jajjaja bueno, igual admitamos que es una sorpresa bastante acotada, porque el profesor ya les está advirtiendo que va a haber tal examen y en qué lapso de tiempo. Como ya no va a ser una sorpresa en el sentido más amplio de la palabra, una forma de corregir el problema, si al profesor tanto le obsesiona la educación
panóptica, sería decirles "La semana que viene va a haber un examen. Yo no les voy a decir qué día, pero si ustedes lo llegaran a deducir, la verdad, me tiene sin cuidado". Pero eso es aburrido. Una forma mucho más interesante de corregirlo sería, cuando el alumno dice:
"El viernes no puede ser el examen porque llegaría el jueves, y si vemos que no hay examen, sabremos que es el viernes, y entonces ya no sería sorpresa. De los cuatro días que quedan (lunes, martes, miércoles y jueves), el jueves tampoco podría ser, simplemente por que llegaría el miércoles, y si no hay examen, sabemos que será el jueves. Lo mismo ocurre con el miércoles, con el martes, y con el lunes... ¡¡por eso no puede poner examen sorpresa y se verá obligado a decirnos la fecha!!"
responderle "y bueno, eso lo que nos dice en todo caso es que no puedo tomar un y sólo un examen sorpresa la semana que viene. Gracias a tu análisis, me veo obligado por lógica a tomar más de uno".
Pero con un razonamiento parecido, el alumno podría explicar que tampoco puede tomar 2 y sólo 2 examenes, 3 y sólo 3, 4 y sólo 4 ni 5 y sólo 5. Por ejemplo, les hago el caso 2 y sólo 2:
-Si el primer exámen fuera el jueves, el segundo ya no sería sorpresa ---> abs.
-Si el primer examen fuera el miércoles y el segundo el viernes, el segundo ya no sería sorpresa (porque hasta el jueves inculsive hubo uno solo)---> abs. Luego, el segundo no puede ser el viernes. Luego, el segundo debería ser el jueves. Pero entonces, el segundo ya no sería sorpresa ---> abs.
-Si el primer examen fuera el martes, y el segundo el vienes, el segundo ya no sería sorpresa (porque hasta el jueves inculsive hubo uno solo) ---> abs. Luego, el segundo no puede ser el viernes. Si el segundo fuera el jueves, ya no sería sorpresa (porque hasta el miércoles inculsive hubo uno solo, y el viernes no puede ser) ---> abs. Luego, el segundo debería ser el miércoles. Pero entonces, el segundo ya no sería sorpresa ---> abs.
-Si el primer examen fuera el lunes... (terminen)
Y esto no se acaba acá. Porque el profesor, incapaz de permitir que el alumno se quede con la última palabra, podría señalarle: "Te estás apartando del enunciado original. Yo en ningún momento dije que todos los examenes que se me antoje tomar la semana que viene vayan a ser sorpresa, sino al menos uno de ellos. Y eso me habilita a hacer lo que quiera. Salvo, claro, tomar un sólo examen, porque en ese caso todos los exámenes serían sorpresa".
Pero el alumno, irremediablemente obstinado, continua: "Lo que quiera, no. Fíjese:
- Si lunes, martes y miércoles no hay examen, como ya sabemos que no puede haber uno sólo, el jueves y viernes sabemos que habrá examenes, o sea que ninguno será sorpresa.
- Si lunes y martes no hay examen, por lo anterior, el miercoles necesariamente tiene que haber uno. Ese no es sorpresa. Si el jueves no hay examen, el viernes tendrá que haber uno, que tampoco será sorpresa. Entonces no habría ningún examen sorpresa, lo que es imposible. Por lo tanto, el jueves tiene que haber un examen, que no será sorpresa. Como hasta el jueves inclusive no hubo ningún examen sorpresa, el examen sorpresa tiene que ser el viernes. Pero entonces ya no es sorpresa, y no hubo ninguno en toda la semana.
- Si el lunes no hay examen, por lo anterior, el martes tiene que haber examen, que ya no es sorpresa. Si miércoles y jueves no hay, no va a haber posible examen sorpresa. Luego, si miércoles
no hay, jueves hay, y no es sorpresa, y no hay posible examen sorpresa. Luego, miercoles hay. (termínenlo)
- Si el lunes hay examen (termínenlo)...
O sea que de todas formas, no puede haber un examen sorpresa".
El alumno cree haber ganado. Pero el profesor pregunta:
"¿O sea que sólo es sorpresa si lo tomo al mismo instante de anunciarlo?... Como quieras... Saquen una hoja, ¿dale? Ahí va el enunciado, hagámoslo simple que ya con tanta discusión se nos fue media clase: Sea \( \sigma \) una curva cerrada simple en el plano. Demuestre que \( \sigma \) divide al plano en dos componentes conexas disjuntas que tienen a la curva como frontera común."
CONCLUSIÓN: Lo que nos dice esta paradoja, es que las sorpresas no se pueden restringir de esta manera. La afirmación "va a ocurrir un evento al que vos no hayas tenido manera de predecir hasta el momento que ocurrió" es incompatible con la restricción "dicho evento va a ocurrir en alguno de los instantes futuros \( t_1,t_2,\ldots,t_n \)".
