Una paradoja fascinante. Lo que se esconde detrás es, según creo, el transfinito de Cantor, aunque no se vea a simple vista.
Yo expondría el problema así:
1. Definición: un examen es sorpresa si y sólo si los alumnos no pueden saber con antelación cuándo va a tener lugar.
2. Asumimos como premisa que el profesor hará todo lo que pueda para cumplir su promesa y que los alumnos lo saben.
3. NO ES CIERTO QUE el jueves por la noche, si el examen no ha ocurrido aún, los alumnos puedan saber que el examen sorpresa será al día siguiente: por la definición de examen sorpresa es imposible saber que un examen sorpresa será mañana. Esto invalida ya el razonamiento usual en la presentación de la paradoja. Pero la cosa no acaba ahí.
4. Llegados al jueves por la noche, si el examen no ha tenido lugar todavía, los alumnos se enfrentan al siguiente bicondicional BC: 'el examen será mañana si y sólo si nosotros no podemos saber que será mañana'.
5. A partir de BC los alumnos pueden deducir una contradicción:
a) No podemos saber que el examen será mañana, porque si pudiéramos saberlo, no sería mañana y entonces podríamos saber una falsedad, lo que es imposible.
b) Luego el examen será mañana, por BC.
c) Podemos saber que el examen será mañana, porque hemos deducido b); contradicción con a).
6. Esta situación (y otras como la de la paradoja de Fitch) sugiere que hay una circularidad en la misma definición de examen sorpresa; observando que los alumnos se ven obligados a razonar sobre sus propios razonamientos, podemos proponer una jerarquización del saber en tipos; hay un saber-0 que no se basa en ningún saber previo de tipo inferior, un saber-1, que se basa en un saber-0, ..., un saber-n, ..., un saber-omega, ...
7. Redefinimos examen sorpresa así: un examen es sorpresa si y sólo si los alumnos no pueden saber-0 con antelación cuándo será el examen.
8. En la situación descrita arriba para el jueves por la noche, los alumnos se enfrentarán a este bicondicional BC*: 'el examen será mañana si y sólo si no podemos saber-0 que el examen será mañana'.
9. Los alumnos deducirán, como arriba en a), que no pueden saber-0 que el examen será al día siguiente; y entonces (aplicando BC*) sabrán-1 que lo será.
Resuelto. Igual para cualquier definición de examen sorpresa para un saber-alfa particular, siendo alfa un ordinal.
La pregunta ahora es ésta: ¿qué pasa si reformulamos la paradoja estipulando que un examen es sorpresa si y sólo si, para todo ordinal alfa, los alumnos no pueden saber-alfa con antelación cuándo será el examen?
¿Qué deben deducir ahora los alumnos el jueves por la noche?
