Me parece muy bueno que hayas mencionado los diádicos, pues los he visto en varios temas. Por eso(si es posible) quiero tratar de estudiarlos con detalle.
Hay otro ejemplo: considerar los intervalos de la forma
\( \left(\dfrac{m}{2^k},\dfrac{m+1}{2^k}\right) \), donde \( m,k \) son enteros cualesquiera.
He visto en algunos textos que piden que \( k\geq{0} \) y \( 0\leq{m\leq{2^k}} \)
Esta es la familia de intervalos diádicos, y claramente es una familia estrictamente más chica que la de los intervalos de extremos racionales.
Sea \( \left(\dfrac{m}{2^k},\dfrac{m+1}{2^k}\right) \), donde \( m,k \) son enteros cualesquiera, pero, tanto \( \displaystyle\frac{m}{2^k} \) y \( \displaystyle\frac{m+1}{2^k} \) son racionales, luego, \( \left(\dfrac{m}{2^k},\dfrac{m+1}{2^k}\right) \) es un elemento de la familia de intervalos abiertos con extremos racionales.
Aún así, forman una base para la topologia usual.
Sean \( a,b\in{\mathbb{R}} \), con \( a<b \), entonces \( 0<b-a \), entonces existe un entero, que lo denotaré por \( n_{ab} \), tal que
\( 0<\displaystyle\frac{1}{2^{n_{ab}}}<b-a \). Luego
Por otra parte, sabemos que
\( 2^{n_{ab}}a<[2^{n_{ab}}a]+1=[2^{n_{ab}}a+1]\leq{2^{n_{ab}}a+1} \), donde [] es la parte entera, luego
\( a=\displaystyle\frac{2^{n_{ab}}a}{2^{n_{ab}}}<\displaystyle\frac{[2^{n_{ab}}a+1]}{2^{n_{ab}}}\leq{\displaystyle\frac{2^{n_{ab}}a+1}{2^{n_{ab}}}}=a+\displaystyle\frac{1}{2^{n_{ab}}}<a+b-a=b \)
Luego, tenemos que existen enteros, \( n_{ab} \) y \( m_{ab}=[2^{n_{ab}}a+1] \) tales que \( a<\displaystyle\frac{m_{ab}}{2^{n_ab}}<b \).
Moraleja:
"entre dos números reales cualesquiera (racionales o irracionales) existe un número diádico"Deseo probar que la familia de los intervalos diádicos forma una base de la topología usual, por el
Lema 13.2, sea \( (a,b) \) un intervalo abierto, por probar que para cualquier \( x\in{(a,b)} \), existe un intervalo diádico, \( \left(\dfrac{m}{2^k},\dfrac{m+1}{2^k}\right) \), donde \( m,k \) son enteros cualesquiera, tal que \( x\in{\left(\dfrac{m}{2^k},\dfrac{m+1}{2^k}\right)}\subset{(a,b)} \).
Sea \( x\in{(a,b)} \), entonces \( a<x<b \), por la moraleja, existen enteros \( m_{ax},n_{ax},m_{xb},n_{xb} \) tales que
\( a<\displaystyle\frac{m_{ax}}{2^{n_{ax}}}<x<\displaystyle\frac{m_{xb}}{2^{n_{xb}}}<b \)
Pero aca tengo problemas, pues no sé cómo conseguir el intervalo diádico pedido.
Profe ayuda porfa!!!