Autor Tema: Consultas, comentarios y ejercitación de curso: Topología (Munkres)

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14 Febrero, 2010, 11:43 pm
Respuesta #120

argentinator

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14 Febrero, 2010, 11:48 pm
Respuesta #121

argentinator

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Ejercicio 16.5.

(a) Demuestre que si \( \mathcal{T}^{\prime}\supset{\mathcal{T}} \) y \( \mathcal{U}^{\prime}\supset{\mathcal{U}} \), entonces la topología producto sobre \( X'\times{Y'} \) es más fina que la topología producto sobre \( X\times{Y} \).

(b)¿Se cumple el recíproco de (a)? Explique su respuesta.


Resolviste la parte (a), y me pareció correcta.

La parte (b) estimo que es falsa, habrá que pensar un contraejemplo.
Si no te sale avisame, a ver si pienso un ejemplito.
Saludos

15 Febrero, 2010, 12:00 am
Respuesta #122

argentinator

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Para el ejercicio 16.2 se pueden encontrar ejemplos más sencillos, me parece.

Podríamos pensar en un espacio \( X = (0,1)\cup  (3,4) \).
Damos a \( X \) una topología de la siguiente manera:

Tomamos como base \( \mathcal{B} \) a la formada por los intervalos \( (a,b) \) tales que,
* O bien \( 0< a< b< 1 \)
* O bien \( 3< a< b< 4 \).

Habrá que comprobar que eso es una base (no dará la heredada de la estandar de la recta real).
La topologia generada la llamamos \( \tau  \).

Ahora formamos una nueva base \( \mathcal{B}' \) que consta de los mismos elementos de \( \mathcal{B} \), y además agregamos los intervalos de la forma

* \( [a,b) \) con \( 3< a< b< 4 \).

Fijate que sólo hemos cambiado un "pedazo" de la topología, la del segmente \( (3,4) \).
A la topología generada la llamamos \( \tau ' \)

Naturalmente que \( \tau ' \) es estrictamente más fina que \( \tau  \), porque por ejemplo \( [3.{}1,3.{}2) \) es abierto en \( \tau ' \) pero no en \( \tau  \).

He puesto esos dos pedazos (0,1) y (3,4) "despegados" a propósito, para poder hacer toda esta construcción.

Ahora consideramos el subconjunto \( Y = (0,1) \).
Las topologías de subespacio se generan con las bases que vienen de las intersecciones que muestra el Lema 1, sección 16, y se obtiene ahora que

\( \mathcal{B}_Y=\mathcal{B}'_Y \)

Así que las topologías de subespacio se hacen iguales.



15 Febrero, 2010, 12:28 am
Respuesta #123

enloalto

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Hola argentinator, gracias por las correcciones, está muy bonito como va el curso, estaba pensando,
¿y si creas un post solo con las respuestas de los ejercicios?, de tal manera que los que ya están resueltos y bien revisados se ponen ahi, si deseas yo te ayudo y los pongo en orden, desde el primer capítulo, sección por sección, un mensaje para una pregunta, y si tiene items, como (a), (b), etc, un mensaje para cada item.
Aparte del post Consultas, comentarios y ejercitación de los cursos, vendría un nuevo post que se llamaria "Soluciones de Ejercicios"
Mas o menos sería así:
Cursos del rincon> Solución de Ejercicios >Topología-Munkres>
y en este post también abrían 14 post cada uno con su capítulo
y a partir de ahi, los mensajes serían, por ejemplo en el capítulo I
Sección 1.1. Conceptos Fundamentales
Sección 1.2. Funciones.
etc.
O algo así. Sé que puede resultar un poco laborioso, pero no sé, talvez soy un poco exquisito, jejeje ;D ;D ;D
¿Qué opinas?
Llovizna queriendo ser lluvia de verano

15 Febrero, 2010, 12:50 am
Respuesta #124

argentinator

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Lo voy a ir pensando a medida que el curso avance más.
Todavía está todo en sus comienzos, y no me gusta "armar estructuras" de cosas que no se sabe a ciencia cierta como van a evolucionar.
Cuando esté todo más avanzado, y se vea mejor lo que se va gestando, se puede ver ahí la mejor solución.

Pero bueno, tendré en cuenta tus inquietudes.

Otra cosa: dejar ejercicios resueltos tiene el defecto de que la gente puede pensar que hay una sola manera de resolver o escribir una solución. Eso no es bueno.

Estaría bueno "coleccionar" soluciones de ejercicios ordenadamente, pero también estaría bueno que haya más de una solución a los ejercicios que así lo permiten.

Saludos

15 Febrero, 2010, 05:40 am
Respuesta #125

enloalto

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Las flechitas que te marqué azul indican que "no me gusta" esa flecha ahí.
Estás poniendo un signo de implicación para "rematar" toda una cadena de razonamientos.
La implicación es una operación lógica entre dos "operandos" consecutivos, que son proposiciones lógicas.
Pero la conclusión final de un razonamiento no es lo mismo.

Al terminar un razonamiento se debe usar la palabra entonces.

Ante cualquier duda al respecto, podrías repasar lo que puse en la teoría de la Sección 1, en el spoiler de las tablas de verdad. Allí explico la diferencia, e incluso uso una "flecha distinta" para indicar el "entonces".

Se suelen confundir los usos de "implica que" y "entonces", pero eso es por la forma en que el modus ponens se compenetra con la operación de implicación.
Hola argentinator, tienes mucha razón, ya lo corregí con rojo, si puedes lo ves. Me mal acostumbre en usar la flechita \( \Rightarrow{} \) para no escribir "entonces", olvidando que represanta una operación, lógica.

Talvez suene raro, pero en los botoncitos de fórmulas hay varias, a saber, \( \Rightarrow{} \) , \( \Longrightarrow{} \), \( \Leftarrow{} \) y \( \Longleftarrow{} \) , también
\( \Leftrightarrow{} \)\( \Longleftrightarrow{} \)
Hasta me da un poco de vergüenza preguntar ¿hay diferencias entre las flechas?  :-\ :-\

Gracias
Llovizna queriendo ser lluvia de verano

15 Febrero, 2010, 08:34 am
Respuesta #126

argentinator

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La diferencia está en el "tamaño", pero no creo que haya diferencia en el significado.
Sería muy confuso.

Yo las interpretaría todas igual.

Salvo claro que las dobles flechas significan "doble implicación".

Lo que debiera hacer uno es usar la palabra "entonces" en los razonamientos.
Y la flecha que yo usé en las notas de teoría es un invento mío, una flecha "de una sola linea horizontal y larga". Pero eso no es costumbre en los textos.
Mejor pues poner la palabra "entonces" en ese lugar.

Saludos

20 Febrero, 2010, 04:50 am
Respuesta #127

enloalto

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Ejercicio 13.8.
(a) Aplique el Lema 13.2 para ver que la colección numerable
\( \mathfrak{B}=\{(a,b)|a<b,\quad a,b\in\mathbb{Q}\} \)
es una base que genera la topología usual sobre \( \mathbb{R} \).
(b) Demuestre que la colección
\( \mathfrak{C}=\{[a,b)|a<b,\quad a,b\in\mathbb{Q}\}
 \)
es una base que genera una topología distinta de la topología del límite inferior sobre \( \mathbb{R} \).

Solución 13.8:
(b)
Dame una manito argentinator, ya??
Saludos.
(b)
Puesto que la topología generada por \( \mathfrak{C}=\{[a,b)|a<b,\quad a,b\in\mathbb{Q}\}
 \) es la misma que la generada por \( \mathfrak{B}=\{(a,b)|a<b,\quad a,b\in\mathbb{Q}\} \) y por (a) esta base genera la topología usual, entonces, la topología generada por \( \mathfrak{C} \) es la usual que es diferente de la topología del límite inferior
Llovizna queriendo ser lluvia de verano

20 Febrero, 2010, 06:20 am
Respuesta #128

enloalto

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Vayamos a los ejemplos.
  • Ejemplo 2. Consideramos el plano coordenado \( \mathbb{R}\times\mathbb{R} \) con el orden de diccionario:

    \( {\color{blue}(}a_1,a_2{\color{blue})} < {\color{blue}(}b_1,b_2{\color{blue})}\textsf{\ sii\ }a_1 < b_1 \) ó \( a_1=b_1, a_2 < b_2. \)

    Se deja como ejercicio comprobar que con esta relación de orden, el conjunto \( \mathbb{R}\times\mathbb{R} \) no tiene elementos que sean ni el primero (o sea un mínimo) ni el último (o sea un máximo).
Ya está probado en la respuesta 116.

Un intervalo abierto tiene ahora la forma:
\( ({\color{blue}(}a, b{\color{blue})}, {\color{blue}(}c, d{\color{blue})}) = \{{\color{blue}(}x, y{\color{blue})}|{\color{blue}(}a, b{\color{blue})} < {\color{blue}(}x, y{\color{blue})} < {\color{blue}(}c, d{\color{blue})}\} \)
Dejamos el ejercicio de "intentar" graficar ejemplos de estos intervalos.

Por la definición de la relación del orden del diccionario, existe dos posibilidades
i) a<c.
Aca no nos dan datos sobre b y d, puede suceder que b=d, b<d, b>d, la gráfica muestra el caso, b>d, las demás son análogas.
ii) a=c y b>d
Las gráficas son como muestra la figura adjunta.

Ya sabemos que la colección \( \mathcal{B} \) formada por todos estos intervalos abiertos respecto el orden lexicográfico en \( \mathbb{R}\times\mathbb{R} \) tienen que formar una base para una topología de \( \mathbb{R}\times\mathbb{R} \).
¿Alguna intuición de cómo son los conjuntos abiertos en esta topología?

Observemos el caso especial de los intervalos que tienen la primer coordenada fija, o sea, los de la forma:

\( ({\color{blue}(}a, b{\color{blue})}, {\color{blue}(}a, d{\color{blue})}) = \{{\color{blue}(}a, y{\color{blue})}|{\color{blue}(}a, b{\color{blue})} < {\color{blue}(}a, y{\color{blue})} < {\color{blue}(}a, d{\color{blue})}\} \)

Es un sencillo ejercicio verificar que la colección \( \mathcal{B} \) de este tipo de intervalos con una coordenada fija, también es una base para una topología de \( \mathbb{R}\times\mathbb{R} \).

Sea \( \mathcal{B}=\left\{{({\color{blue}(}a, b{\color{blue})}, {\color{blue}(}a, d{\color{blue})}) :a,b,d\in{\mathbb{R}}}\right\} \), la colección de los intervalos con una coordenada fija. Para probar que \( B \) es una base para una topología de \( \mathbb{R}\times\mathbb{R} \), debemos probar que:

1) Para cada \( (x,y)\in{\mathbb{R}\times\mathbb{R}} \), existe un elemento \( ({\color{blue}(}a, b{\color{blue})}, {\color{blue}(}a, d{\color{blue})})\in{\mathcal{B}} \), tal que
\( x\in{({\color{blue}(}a, b{\color{blue})}, {\color{blue}(}a, d{\color{blue})})} \).

2) Si \( (x,y)\in{({\color{blue}(}a_1, b_1{\color{blue})}, {\color{blue}(}a_1, d_1{\color{blue})})\cap{({\color{blue}(}a_2, b_2{\color{blue})}, {\color{blue}(}a_2, d_2{\color{blue})})}} \), entonces, existe un \( ({\color{blue}(}a_3, b_3{\color{blue})}, {\color{blue}(}a_3, d_3{\color{blue})})\in{\mathcal{B}} \), tal que
\( (x,y)\in{({\color{blue}(}a_3, b_3{\color{blue})}, {\color{blue}(}a_3, d_3{\color{blue})})\in{\mathcal{B}}}\subseteq{({\color{blue}(}a_1, b_1{\color{blue})}, {\color{blue}(}a_1, d_1{\color{blue})})\cap{({\color{blue}(}a_2, b_2{\color{blue})}, {\color{blue}(}a_2, d_2{\color{blue})})}} \)

En efecto.

1) Para cada \( (x,y)\in{\mathbb{R}\times\mathbb{R}} \), sabemos que \( x=x=x \), y \( \displaystyle\frac{y}{2}<y<2y \), entonces existe
\( ({\color{blue}(}x, \displaystyle\frac{y}{2}{\color{blue})}, {\color{blue}(}x, 2y{\color{blue})})\in{\mathcal{B}} \) tal que
\( (x,y)\in{({\color{blue}(}x, \displaystyle\frac{y}{2}{\color{blue})}, {\color{blue}(}x, 2y{\color{blue})}) \).

2) Si \( (x,y)\in{({\color{blue}(}a_1, b_1{\color{blue})}, {\color{blue}(}a_1, d_1{\color{blue})})\cap{({\color{blue}(}a_2, b_2{\color{blue})}, {\color{blue}(}a_2, d_2{\color{blue})})}} \), entonces
\( (x,y)\in{({\color{blue}(}a_1, b_1{\color{blue})}, {\color{blue}(}a_1, d_1{\color{blue})})} \) y
 Si \( (x,y)\in{({\color{blue}(}a_2, b_2{\color{blue})}, {\color{blue}(}a_2, d_2{\color{blue})})} \), de aquí,
\( x=a_1=a_2 \), \( b_1<y<d_1 \) y \( b_2<y<d_2 \), es decir
Sean \( a_3=x \), \( b_3=max\{b_1,b_2\} \), \( d_3=min\{d_1,d_2\} \), entonces
\( x=a_3 \) y \( b_3<y<d3 \), es decir, existe un \( ({\color{blue}(}a_3, b_3{\color{blue})}, {\color{blue}(}a_3, d_3{\color{blue})})\in{\mathcal{B}} \) tal que
\( (x,y)\in{({\color{blue}(}a_3, b_3{\color{blue})}, {\color{blue}(}a_3, d_3{\color{blue})})\in{\mathcal{B}}} \).

De (1) y (2), la colección de intervalos con una coordenada fija, forma una base para una topología de \( \mathbb{R}\times{\mathbb{R}} \).

Más aún esta topología es la misma que la topología del orden en \( \mathbb{R}\times{\mathbb{R}} \)
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Llovizna queriendo ser lluvia de verano

20 Febrero, 2010, 07:08 am
Respuesta #129

enloalto

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  • Ejemplo 3. Considérese el sistema de enteros positivos \( \mathbb{Z}_+ \) con el orden \( < \) usual. Consideremos aquí el comportamiento de la topología del orden. Dejamos como ejercicio los siguientes hechos:
    • Observar que \( \mathbb{Z}_+ \) tiene un elemento mínimo.
Es el 1.

Prestar atención entonces al tipo de intervalos que han de incluirse en la base de la topología del orden.
Entonces los elementos básicos son de la forma:
(1) \( (a,b) \) con \( a,b \) en \( \mathbb{Z}_+ \).
(2) \( [1,b) \) con \( b \) en \( \mathbb{Z}_+ \).

  • Demostrar que los subconjuntos de \( \mathbb{Z}_+ \) que tienen un solo punto, son abiertos (en la topología del orden).
Sea {n} un tal subconjunto.
1) Si n=1, y como 1<2, entonces {1}=[1,2), en efecto
Sea \( x\in{[1,2)} \), entonces \( 1\leq{x}<2 \), pero \( x\in{\mathbb{Z}_+} \), entonces x=1 y se tiene lo afirmado.

2) Si n>1, entonces como \( n-1<n<n+1 \) y \( n\in{\mathbb{Z}_+} \), entonces \( \{n\}=(n-1,n+1) \).

En ambos casos, {n} es un elemento básico, en particular es abierto.

  • Usar el hecho precedente para demostrar que la topología discreta coincide en este caso con la topología del orden.

Es claro que la topología del orden está contenida en la discreta, por ser ésta la topología más grande, probemos la otra inclusión.
 
Sea \( X\in{P(\mathbb{Z})_+} \), entonces \( X\subseteq{\mathbb{Z}_+} \), luego X se puede expresar como reunión de sus elementos.
\( X=\{x_1,x_2,....x_n,...\}=\bigcup_{n\in{\mathbb{Z}_+}}{\{x_n\}} \), es decir, X es la unión numerable de conjuntos unitarios de \( \mathbb{Z}_+ \), es decir, es unión numerable de elementos básicos de la topología del orden. Por tanto, X es un abierto en la topología del orden, de donde se sigue el resultado.
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