Que problema interesante! Hilo de hace más de 16 años! Llegamos tarde.
Marina ha dicho que trata sobre "¿por qué no se pueden poner exámenes sorpresa?"
Por lo que entendí el profesor condiciona la ocurrencia del exámen a que los alumnos no puedan predecir con antelación el día del examen, hasta el preciso momento en que tienen el examen.
Creo que acá está la trampa: Aunque la deducción de los alumnos es aparentemente correcta siguiendo la lógica, pues en realidad está totalmente distorsionada.
No es que exista una paradoja en verdad, sino que hay una demostración del profesor de que realmente los alumnos no pueden predecir el día que sucederá dicho examen.
Entonces separaría:
\[
\begin{cases}
1) Exámen\\
2) Predicción\\
3) Sorpresa\\
\end{cases}
\]
Los alumnos, al recibir la noticia, tratan de demostrar al profesor "por qué no puede haber un examen sorpresa", aplican lógica y dicen, no puede ser el viernes, porque si terminado el jueves no hay exámen, entonces el exámen será el viernes, con lo que sabrían con anticipación qué día es el examen.
Siguiendo la misma lógica, lo aplican un día antes, y concluyen que no puede ser el jueves ni el viernes. Y lo mismo para el miércoles, y lo mismo para toda la semana. Y esto estando en la semana anterior, cuando reciben la información.
Los alumnos descartaron todos los días, por lo que consideran que su justificación es válida, y que no puede haber examen sorpresa.
Pero en el primer momento, cuando descartaron el viernes. Creyeron que el examen no puede ser el viernes, por lo tanto no pueden predecir que será el viernes. Entonces un examen el viernes, para los alumnos será sorpresa, porque ellos creían imposible que tuvieran un examen el viernes.
Aplicamos la misma lógica que siguieron los alumnos, y analizamos un día antes, entonces jueves y viernes sería sorpresa tener un examen. Lo mismo para el miércoles e igual para toda la semana. Con lo que nuevamente, como ellos creen que es imposible que les tomen un examen la semana que viene, cualquier examen sería sorpresa.
Entonces supongamos el peor caso, la primera deducción: llega el viernes y en determinado momento el profesor entrega a los alumnos los exámenes y estos reclaman. Entonces:
¿Sabían que hoy había exámen?
SIII!
y entonces
\[\boxed{\text{No hay examen}}\]
Pero en realidad
saber que hay examen significa
saber que no lo hay, por lo tanto,
no saben que hay examen.
y entonces
\[\boxed{\text{Si hay examen}}\]
Pero entonces, entramos en ese bucle.
Claramente hay una contradicción.
si saben, entonces no saben. Y si no saben, entonces saben.
Pero de todas maneras,
si se sorprenden, dan cuenta de que no sabían que iba a suceder, por lo que efectivamente fue un examen sorpresa que no pudieron predecir.
Los alumnos no tienen pruebas de saber que ocurriría el examen el viernes. La prueba de saber que hay un examen el viernes, es haber estudiado. Entonces continuemos la charla:
Si sabían que hoy había exámen, habrán estudiado, ¿verdad?
...
Por lo tanto, si hubieran predicho que el examen era el viernes, deben probarlo, y la única forma de ello, es pasando el examen.
Pero volviendo al razonamiento, el mero hecho de descartar el viernes como posibilidad, ya les impide predecir que habrá un examen ese día. Y justamente es eso lo que parece paradójico, pero no lo es. Entonces, como el razonamiento de los alumnos es que no puede haber un examen sorpresa a lo largo de toda la semana, pierden la capacidad de saber cuando será.
Y bueno, si los alumnos siguen reclamando:
¿Sabían que había examen?
SIII
Haganlo, y demuestren que sabían porque supongo que habrán estudiado para el examen que sabían que era hoy.
1) Examen: Tanto el profesor como los alumnos deben tener la certeza y asumir como verdad que hay un examen "la semana que viene".
2) Predicción: El profesor condiciona el examen a que ellos no puedan predecir cuándo será hasta que les entregue el examen. Y de hecho, ellos no pueden predecir el momento de ocurrencia del examen, puesto que llegado el jueves, asumieron que el viernes no habría examen, ya que si lo hubiera, ellos lo hubieran sabido antes de la ocurrencia y por lo tanto no habría examen.
3) Sorpresa: La sorpresa es la prueba para el profesor de que ellos no podían predecirlo. Los alumnos no tienen otra forma de probar que podían saberlo más que pasando el examen, demostrando así que estudiaron porque sabían que había examen. Por lo tanto, a una sorpresa no se le puede aplicar una prueba lógica.
De todas maneras. Si se da por cierto que habrá examen y se parte de esta premisa, el que no haya un examen invalida la cadena lógica que siguieron los alumnos. Por que su análisis parte del hecho que hay un examen la semana siguiente, y concluyen que no puede haberlo. Si no lo hay, su deducción está equivocada, por lo tanto si puede haberlo. Y aparece el bucle tramposo.
La pregunta no es si puede o no puede haberlo, la pregunta es ¿pueden predecir el día exacto? Y la respuesta es que
no pueden predecir que día será el examen, pues si pudieran entonces no sucedería y su predicción estaría mal.
En cuanto a si es sorpresa: Pues claro que será sorpresa, pues ellos ya dieron por cierto que no habría examen.
\[
\begin{cases}
1) \text{ El examen en el momento de la deducción es un hecho incierto, ya que está condicionado.}\\
2) \text{ Los alumnos no pudieron predecir el día del mismo.}\\
3) \text{ El profesor los agarró de sorpresa.}
\end{cases}
\]
La cuestión no es si el profesor puede o no puede hacer un
examen sorpresa, la cuestión es que los alumnos no pueden predecir cuando será, y digan lo que digan, no pueden demostrarlo. Y su razonamiento lógico parte de una premisa falsa, ya que dan por hecho que si el exámen sucede ellos lo sabrían, concluyendo que no puede suceder. Pero no puede suceder solo si es cierto que sucede.
