{-1}\left(C_{0}\right)\Rightarrow a\in A\Rightarrow f\left(a\right)\in B\Rightarrow g\left(f\left(a\right)\right)\in C \), tal que \( g\left(f\left(a\right)\right)\in C_{0}\subset C \). La preimagen de \( C_{0} \) se define como \( g^{-1}\left(C_{0}\right) \) y por definición está en \( B \). Luego \( f\left(a\right)\in g^{-1}\left(C_{0}\right)\Rightarrow a\in f^{-1}\left(g^{-1}\left(C_{0}\right)\right) \).

Acá lo que veo es que el exceso de hipótesis te da inseguridad de que los pasos intermedios estén correctos o tengan sentido.
Ese temor es bueno, pero en todo caso conviene aclarar todas las posibles dudas en un trabajito preliminar a la demostración.

Por ejemplo, podrías calcular o decir cosas sobre los dominios e imagenes y preimagnes de las funciones f, g, asegurarte de que están bien definidas, y que su composición \( f\circ g \) está bien definida controlando que "calcen" bien los conjuntos de salida y llegada de las funciones...

Pero eso va antes.
Cuando empezamos con la demostración de la inclusión, tiene que estar más limpia, si no, se arma una gran confusión.

Como te he dicho antes, tenés que tener en cuenta dos cosas:

* "Partir confiadamente del punto en donde el ejercicio te obliga a empezar como hipótesis".
* Tener claro cuál es la conclusión a la que se desea llegar.
* Y confiar en que la lógica misma nos va a llevar por buen camino en los pasos intermedios.

cuando no se sabe qué hacer, lo más fácil es reemplazar una premisa por otra equivalente, o un símbolo por su definición.
No hay mucho más que eso en teoría de conjuntos, las cuentas tienen que salir, muchas cosas son sistemáticas.
Otra cuestión importante es que no hay que forzar los pasos de una demostración.

En cada premisa que uno escribe hay que preguntarse:
* ¿Todas las letras y símbolos de esta premisa que he escrito están ya bien definidos de antemano? ¿Están combinados de forma correcta? ¿Las variables pertenecen al domino de la función que estoy considerando? Etcetera

Cuando se pasa de una premisa a otra por una implicación, hay que preguntarse:
* ¿Es cierto que suponiendo \( p \) se implica la verdad de \( q \)?

No hay muchos más misterios.

..............................................

Te pediría que trates de hacer de nuevo el ejercicio 2.4(a), de una forma menos enredada, y más limpia. Las ideas que has puesto en el medio sobre la g y su inversa van bien.
Pero busquemos más claridad en los pasos.

Después yo te ayudo a reescribirlo mejor, si hiciera falta.

---------------

Con el 2(b) has mostrado que eres capaz de escribir muy bien estas demostraciones.
Creo que sólo te falta seguir insistiendo con más práctica.

[morito14]

y ésta sería mi respuesta para el a)
a

Supongamos \( f\left(x\right)\in B_{0} \), por la definición de preimagen, \( \Rightarrow x\in f^{-1}\left(B_{0}\right) \). Dado que \( B_{0}\subset B_{1}\Rightarrow f\left(x\right)\in B_{1}\Rightarrow x\in f^{-1}\left(B_{1}\right) \)

Sea \( y\in B_0 \).
(Luego/entonces/por lo tanto) existe \( x\in f^{-1}(B_0) \) tal que \( f(x)=y \).
Esto implica que \( f(x)\in B_0 \).

Es cierto lo que dices, todavía estoy un poco incómodo con la imagen y preimagen. Pero bueno, le haré frente hasta que esté cómodo.

De hecho acá me queda una duda (2.2 a)
Sea \( y\in B_0 \). (Luego/entonces/por lo tanto) existe \( x\in f^{-1}(B_0) \) tal que \( f(x)=y \).

Tal vez no le estoy entendiendo bien al concepto de preimagen, pero no me queda claro que el hecho de que exista \( y\in B_0 \) garantice que exista existe \( x\in f^{-1}(B_0) \). No podría ser la preimagen un conjunto vacío?

Vamos a ver, en términos bastante coloniales, tengo mi función f: A mapeando en B. Si tomo un subconjunto de A (Ao), la imagen de este subconjunto son los elementos de B que cumplen f(Ao). De igual forma, si tomo un subconjunto de B (Bo) y me los regreso a A con la inversa \( f^{-1}(B_0) \), esos puntos en A son la preimagen, no?

Entonces acá cuando asumimos que existe y eso implica que existe x tal como lo defines?, o también tendríamos que asumir que existe ese x elemento de la preimagen y luego seguir con los otros pasos?

Espero que no te sea incómodo que te hable tan informalmente, siento que si lo puedo decir así lo entiendo un poco más.

[argentinator]

Tal vez no le estoy entendiendo bien al concepto de preimagen, pero no me queda claro que el hecho de que exista \( y\in B_0 \) garantice que exista existe \( x\in f^{-1}(B_0) \). No podría ser la preimagen un conjunto vacío?

Bueno, me parece que acá me equivoqué en grande.

Lo que hice mal fue mirar el razonamiento que habías puesto, pero no me fijé en cuál era en realidad el ejercicio.

Así que tenés razón.
Lo que te corregí estaba mal corregido.

Me disculpo por la confusión que te habré causado.

A ver, empecemos de nuevo.

Hipotesis del ejercicio: \( B_0\subset B_1 \).
Equivalencia, por definición de inclusión: \( x\in B_0\Rightarrow{x\in B_1} \)

Se desea probar: \( f^{-1}(B_0)\subset f^{-1}(B_1) \).
Equivalencia, por definicion de inclusión: \( \forall{x:}(x\in f^{-1}(B_0) \Rightarrow{}x\in f^{-1}(B_1)) \).

Así que probemos eso último.

1) Sea \( x\in f^{-1}(B_0) \).
2) Por definición del conjunto \( f^{-1}(B_0) \), se deduce que \( f(x)\in B_0 \).
3) Por hipotesis, \( B_0\subset B_1 \).
4) Por (2) y (3), se deduce que \( f(x)\in B_1 \).
5) Por definición de preimagen, (4) implica que \( x\in f^{-1}(B_1) \).

Bajo la hipótesis (1) se ha demostrado (5).
O sea, se ha probado la validez de la implicación: \( x\in f^{-1}(B_0)\Rightarrow{x\in f^{-1}(B_1)} \).
Pero además eso se ha probado para todo x, sin excepción...
O sea, es verdadero que:

\( \forall{x:}(]x\in f^{-1}(B_0)\Rightarrow{x\in f^{-1}(B_1)}) \)

Ahora aplicamos definición de inclusión, y obtenemos \( f^{-1}(B_0)\subset f^{-1}(B_1) \).


Fijate que acá puse el resumen de la teoría de funciones, sección 2, y está explicado o definido qué son la imagen y la preimagen.
Lo que amerita un cuantificador "existencial" es la imagen.
Yo me había equivocado cuando te corregí. En la definición de preimagen no se pone eso.

Ahí va el link por las dudas:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,28733.msg113147.html#msg113147


Ahora viene otra duda tuya, respecto los conjuntos vacíos.

En teoria de conjuntos es muy común que aparezcan implicaciones vacías.
Se suele decir: "Sea \( x\in\emptyset \), entonces..."

¿Es esto válido?

Esta es una gran cuestión molesta en la teoría.
Lo que se puede hacer es separar las demostraciones en dos casos: uno, el caso en que el conjunto considerado es vacío, y otro, cuando no es vacío.
Eso puede ayudar a aclarar las cosas, y a que las demostraciones no tengan dudas.

Sin embargo, desde un punto de vista lógico, no hay inconveniente en tomar elementos en un conjunto vacío... ¿Por qué?

Hay que recordar lo que significa la operación de "implicación".
Es un "operador lógico". Fijate en la tabla de verdad que puse en la teoría.
Ahí, la tabla tiene 4 entradas, para operandos p,q.
La implicación \( p\Rightarrow{q} \) es verdadera casi siempre: cuando p, q son ambas verdaderas, y cuando el antecedente p es falso.

El unico caso que es falso es cuando el antecedente p es verdadero y el consecuente q es falso.

¿Qué significa esto?
Lo que significa es que la implicación es una "operación de inferencia", una "parte de un razonamiento", pero no es un "validador" de premisas.

Puede que las premisas sean falsas, y que "el razonamiento aún sea correcto".
Justamente, en ese tipo de cosas se basa el método de reducción al absurdo.
Uno parte de algo falso, para demostrar la negación de algo verdadero...

No tiene nada que ver que las premisas sean falsas o verdaderas, lo que ¡mporta es que el razonamiento sea correcto.

Abajo, en la misma teoría, expliqué la definición de razonamiento correcto.
En un razonamiento, sí que se exige que todas las premisas sean verdaderas.
Se exigen dos cosas en el razonamiento Modus Ponens: que el razonamiento sea correcto, o sea que \( p\Rightarrow{q} \) sea siempre verdadero para las premisas consideradas.
Y también se exige que la premisa inicial p sea verdadera.

Luego, el razonamiento permite concluir la verdad de q.

O sea que no es lo mismo una "implicación" que un "si... entonces...".

El "Si ... entonces..." tiene esta estructura:

* Demostrar que son ciertas \( p \), y también \( p\Rightarrow{q}. \)
* Se concluye que \( q \) es cierta.

No se pone un símbolo de \( \Rightarrow{} \) en un "Si ... entonces...", son cosas distintas.

Espero no estar confundiéndote con esto, pero ahí radica la cuestión.

Si uno dijera algo como "Si \( x\in A \), entonces \( x\in B \)...", ese razonamiento sólo sería válido si A no fuera un conjunto vacío.
Si A estuviera vacío, directamente el razonamiento no se aplica.
Porque en este caso podría ser que la implicación \( x\in A\Rightarrow{x\in B} \) sea cierta o demostrable, pero sin embargo la premisa \( x\in A  \) sería falsa, por ser A vacío.

[morito14]

Posteo todas las respuestas por si alguien las quiere comentar
2

(a) Sea \( x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\Rightarrow x\in A\Rightarrow f\left(x\right)\in B_{0} \), por hipótesis \( B_{0}\subset B_{1}\Rightarrow f\left(x\right)\in B_{1} \), por la definición de preimagen, \( \Rightarrow x\in f^{-1}\left(B_{1}\right)\therefore B_{0}\subset B_{1}\Rightarrow f^{-1}\left(B_{0}\right)\subset f^{-1}\left(B_{1}\right) \).

(b) Supongamos \( x\in f^{-1}\left(B_{0}\cup B_{1}\right)\Rightarrow x\in A\: tal\: que\: f\left(x\right)\in\left(B_{0}\cup B_{1}\right)\Rightarrow f\left(x\right)\in\left(B_{0}\right)\: o\: f\left(x\right)\in\left(B_{1}\right) \), por la definición de preimagen \( x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\: o\: x\in f^{-1}\left(B_{1}\right)\therefore x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\cup f^{-1}\left(B_{1}\right) \)

(c) Supongamos \( x\in f^{-1}\left(B_{0}\cap B_{1}\right)\Rightarrow x\in A\: tal\: que\: f\left(x\right)\in\left(B_{0}\cap B_{1}\right)\Rightarrow f\left(x\right)\in\left(B_{0}\right)\: y\: f\left(x\right)\in\left(B_{1}\right) \), por la definición de preimagen \( x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\: y\: x\in f^{-1}\left(B_{1}\right)\therefore x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\cap f^{-1}\left(B_{1}\right) \)

(d) Supongamos \( x\in f^{-1}\left(B_{0}-B_{1}\right)\Rightarrow x\in A\: tal\: que\: f\left(x\right)\in\left(B_{0}-B_{1}\right)\Rightarrow f\left(x\right)\in\left(B_{0}\right)\: y\: f\left(x\right)\notin\left(B_{1}\right)\therefore x\in\left(f^{-1}\left(B_{0}\right)-f^{-1}\left(B_{1}\right)\right) \)

(e) Supongamos \( x\in A_{0} \), entonces, \( f\left(x\right)\in f\left(A_{0}\right) \).Por hipótesis \( A_{0}\subset A_{1}\Rightarrow x\in A_{1} \), entonces, \( f\left(x\right)\in f\left(A_{1}\right)\therefore f\left(A_{0}\right)\subset f\left(A_{1}\right) \)

(f) Supongamos \( x\in f\left(A_{0}\cup A_{1}\right) \), por definición de función \( x\in f\left(A_{0}\right) \) o \( x\in f\left(A_{1}\right) \), por lo tanto \( x\in f\left(A_{0}\right)\cup f\left(A_{1}\right) \)

la g y la h son parecidas, pero no sé si esté correcto el razonamiento en la f por lo que mejor espero la aprobación del profe

[argentinator]

Voy a repetir tu mensaje, y le agrego en rojo lo que considero son correcciones.

(a) Sea \( x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\cancel{\color{red}\Rightarrow x\in A}\Rightarrow f\left(x\right)\in B_{0} \), por hipótesis \( B_{0}\subset B_{1}\Rightarrow f\left(x\right)\in B_{1} \), por la definición de preimagen, \( \Rightarrow x\in f^{-1}\left(B_{1}\right)\therefore B_{0}\subset B_{1}\Rightarrow f^{-1}\left(B_{0}\right)\subset f^{-1}\left(B_{1}\right) \).

(b) Supongamos \( x\in f^{-1}\left(B_{0}\cup B_{1}\right)\Rightarrow x\in A\: tal\: que\: f\left(x\right)\in\left(B_{0}\cup B_{1}\right)\Rightarrow f\left(x\right)\in\left(B_{0}\right)\: o\: f\left(x\right)\in\left(B_{1}\right) \), por la definición de preimagen \( x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\: o\: x\in f^{-1}\left(B_{1}\right)\therefore x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\cup f^{-1}\left(B_{1}\right) \)

(c) Supongamos \( x\in f^{-1}\left(B_{0}\cap B_{1}\right)\Rightarrow x\in A\: tal\: que\: f\left(x\right)\in\left(B_{0}\cap B_{1}\right)\Rightarrow f\left(x\right)\in\left(B_{0}\right)\: y\: f\left(x\right)\in\left(B_{1}\right) \), por la definición de preimagen \( x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\: y\: x\in f^{-1}\left(B_{1}\right)\therefore x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\cap f^{-1}\left(B_{1}\right) \)

(d) Supongamos \( x\in f^{-1}\left(B_{0}-B_{1}\right)\Rightarrow x\in A\: tal\: que\: f\left(x\right)\in\left(B_{0}-B_{1}\right)\Rightarrow f\left(x\right)\in\left(B_{0}\right)\: y\: f\left(x\right)\notin\left(B_{1}\right)\therefore x\in\left(f^{-1}\left(B_{0}\right)-f^{-1}\left(B_{1}\right)\right) \)

(e) Supongamos \( \cancel{\color{red}x\in A_{0}} \),
Supongamos que \( y\in f(A_0) \).
Entonces existe \( x\in A_0 \) tal que \( f(x)=y \).

entonces, \( f\left(x\right)\in f\left(A_{0}\right) \).
Por hipótesis \( A_{0}\subset A_{1} \). Entonces \( x\in A_{1} \),
entonces, \( f\left(x\right)\in f\left(A_{1}\right) \).
Pero teníamos \( y=f(x) \), \( \therefore f\left(A_{0}\right)\subset f\left(A_{1}\right) \)

Fijate qué tipo de corrección te hice en el (e):
Cambié lo más importante que son "cómo se empieza" y "cómo se termina".

Las ideas de tu razonamiento están muy bien en el (e), pero esta vez sí que había que "meter el cuantificador existencial". Esta vez sí que corresponde.
Fijate si no en la definición de imagen f(A) de una función: ahí aparece un cuantificador existencial.

El inciso (f) me parece que tendrías que revisarlo y hacerlo de nuevo.
Se va a necesitar un cuantifador existencial en algún lugar, imagino.

Los demás incisos me parece que están muy bien.

Otra cosa: te cambién un signo \( \Rightarrow{} \) por la palabra "Entonces" separando la oración con anterior con un punto.
Revisá lo que te expliqué sobre la diferencia entre "implicación" y "Si... entonces... ".
Son cosas distintas.

En el uso común, se suele decir una cosa por otra, y la gente no se queja.
O sea, se suele mezclar el uso de las palabras "implica" y la construcción "Si...entonces...".
Pero el uso del símbolo \( \Rightarrow{} \) ya queda feo.
Porque lo estás usando como una "abreviatura" de la frase "Si...entonces..."  y eso es más bien incorrecto.
El símbolo \( \Rightarrow{} \) es un operador lógico.
No estaría bien escribir, como has puesto:

"Por hipotesis \( \color{blue}A_{0}\subset A_{1}\Rightarrow x\in A_{1} \)".

Porque se entiende que todo lo que está en azul es lo que estás tomando como hipótesis.


Veo que te gusta poner muchas implicaciones encadenadas en una misma línea.
A la larga eso resulta cada vez más difíciles, porque las demostraciones se vuelven cada vez más complicadas.
Es cierto que una cadena de implicaciones puede ir toda junta, una a la derecha de otra en seguidilla.

Pero un "razonamiento" en una "demostración" no tiene por qué ir en ese orden.
Fijate cómo te puse el inciso (a) en pasos numerados.
Al numerar los hechos que uno va demostrando, puede más tarde invocarlos claramente sin riesgo de confusión.
Cuando quisiste invocar la hipótesis \( A_{0}\subset A_{1} \), y después conectar con una implicación lo que venía antes, con lo que viene después, se armó lío.

No hace falta poner una seguidilla de implicaciones así.
El Modus Ponens, que es el razonamiento que estamos empleando en estos ejemplos, no requiere que se trabaje de esa manera.

Modus Ponens: Si P entonces Q.

Procedimiento:

(1) Demostrar P, o darlo como hipótesis.
(2) Demostrar la implicación \( P\Rightarrow{Q} \)
----------------------------------------------------
(3) Q es verdadero

Ahora puede afirmarse: "Si P es cierto, entonces Q es cierto".
Y no es lo mismo que escribir \( P\Rightarrow{Q} \).
El símbolo de la "flechita" se traduce por "implica", pero no por "entonces".

La diferencia es sutil, pero se entiende más cuando recordamos que la flechita de "implica" es una operación más entre las 16 posibles del álgebra de Boole, Su valor es verdadero o falso.
O sea, dadas dos premisas P, Q, su resultado puede ser V o F.

Mientras que el "Si...entonces..." es un método de inferencia, y como tal, no es una operación booleana.
Su "resultado" no es V o F, sino que "produce" una premisa:
De las premisas "P" y "Q" da como resultado "Q".

Y además estamos seguros que Q es verdadera...

Hay que meditar mucho sobre qué significa "razonamiento válido" en lógica.
Pasan los años y todavía me hago preguntas sobre esto. 

[argentinator]

En cuanto al (f) te hago estos comentarios:

Si bien lo que has puesto "en el medio" está mal, has puesto al principio y al final la hipótesis y la conclusión correctas.

Parece algo menor, pero en realidad muestra que uno tiene claro de donde parte, y hacia donde quiere llegar.

Para las imagenes he usado la variable \( y \) en vez de la \( x \).
Eso no tiene importancia en sí mismo, pero veo que has usado una \( x \), y aunque formalmente no está mal, sospecho que "tu mente" anda mezclando imágenes con preimagenes.

[argentinator]

Posteo todas las respuestas por si alguien las quiere comentar

Me olvidé de algo importante.

En los incisos (b), (c), (d), se pide demostrar igualdades.
Y sólo has probado inclusiones, porque las implicaciones iban para un solo lado.

Fijate si podés probar las inclusiones hacia el lado opuesto.
No deberían diferir mucho.

A veces, si la cosa viene fácil, basta repetir todas las implicaciones puestas en orden inverso, desde el final hasta el principio.

Pero hay que ir mirando con cuidado que cada paso está bien.