Autor Tema: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)

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15 Enero, 2010, 01:25 am
Respuesta #20

argentinator

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\( \Longrightarrow{A\subset{(B\cup{C})} \)
Supongo que estas en 1.7, yo lo veo asi:

\( (A\cap{B})\subset{C} \)

A ver que dice el profe



No sé a qué se refieren con esto.

No tiene ningún sentido.  ::)


15 Enero, 2010, 01:29 am
Respuesta #21

morito14

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La verdad estaba empezando a escribir las respuestas para el ejercicio 1.3, pero se hizo tarde y dejé la computadora. Fue un error mio y se refiere a parte de un problema, pero no tienen ningún sentido pues está incompleto. Iré posteando poco a poco algunas respuestas para que las podamos discutir.

15 Enero, 2010, 01:29 am
Respuesta #22

argentinator

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Me refiero al ejercicio 1.3 a)

EDITO: OK. resuelto! un lapsus!! ... :)

Saludos

 :)


Sí, parece que no importa sin son verdaderas o falsas, sino sólo escribir las proposiciónes que se piden.

Saludos

15 Enero, 2010, 01:32 am
Respuesta #23

argentinator

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no tienen ningún sentido pues está incompleto

Me imaginé, pero lo que no entiendo es lo que dice Alejo.

Igual no hay problema. Sigan trabajando.
Ya les voy a ir subiendo los ejercicios de las secciones que siguen.

Saludos

15 Enero, 2010, 08:57 pm
Respuesta #24

vekito22

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bueno desearia de favor que las clases lo ponga en archivo pdf para imprimirlo y poderlo estudiar por que para estudiarlo en la pc duelen las vistas....solo pido eso nada mas ......

15 Enero, 2010, 10:05 pm
Respuesta #25

morito14

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Lo de poner las clases en pdf puedes hacerlo por tu cuenta, con adobe professional o novapdf.

Ahí van mis respuestas para algunos ejercicios (argentinador me ayudó con uno del 7).

Problema 2

[a)] {\( A\subset{B} \) y \( A\subset{C} \) \( \Longrightarrow{A\subset{(B\cup{C})}} \)}
[b)] {\( A\subset{B} \) o \( A\subset{C} \) \( \Longrightarrow{A\subset{(B\cup{C})}} \)}
[c)] {Verdadero, supongamos \( x\in{A} \)\( \Longrightarrow{x\in{B}} \),\( x\in{C} \)}\( \Longrightarrow{x\in{(B\cap{C})}} \)
[d)] {\( A\subset{B} \) o \( A\subset{C} \) \( \Longleftarrow{A\subset{(B\cap{C})}} \)}
[e)] {\( A-(A-B)\subset{B} \)}
[f)] {\( A-(B-A)\supset{(A-B)} \)}
[g)] {Verdadero, supongamos \( x\in{A\cap{(B-C)}} \)\( \Longrightarrow{x\notin{C}} \),\( x\in{A} \),\( x\in{B} \)\( \Longrightarrow{x\in{(A\cap{B})}} \),\( x\notin{(A\cap{C})} \). Ahora, supongamos \( x\in{A} \),\( x\in{B} \), y \( x\notin{C} \), \( \Longrightarrow{x\in{(A\cap{B})}} \),\( x\notin{(A\cap{C})} \)\( \Longrightarrow{x\in{A\cap{(B-C})}} \)}
[h)] {\( A\cup{(B-C)}\supset{(A\cup{B})-(A\cup{C})} \)}
[i)] {Verdadero por definición de unión y complemento}
[j)] {Verdadero por definición de subconjunto y producto cartesiano}
[k)] {Falso porque A o B pueden ser conjuntos vacíos}
[l)] {Verdadero por definición de subconjunto y producto cartesiano}
[m)] {\( (a,b)\cup{(c,d)}\subset{((A\cup{C}),(B\cup{D}))} \)}
[n)] {Verdadero por definición de intersección y producto cartesiano}
[o)] {Verdadero por definición de complemento y producto cartesiano}
[p)] {Verdadero por definición de complemento y producto cartesiano}
[q)] {\( (A\times{B})-(C\times{D})\supset{(A-C)-(B-D)}  \)}


Problema 7

{\( D=A\cap{(B\cup{C)}} \)}
{\( E=(A\cap{B})\cup{C} \)}
{\( F=(A-B)\cup(A\cap C) \)}

Problema 10

[10 a.]{Sí, el conjunto es el producto de los enteros con los reales}
[10 b.]{Sí, el conjunto es el producto de los reales con (0, 1]}
[10 c.]{No, el conjunto (x,y) siempre depende del valor de x, si fijamos x, o de y si fijamos y}
[10 d.]{Sí, el conjunto es el producto de (reales menos enteros) por los enteros}
[10 e.]{No, debido a que es un círculo abierto puede tener dos valores, por lo que no sería uno a uno}

15 Enero, 2010, 10:58 pm
Respuesta #26

argentinator

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Del ejercicio 2: los enunciados de (a), (b), (c), (d) están incorrectos.
Las inclusiones van para el otro lado, los conjuntos no son los correctos... así que cuidado.

Otra cosa: en el (c), obviando que está la inclusión al revés, la demostración está incompleta, porque lo que hay que probar es una "doble implicación" \( \Longleftrightarrow{} \).
O sea que se tiene que probar \( p\Rightarrow{ q} \) y \( q\Rightarrow{p} \), cuando se tiene algo como \( p\Longleftrightarrow{q} \).

El (g) está bastante bien, salvo que al final has puesto un par de implicaciones en orden invertido al correcto.

Se debe partir de \( {x\in{(A\cap{B})-(A\cap C)}}\Longrightarrow{} \).

En el (m) no sé qué has puesto.

El (k) no está claramente justificado. Si los dos conjuntos A, B son vacíos, todas las inclusiones se dan.
Hay que exhibir un ejemplo concreto donde valgan las inclusiones de la derecha, pero no valga alguna de las de la izquierda. Y exhibirlo claramente...

El 10 en general está bien, se entiende todo, pero los incisos (c) y (e) requieren una justificación un poco más detallada.

En los lugares que has puesto "Verdadero por definición de tal y tal" es muy sospechoso, porque las igualdades no salen tan directamente desde la definición de union, interseccion, etc.



Te resumo varias cosas:

* 1) Soy conciente del esfuerzo que estás haciendo para escribir las cosas en Latex. Es una ardua lucha, así que te lo agradezco.

* 2) Hay que tener cuidado de copiar bien los enunciados, porque si no uno demuestra cosas que no se piden, o que no son ciertas (ej. 2 incisos a, b, c, d).

* 3) No son tan importantes las "respuestas" como todo el "desarrollo". Hay pasos que no hay que saletearse, otros quizá sí.
En esto, depende de qué cosas dé uno por obvias, y desconozco qué tanta experiencia tienes con conjuntos. Así que puede que debas escribir más o menos cosas.
Pero los pasos que uno se saltea tienen que ser fáciles de rellenar para quien los lee.
Hay que fijarse bien.

* 4) Los contraejemplos deben exhibirse bien.

* 5) Las demostraciones de tipo "negacion de propiedades" como 10(c) y 10(e) requieren una demostración más detallada. Por suerte con números reales y funciones en el plano las cosas se entienden bien, pero aún así hay que demostrar dando algún detalle más...

Es claro que toda esta batería de ejercicios de conjuntos puede resultar pesado y rutinario.
Pero aún así hay que escribir las cosas con cuidado.

Uno puede elegir qué ejercicios hacer, y cuáles no.
Yo no les exijo que los hagan a todos.

Eso depende de cuán seguros se sientan ustedes con la teoría de conjuntos.

Pero aprovechemos para escribir las demostraciones con la mayor corrección y exactitud posibles.

Saludos,
y de nuevo gracias Morito por tu esfuerzo





16 Enero, 2010, 12:06 am
Respuesta #27

morito14

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Mmm, lo siento mucho. De hecho, los volví a checar y no entendía por qué estaba mal! Hasta que comparé los que pusiste en el post con los que tenía en mi libro, son diferentes. Para la otra seré más cuidadoso y veré si posteas los mismos o los cambias un poco.

16 Enero, 2010, 12:52 am
Respuesta #28

argentinator

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Bueno, tengo dos ediciones distintas, la 1era y la 2da.
Me confié de que en ambas los ejercicios estaban enunciados igual,
así que el error es mío,
porque anuncié que nos íbamos a basar en la 2da edición del libro.

Te pido disculpas Morito, ahora lo arreglo.


16 Enero, 2010, 01:13 am
Respuesta #29

Alejo

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Respecto al ejercicio 1.10
\(
c)\\

$$\{(x,y): y > x\}$$

Podria hacerse valer la cortadura?

$$\alpha = A|B : A\cup{B} = R, \;\;\;A\neq{\emptyset}\:\:\; y\;\;\; B\neq{\emptyset},\;\;\; x < y, \;\;\;x\in{A}, \;\;\;y \in{B}$$\\
Aunque asi existiria una cota para el dominio y la funcion estaria como algo mutiliada?

e)

Valdrian los subconjuntos A=\{-1,0,1\} B=\{0,1\} (pregunta)

Saludos

 \)

16 Enero, 2010, 02:07 am
Respuesta #30

argentinator

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¿Una cortadura en R?

Supongamos que hay una cortadura, con las propiedades que has especificado.
Ahora deseamos describir el semiplano \( \{x<y\} \) como el producto \( A\times B \).

Como has dicho que \( A, B \), son no vacíos, podemos tomar ciertos elementos, digamos \( a\in A,b\in B \).
Ahora te pregunto si el par ordenado \( \mathbb{(}b,b+1\mathbb{)} \), que obviamente es un punto de \( \{x<y\} \), acaso pertenece a \( A\times B \).
Si perteneciera, entonces tendría que cumplirse, por def. de prod. cartesiano, que \( b\in A,b+1\in B \). (arreglé una B que estaba mal  :o )
Luego, \( b\in B\cup A \).

Pero esto se contradice con el hecho de que \( A,B \), son disjuntos por ser \( A|B \) una cortadura.

La idea es fácil. El punto \( b \) es una cota superior de \( A \). O sea que desde \( b \) hacia la derecha, ningún punto puede ser de \( A \).
Pero aún a la derecha de \( b \) se pueden hallar puntos \( x \) que están "debajo" de la diagonal con ecuación \( x=y \).

El semiplano \( \{x<y\} \) está limitado por una recta en diagonal con ecuación \( y=x \).

Así que hay que seguir la idea de Morito en todo esto.



La demostración iría más o menos así.

Supongase que en verdad existen \( A,B \), subconjuntos \( \mathbb{R} \) tales que \( A\times B=\{(x,y)|x<y\} \).

Para que eso tenga sentido, \( A, B \), han de ser no vacíos.
Sea \( b\in B \).
Como \( b<b+1 \), resulta que \( (b,b+1)\in\{x<y\} \).
Como esto coincide con \( A\times B \) por hipótesis, escribimos \( (b,b+1)\in A\times B \).
Esto implica que \( b\in A,b+1\in B \).
Solo nos interesa lo que pasa con \( b \).

Hemos probado que, si \( b\in B \) entonces \( b\in A \).
Esto implica que \( B\subset A \).

Razonando de modo similar con \( a\in A \) y \( a-1<a \), obtendríamos la conclusión recíproca: \( A\subset B \).

Por lo tanto \( A=B \).
Sea ahora \( c\in A \), tenemos que \( c\in B \), y así \( (c,c)\in A\times B \).
Pero también tiene que cumplirse que \( c<c \), absurdo.

Esto muestra que no es posible expresar \( \{x<y\} \) como un producto \( A\times B \).

 

16 Enero, 2010, 02:20 am
Respuesta #31

argentinator

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Respecto al ejercicio 1.10
e)

Valdrian los subconjuntos A=\{-1,0,1\} B=\{0,1\} (pregunta)

Saludos

[/tex]

Creo que no estás entendiendo bien el enunciado.
El conjunto que describe la ecuación \( x^2+y^2<1 \) es un disco abierto con centro en el origen y radio 1.
Esto es por el teorema de pitagoras y la fórmula de la distancia en el plano.

Fijate en unos de los posts que puse en "Dictado del curso...", en el que explico con todo detalle la geometría del plano, y el tema de los discos abiertos a partir de la noción de distancia.



La idea general en este tipo de problemas es que el producto cartesiano de conjuntos cualesquiera de la recta real, da como resultado en el plano cosas de forma "cuadriculada", o sea, o bien da rectangulos, o bien ciertas uniones de rectángulos, dejando "vacias" las partes no consideradas.

Más concretamente, digamos esto: tomar un conjunto E del plano, proyectarlo en los ejes horizontal y vertical. Esas proyecciones son conjuntos A, B.
Si uno pregunta si E puede escribirse como producto cartesiano de un par de conjuntos, entonces los elementos de A y B tienen que estar en esos conjuntos.
Ahora bien, cuando hacemos el producto \( A\times B \) nos va a dar, en muchos casos, un conjunto del plano mayor que el E original.
Y entonces hay que fijarse cuáles son los elementos que sobran, y quedarse con al menos uno de ellos, para exhibirlo como contrajemplo.

En el caso del disco, sus proyecciones A, B, son los intervalos abiertos \( (-1,1) \) y \( (-1,1) \).
El producto \( A\times B=(-1,1)\times(-1,1) \) es un cuadrado sin sus bordes, pero no es un círculo.
Hay que ahora tomar un punto de ese cuadrado que no esté en el círculo.
Por ejemplo, el punto \( {\color{blue}(}0.9,0.9{\color{blue})} \) cumple con esa propiedad (verificarlo).

Ese punto sirve de contraejemplo.


17 Enero, 2010, 12:59 am
Respuesta #32

Alejo

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OK. Gracias por tu detallado razonamiento, que me viene muy bien para ir aclarando conceptos y ordenando ideas.


Saludos

17 Enero, 2010, 01:08 am
Respuesta #33

argentinator

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 :)

Bueno.

De todas maneras, siempre hay algo más detrás de las cosas que se discuten.
Por ahora parece un simple problema de productos cartesianos en el plano.

Pero inconvenientes más profundos y preguntas más interesantes provienen luego en el estudio de la continuidad o en las topologias producto, a partir de estas mismas vicisitudes de las "proyecciones".
Por eso también me tomé el tiempo de explicar lo más posible la idea geométrica.

Saludos.

17 Enero, 2010, 04:30 am
Respuesta #34

morito14

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Bueno, ahora tratando de hacer los ejercicios de la parte 2.2. La verdad que son ejercicios relativamente sencillos, pero me gustaría hacerlos bien con el fin de mejorar mi manera de escribir la mate (quiero ser más formal)  :banghead: .
 
a) Supongamos que \( x\in B_{0}\Rightarrow x\in B_{1} \). Dado que \( f^{-1} \) es suryectiva \( f^{-1}\left(x\right) \) existe y es elemento del codominio, dado que \( f^{-1} \) es inyectiva \( f^{-1}\left(x\right) \) es único. Por lo que \( f^{-1}\left(B_{0}\right)\subset f^{-1}\left(B_{1}\right) \).

Es esto suficiente?? Debo confesar que no quedé muy contento. Aunque la siguiente es peor.

b)Supongamos que \( x\in\left(B_{0}\cup B_{1}\right)\Rightarrow x\in B_{0}\: or\: x\in B_{1} \). Luego, si x es elemento sólo de uno de los conjuntos o pertenece a ambos la igualdad se cumple.

Entiendo que debería ser más formal en la última parte, pero no se me ocurre cómo. Sé que si x pertenece a B0, se cumple; si x pertenece a B1, se cumple; o si pertenece a la intersección de B0 con B1 también se cumple. ¿Hay alguna manera de formalizar esto?


17 Enero, 2010, 05:19 am
Respuesta #35

morito14

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Intentando hacer el 2.d se me ocurrió una idea que me sirve para el 2.b y 2.c. Ahora sí que quedaron muy lindos. Vean que hermosura

b)
Supongamos \( x\in f^{-1}\left(B_{0}\cup B_{1}\right)\Rightarrow f^{-1}\left(x\right)\in\left(B_{0}\cup B_{1}\right)\Rightarrow f^{-1}\left(x\right)\in\left(B_{0}\right)\: o\: f^{-1}\left(x\right)\in\left(B_{1}\right)\Rightarrow x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\: o\: x\in f^{-1}\left(B_{1}\right) \)

c)
Supongamos \( x\in f^{-1}\left(B_{0}\cap B_{1}\right)\Rightarrow f^{-1}\left(x\right)\in\left(B_{0}\cap B_{1}\right)\Rightarrow f^{-1}\left(x\right)\in\left(B_{0}\right)\: y\: f^{-1}\left(x\right)\in\left(B_{1}\right)\Rightarrow x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\: y\: x\in f^{-1}\left(B_{1}\right) \)

d)
Supongamos \( x\in f^{-1}\left(B_{0}-B_{1}\right)\Rightarrow f^{-1}\left(x\right)\in\left(B_{0}-B_{1}\right)\Rightarrow f^{-1}\left(x\right)\in\left(B_{0}\right),f^{-1}\left(x\right)\notin\left(B_{1}\right)\Rightarrow x\in f^{-1}\left(B_{0}\right),x\notin f^{-1}\left(B_{1}\right) \)

Espero que compartan que son unas lindas demostraciones (aunque reconozco que los ejercicios son bastante sencillos).

17 Enero, 2010, 05:28 am
Respuesta #36

argentinator

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(quiero ser más formal) 
 
a) Supongamos que \( x\in B_{0}\Rightarrow x\in B_{1} \). Dado que \( f^{-1} \) es suryectiva \( f^{-1}\left(x\right) \) existe y es elemento del codominio, dado que \( f^{-1} \) es inyectiva \( f^{-1}\left(x\right) \) es único. Por lo que \( f^{-1}\left(B_{0}\right)\subset f^{-1}\left(B_{1}\right) \).

Es esto suficiente?? Debo confesar que no quedé muy contento. Aunque la siguiente es peor.


Yo lo que veo es que suplantas cosas por su definición.
No es que eso esté mal... hay algunas cuestiones que son del gusto de cada uno.
Por ejemplo eso de que "Supongamos que \( x\in B_{0}\Rightarrow x\in B_{1} \)".
Es claramente equivalente a \( B_0\subset B_1 \).

¿Cuál conviene usar?

En la teoría ultraarchirobótica-inhumana-exacta-dificil de los lenguajes de primer orden, quizá no se usaría una notación como \( B_0\subset B_1 \), sino algo más preciso como \( x\in B_{0}\Rightarrow x\in B_{1} \).

Pero en el trabajo matemático cotidiano, uno define símbolos y abreviaturas, y también terminología, para hacer el trabajo más entendible.

Las abrevituras, definiciones, terminología, son traducibles en última instancia a simbilos frios de la lógica formal pura e intrincada... pero por ahora no conviene hacer eso, porque nadie va a entendernos.

Así que hagamos las cosas como se suelen hacer en el trabajo matemático cotidiano.
Uno "sabe" que puede ser más exacto, pero se "permite" el uso de definiciones y otras cosillas.

Ahora bien. Cuando uno define el simbolo de inclusión, "es para usarlo".
Así que, estéticamente, es más lindo empezar diciendo "supongamos \( B_0\subset B_1 \)...".

No sólo es más estético, sino que es más rápido y fácil de leer y entender.

Y la razón más importante para comenzar así es que... el ejercicio está enunciado así!!!

Uno debe partir desde el enunciado del ejercicio, y llegar a la conclusión que se pide.

Lo que sigue no le veo sentido.

Me parece que estás mezclando el ejercicio 1 con el ejercicio 2.
En el ejercicio 2 no se supone nada de que f sea suryectiva o inyectiva.

Se trata simplemente de propiedades de los conjuntos de preimágenes.
No requieren hipótesis alguna, salvo que f es una función...

17 Enero, 2010, 05:42 am
Respuesta #37

argentinator

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b)
Supongamos \( x\in f^{-1}\left(B_{0}\cup B_{1}\right)\Rightarrow f^{-1}\left(x\right)\in\left(B_{0}\cup B_{1}\right)\Rightarrow f^{-1}\left(x\right)\in\left(B_{0}\right)\: o\: f^{-1}\left(x\right)\in\left(B_{1}\right)\Rightarrow x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\: o\: x\in f^{-1}\left(B_{1}\right) \)

Está mal demostrado.

Estás suponiendo que x es un elemento de la preimagen de f, lo cual es correcto.
Pero eso implica que x es un elemento de A.
Inmediantamente en la implicación estás poniendo que la preimagen de x es un elemento de los "B"s.
No hay ninguna justificación para eso.

En primer lugar, ¿tiene sentido \( f^{-1}(x) \)? Ahí estás presuponiendo que x está en la "imagen" de \( f \), si no, no podrías tomarle la preimagen \( f^{-1} \)...
En segundo lugar, toda preimagen de \( f \) cae en A, no en los "B"s esos.

Primero tenés que tener bien claro lo que estás tratando de demostrar.
Armar bien la idea.
La exactitud formal es el último paso de todo el proceso.

La gracia no está solo en "meter implicaciones" sino embarrarse realmente en las ideas de las demostraciones.

Las pruebas no son difíciles, pero no son tan fáciles tampoco.
Tienen una vuelta de tuerca, que vas a tener que dar.

Lo que se hace es reemplazar una premisa por su definición, y después hacer inferencias lógicas concretas a partir de ahí.
Así que te vas a tener que topar con la \( f \) en alguna parte, aunque el enunciado sólo hable de \( f^{-1} \). Esa es la vuelta de tuerca necesaria.



No es importante que quede "hermoso", ni que quede "formal".

Lo más importante de todo es que lo que estás diciendo "sea verdad"!!!

Cada paso que escribas tiene que ser VERDADERO.
Cada expresión que escribas tiene que TENER SENTIDO (o sea, todos los objetos utilizados tienen que estar bien definidos, los términos puestos tienen que haberse ganado el derecho a estar donde los pongas).

Y después sí, vas a poder rellenar los huecos que faltan, formalizando mejor.




17 Enero, 2010, 06:08 am
Respuesta #38

morito14

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Tienes razón, hice un completo desmadre.

Creo que así va el b

Supongamos
\( x\in f^{-1}\left(B_{0}\cup B_{1}\right)\Rightarrow x\in A\: tal\: que\: f\left(x\right)\in\left(B_{0}\cup B_{1}\right)\Rightarrow f\left(x\right)\in\left(B_{0}\right)\: o\: f\left(x\right)\in\left(B_{1}\right), \)
por la definición de preimagen \( x\in f^{-1}\left(B_{0}\right)\: o\: x\in f^{-1}\left(B_{1}\right) \)

Cómo la ves ahora?

17 Enero, 2010, 08:21 am
Respuesta #39

morito14

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y ésta sería mi respuesta para el a)
a

Supongamos \( f\left(x\right)\in B_{0} \), por la definición de preimagen, \( \Rightarrow x\in f^{-1}\left(B_{0}\right) \). Dado que \( B_{0}\subset B_{1}\Rightarrow f\left(x\right)\in B_{1}\Rightarrow x\in f^{-1}\left(B_{1}\right) \)