Autor Tema: Consultas, comentarios y ejercitación del Curso: Teoría de Conjuntos 2011 - 2013

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17 Octubre, 2012, 01:32 am
Respuesta #130

Sidarta

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Hola, traté de hacer este ejercicio con funciones proposicionales, pero sólo gané dudas.

\(
F\subset{E}\Longleftrightarrow{E\cup{F}=E}
 \)


i) \( F\subset{E}\Rightarrow({E\cup{F}\subset{E})\wedge({E\subset{E\cup{F}}) \);
ii) \( E\cup{F}=E\Rightarrow{F\subset{E}}
 \)

i) \( F\subset{E}\Rightarrow({E\cup{F}\subset{E})\wedge({E\subset{E\cup{F}}) \)
1)\( F\subset{E}\Rightarrow({E\cup{F}\subset{E}) \)
2)\( F\subset{E}\Rightarrow({E\subset{E\cup{F}}) \)

1)\( F\subset{E}\Rightarrow({E\cup{F}\subset{E}) \)
Sea \( x\in E\cup{F} \). Por definición de unión de conjuntos \( x\in{E} \) ó \( x\in{F} \). Si \( x\in{E} \), entonces \( x\in{E} \) y por definición de inclusión de conjuntos \( E\subset{E} \). Si \( x\in{F} \), por hipótesis \( F\subset{E} \). Luego \( {E\cup{F}\subset{E} \).

2)\( F\subset{E}\Rightarrow({E\subset{E\cup{F}}) \)
Sea \(  F\subset{E} \), por definición de inclusión \( x\in{F} \) implica que \( x\in{E} \). Si  \( x\in{E} \), entonces \( x\in{E} \) ó \( x\in{F} \). Esto es, si \( x\in{E} \), entonces por definición de unión \( x\in{E\cup{F}} \) y por definición de inclusión \( E\subset{E\cup{F}} \).

ii) \( E\cup{F}=E\Rightarrow{F\subset{E}} \)

Sea \( x\in{F} \), entonces \( x\in{F} \) ó \( x\in{E} \) y por la unión de conjuntos \( x\in{F\cup{E}} \). Por lo tanto, si \( x\in{F} \), entonces \( x\in{F\cup{E}} \). Por definición de inclusión \( F\subset{F\cup{E}} \), y por la propiedad conmutativa de la unión de conjuntos \( F\subset{E\cup{F}} \) (a).
Por hipótesis \( E\cup{F}=E \) y por definición de doble inclusión de conjuntos \( (E\cup{F}\subset{E})\wedge (E\subset{E\cup{F}}) \). En particular \( E\cup{F}\subset{E} \) (b). Por la propiedad transitiva para (a) y (b), \( F\subset{E} \).

******
Si quiero utilizar funciones proposicionales, ¿puedo tomar estas? \( p(x)\equiv [x\in{F}\Rightarrow{x\in{E}}] \), \( q(x)\equiv [x\in{}E \vee{x\in{}F}] \);  \( r(x)\equiv [x\in{E}] \), \( s(x)\equiv [x\in{F}] \)
¿Hay algún número mínimo de funciones a tomar?

¿Lo que intento demostrar correspondería a esta fórmula \( p(x)\Leftrightarrow{(q(x)\equiv{}{r(x)})} \)?

Cuando intenté demostrarlo con las funciones me quedó algo así, no tengo idea de si al menos me aproximo a lo que debiera ser XD.

\( p(x)\Leftrightarrow{s(x)\Rightarrow{r(x)}}\Leftrightarrow{(s(x)\Rightarrow{r(x)})\vee s(x)}\Leftrightarrow{q(x)}\equiv{r(x)} \)

17 Octubre, 2012, 03:09 am
Respuesta #131

argentinator

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Hola Sidarta.

Yo lo que hago es escribir las deducciones según me parecen correctas, ya sea por experiencia o por intuición.
Y sólo después me fijo cuáles de los pasos no los he justificado bien,
y recién es ahí donde me pongo a hilar más fino utilizando funciones proposicionales.

Aún así, luego voy a mirar tu resolución para ver si puedo comentarte algo útil.

Saludos

17 Octubre, 2012, 05:15 am
Respuesta #132

Sidarta

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Aún así, luego voy a mirar tu resolución para ver si puedo comentarte algo útil.

Hola, te lo agradezco pero no creo que sea de ayuda. Ya me conseguiré mejor un libro de lógica o lo que haga falta-
Si estás de acuerdo prefiero traer algo de Munkres o lo que reste de ejercitación que hayas dejado.

Saludos.

17 Octubre, 2012, 06:07 am
Respuesta #133

argentinator

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19 Octubre, 2012, 11:51 pm
Respuesta #134

argentinator

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1)\( F\subset{E}\Rightarrow({E\cup{F}\subset{E}) \)
Sea \( x\in E\cup{F} \). Por definición de unión de conjuntos \( x\in{E} \) ó \( x\in{F} \). Si \( x\in{E} \), entonces \( x\in{E} \) y por definición de inclusión de conjuntos \( E\subset{E} \). Si \( x\in{F} \), por hipótesis \( F\subset{E} \). Luego \( {E\cup{F}\subset{E} \).



Está casi bien, pero me marean algunos de tus pasos.

Creo que la dificultad del ejercicio está en que es... demasiado fácil!!
Entonces cuesta expresarlo sin enredarse.

El comienzo es correcto: "Sea \( x\in E\cup F \)".
Eso es importante, haber empezado bien.
Lo que me parece que hiciste mal fue concluir resultados parciales intermedios como \( E\subset E \) o \( F\subset  E \).

Esos resultados son ciertos, pero no te llevan a la conclusión que estás buscando.

Reescribo tu prueba así:

Sea \( x\in E\cup{F} \).
Por definición de unión de conjuntos \( x\in{E} \) ó \( x\in{F} \).
Si \( x\in{E} \), entonces \( x\in{E} \) (punto aparte)[/tex].
Si \( x\in{F} \), como por hipótesis \( F\subset{E} \), resulta \( x\in E \).
Luego, en cualquier caso se obtuve que \( x\in E \).
Luego \( {E\cup{F}\subset{E} \).

__________

Tu prueba de (2) es correcta, pero fijate el hecho interesante de que no parece que sea necesario usar la hipótesis \( F\subset  E \) en ningún momento.
Es irrelevante, o superfluo.

Es importante aprender a reconocer cuáles de todas nuestras hipótesis fueron realmente necesarias en una demostración.

Y si una hipótesis no fue usada, preguntarse si nos faltó algo en la prueba,
o si realmente esa hipótesis era superflua.


____________

Consejos como el anterior que te dí son más importantes que lo que me preguntaste de las funciones proposicionales.

_____________

Tu prueba de (ii) tiene unos enredos en el medio que no me gustan.

Creo que tenés que limitarte a usar la hipótesis \( E\cup F =E \) en el momento que sea oportuno, y listo.
No hay que darle tantas vueltas a las cosas.

Te la recorto un poco:
 
Sea \( x\in{F} \), entonces \( x\in{F} \) ó \( x\in{E} \) y por la unión de conjuntos \( x\in{F\cup{E}} \). (.... saco todo lo que pusiste acá ...)
Por hipótesis \( E\cup{F}=E \) y
entonces \( x\in E \).

Por lo tanto \( F\subset E \).

_________________

Con funciones proposicionales, tendrías algo así para la parte (1) de (i):

\( p(x)\equiv [x\in{F}\Rightarrow{x\in{E}}] \), \( q(x)\equiv [x\in{}E \vee{x\in{}F}] \);  \( r(x)\equiv [x\in{E}] \).

Te queda lo siguiente:
\( \big(\forall x:p(x)\big)\Rightarrow \big(\forall x:q(x)\Rightarrow r(x)\big)\wedge\big(\forall x:r(x)\Rightarrow q(x)\big) \).

_________________
Citar
¿Hay algún número mínimo de funciones a tomar?



Vos podés usar funciones proposicionales tan pequeñas o tan extensas como quieras, y en la cantidad que quieras.
Lo importante es que estén correctamente formadas.

Con esto me refiero a que "efectivamente" una función proposicional como p(x) depende "efectivamente" de x.

Algo como \( \forall x:(x\in E) \) no es una función proposicional, porque el cuantificador \( \forall x \) afecta a la variable x, y se refiere a "todos los valores posibles de x a la vez", con lo cual, ya no es cierto que para cada x "eso" sea una proposición específica.

En cambio \( x\in E \) sí es función proposicional con la variable x, debido a que es posible sustituir la variable x con diversas "constantes" (o valores), y en cada caso se obtiene una proposición concreta distinta.


19 Octubre, 2012, 11:56 pm
Respuesta #135

argentinator

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Las pruebas que vos sabés hacer son de este tipo:

Tomar un elemento x en un conjunto A, y luego demostrar que ese x está en el conjunto B.

Eso en símbolos es así \( x\in A \Rightarrow x\in B \).

Según la regla lógica de generalización, una vez que vos probaste eso, podés agregar el cuantificador,
y escribir lo siguiente:

\( \forall x: (x\in A \Rightarrow x\in B). \)

Esto último recién es la definición de \( A\subset B \).

Por eso tus pruebas sirven, y están bien.
Pero tenés que tener en cuenta que cuando concluís algo como \( A\subset  B \),
en el interín estás haciendo esa "generalización" (o sea, agregando el cuantificador \( \forall \)).

Hay que confiar en eso, pues es una regla de deducción correcta.

En general, si probaste que, dado un x fijo, la proposición p(x) es cierta,
entonces es cierto esto otro: \( \forall x: p(x) \).


03 Febrero, 2013, 09:37 pm
Respuesta #136

vadenuevo

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Hola, me gustaria saber cuanto conocimiento previo sobre algebra demanda para poder llevar adelante este curso.
si me inscribo y no se lo sufuciente puedo consultar?
si es asi me inscrobo un saludo

04 Febrero, 2013, 12:20 am
Respuesta #137

argentinator

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Creería que no hacen faltas conocimientos de álgebra.

Aunque el libro en el que me estoy basando tiene una parte que es un "repaso" de cosas anteriores de álgebra y análisis,
esas partes se pueden evitar, o bien estudiamos directamente los ejercicios que aparecen de las correspondientes secciones de álgebra.

Los aspectos algebraicos se refieren sobretodo a propiedades de los números,
lo cual no hay problema en repasarlas.

Lo que sí hay bastante es sobre la propiedad de inducción de los números naturales.
Pero eso está explicado muy detalladamente.

Podrías tomar del curso lo que te sirva, y después vas viendo.

Un saludo

06 Febrero, 2013, 07:35 pm
Respuesta #138

vadenuevo

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vadenuevo, hola, no manejo para nada el tema foros asi que recien vi tu respuesta gracias.
pregunta estoy incripto entonces?

donde busco lo estas dando?
un saludo

06 Febrero, 2013, 08:07 pm
Respuesta #139

argentinator

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Sí, estás inscripto.

La información del curso está toda en el primer post de este hilo (tendrías que ir a la primer página de este hilo y buscar el primer mensaje).

Te pongo el enlace:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=48431.msg192209#msg192209

Hay 3 enlaces asociados al curso:

Este mismo, el de Organización,
el de Dictado,
el de Comentarios.

Las notas están en la parte de Dictado (o "Notas del Curso").
Basta hacer clic en los enlaces que aparecen ahí.

Saludos