Autor Tema: Inferencia estadística

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28 Noviembre, 2009, 03:39 pm
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aesede

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Hola.

Un biólogo desea verificar los resultados obtenidos por otro científico que indican que la longitud del ala de los insectos tiene en promedio 13,4mm.
a) Formular las hipótesis correspondientes
b) Para verificar tal afirmación, toma una muestra de 40 insectos con la intención de aceptar la hipótesis si la longitud promedio de las alas varían en promedio entre 13,2mm y 13,6mm. De lo contrario la rechazará. Grafique las zonas de aceptación y de rechazo.
c) Analizaremos ahora la posibilidad de que el verdadero valor sea \( \mu=13,6mm \). Superponga el gráfico correspondiente al valor verdadero con el gráfico anterior y calcule la probabilidad de rechazar la hipótesis anterior.


Tengo algunas dudas, agradecería si alguien me da una mano.

a) Planteo la hipótesis nula y la alternativa.

\( H_0) \mu = 13,6mm \)
\( H_A) \mu \neq 13,6mm \)

b) Si \( n \geq 40 \) la distribución (por el teorema central del límite) ya se aproxima bastante bien a una normal. Los datos que tenemos son: \( n=40 \); \( L_i = 13,2mm \) y \( L_s=13,6mm \). Según el enunciado, acepto \( H_0 \) si \( \bar{X} \in [13,2;13,6] \).



  • La zona de aceptación es \( x \in [13,2;13,4] \)
  • La zona de rechazo es \( x \in (-\infty;13,2) \cup{} (13,4;\infty) \)

Mi dudas acá son:
* la variable de la gráfica de la distribución normal, es \( \color{red} \bar{X} \) (media muestral)?
* al conocer \( \color{red} L_i \) y \( \color{red} L_s \), conozco también indirectamente el desvío muestral \( \color{red} \hat{S} = 0,2 \)


3) Ahora conocemos el desvío poblacional: \( \sigma = 0,8 \)

Tengo que calcular la probabilidad de rechazar la hipótesis nula. Como \( n=40 \) la variable \( \bar{X} \) se ajusta a una distribución normal de media cero y desvio uno, así que, estandarizando la variable tengo:

\( z = \displaystyle\frac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} = \displaystyle\frac{\bar{x} - 13,4}{0,8 / \sqrt{40}} \sim N(0,1) \)

y la gráfica quedaría:



Ahora bien, marqué como límites -0,2 y 0,2 (desvío muestral). Están bien, o debería haber marcado -0,8 y 0,8 (desvío poblacional)?

Busco la probabilidad:

\( Pr(13,2 \leq \bar{X} \leq 13,6) = 1 - \alpha \)

\( Pr(-0,2 \leq z \leq 0,2) = 1 - \alpha \)

\( Pr(-0,2 \leq  \displaystyle\frac{\bar{x} - 13,4}{0,8 / \sqrt{40}} \leq 0,2) = 1 - \alpha \)

\( Pr(13,4 - 0,2 \cdot 0,8 / \sqrt{40} \leq \bar{x} \leq 13,4 + 0,2 \cdot 0,8 / \sqrt{40}) = 1 - \alpha \)

\( Pr(-0,0253 \leq \bar{x} \leq 0,0253) = 1 - \alpha \)

Llegando prácticamente a lo que tenía antes ???

Si busco en la tabla de la distribución normal, tengo:

\( \displaystyle\frac{ 1 - \alpha}{2} = Pr(\bar{x} \leq 0,0253) = F(0,0253) = 0,0080 \)

obteniendo un grado de significación del \( \alpha = 0,984 \) y un nivel de confianza bajísimo del \( 1-\alpha = 0,016 \).

Me pueden marcar mis errores?

Gracias de antemano, saludos.