Permitidme que recapitule y añada algo sobre como creo que funcionan los exámenes sorpresa en la realidad.
El profesor dice solamente esto:
1. En alguno de los próximos n días habrá un examen.
2. Nunca podréis saber a partir de mis afirmaciones qué día será el examen.
La afirmación 2 es la que establece el carácter de 'sorpresa' del examen.
Supongamos que 2 no es una de las afirmaciones a las que 2 se refiere. Supongamos igualmente que el profesor dice la verdad y los alumnos lo saben (sin estas suposiciones la paradoja no echa a andar).
Si el examen no ha tenido lugar antes de la noche del día n-1, los alumnos podrán deducir de 1 que el examen será el día n. Entonces el profesor habrá mentido al decir 2. Tenemos una contradicción. Luego en esta situación el examen no puede ser el día n.
Sin embargo, parece que los alumnos no pueden hacer ese mismo razonamiento. Si lo hacen y descartan el día n como día del examen, entonces el examen podrá ser el día n; entonces ellos podrían saber esto a su vez y no descartar el día n. Entonces la noche del día n-1, si el examen no ha sido antes, sabrían que el examen sería el día n. Pero ellos podrían hacer este último razonamiento y… estamos donde al principio. Esta circularidad se debe a que los alumnos tienen que obtener saber acerca de la fecha del examen razonando sobre su mismo saber acerca de la noche del examen. Esto sugiere que deberíamos tratar el saber de los alumnos como jerarquizado en niveles.
Si asumimos que los alumnos pueden hacer en principio en cualquier momento cualquier razonamiento que alguna otra persona pueda hacer, tenemos una paradoja.
La paradoja se produce porque 2 intenta ir más allá de cualquier conocimiento que los alumnos puedan llegar a tener sobre el día del examen. Técnicamente decimos que 2 intenta ‘diagonalizar sobre’ (diagonalize out of) todo saber que los alumnos puedan tener sobre la fecha del examen.
La paradoja de Russell-Zermelo es similar: la definición del conjunto R como ‘el conjunto de todos los conjuntos que no se pertenecen a sí mismos’ va más allá de todos los conjuntos a los que se refiere; en efecto, R es diferente de cada uno de ellos ya que contiene a un conjunto concreto c si y sólo si c no se contiene a sí mismo. Si entendemos que esa definición se refiere absolutamente a todos los conjuntos, incluido R, tendremos que R se pertenece a sí mismo si y sólo si no lo hace. La solución está en ver que la definición no puede referirse a R mismo, y, por tanto, R es un conjunto nuevo, que está en un nivel lógico distinto del de todos los conjuntos a los que su definición se refiere. Por tanto, R no se refiere a todos los conjuntos sino sólo a todos los conjuntos hasta un cierto nivel lógico. Los conjuntos están jerarquizados en niveles lógicos que se extienden indefinidamente por los ordinales transfinitos.
En la teoría de modelos usual se exige que los cuantificadores cuantifiquen sobre una multiplicidad que sea un conjunto; multiplicidades que son clases propias no se admiten como universos de discurso. Como los ordinales no forman un conjunto, no es posible cuantificar sobre todos los niveles lógicos. Esto impide reproducir la paradoja definiendo R como ‘el conjunto de todos los conjuntos de cualquier nivel lógico que no se pertenecen a sí mismos’.
De modo semejante, los saberes están jerarquizados en niveles lógicos y ninguna proposición puede referirse a todos ellos a la vez. La paradoja se produce entonces si interpretamos que 2 se refiere a todos los posibles saberes de los alumnos en cualquier nivel lógico: eso es lo que obliga a los alumnos a razonar en círculo sobre sus propias conclusiones anteriores.
Sin embargo, este análisis no explica lo que sucede en la realidad. Creo que lo que funciona en la realidad es la naturaleza borrosa o vaga del concepto de ‘sorpresa’.
Supongamos que la afirmación 1 se refiere a los cinco días lectivos de lunes a viernes de la semana siguiente. Los alumnos saben que el profesor no desea que sepan la noche de antes con certeza que el examen será el día siguiente (en esto consiste usualmente que el examen sea sorpresa). Entonces pueden razonablemente deducir que es muy improbable que el examen sea el viernes porque casi con seguridad el profesor piensa que cualquier alumno sabría la noche del jueves que el examen sería al día siguiente. Los alumnos pueden asociar al viernes probabilidad, digamos, 0,05.
A continuación algunos alumnos especialmente listos pueden razonar que tampoco es probable que el examen que sea el jueves porque el profesor podría pensar que algunos alumnos podrían razonar la noche del miércoles que el examen, no pudiendo ser el viernes, tendrá que ser el jueves. Como no es seguro que todos los alumnos vayan a hacer este razonamiento, el profesor puede esperar sorprender a algunos si pone el examen el jueves. Y también puede ser que el profesor no sea capaz de un razonamiento tan complicado. Entonces estos alumnos más listos asignan al jueves una probabilidad baja pero mayor que la del viernes, digamos 0,1.
A continuación, asignan por el mismo procedimiento al miércoles una probabilidad de 0,2. Al martes y al lunes pueden seguramente asignarles la misma probabilidad, es decir, 0,325, o bien 0,3 al martes y 0,35 al lunes. O algo así.
En estas condiciones, lo más parecido a una certeza que los alumnos pueden llegar a tener sobre la fecha del examen es que es muy improbable que sea el viernes. Si son buenos alumnos, estudiarán cada noche.
Un saludo
