[Maxi232]

Hola!
Tengo un ejercicio que me piden calcular el area de una circunferencia de radio R usando integrales dobles, pero sin coordenadas polares. Necesitaria que me den una pista de como plantearlo

Gracias!

[aesede]

Hola.

La función cuya gráfica es una semicircunferencia (en coordenadas rectangulares una circunferencia completa es una relación no funcional) es \( y = \sqrt{r^2 - x^2} \).

El dominio de integración es:

\( 0 \leq x \leq r \) y \( 0 \leq y \leq \sqrt{r^2 - x^2} \)

Ahora planteás la integral:

\( \displaystyle\frac{1}{2} A = \displaystyle\int_{x=0}^{x=r} \displaystyle\int_{y=0}^{y=\sqrt{r^2 - x^2}} dy dx = \displaystyle\int_{x=0}^{x=r} \sqrt{r^2 - x^2} dx \)

Esta integral figura en las tablas y es:

\( \displaystyle\frac{1}{2} A = \displaystyle\int_{x=0}^{x=r} \sqrt{r^2 - x^2} dx = \displaystyle\frac{1}{2} (r^2 \cdot arcsen(\displaystyle\frac{x}{r}) + x \sqrt{r^2-x^2})  |_0^r \)

Valorizando en los límites de integración (Barrow) tenemos el resultado de mitad área, sin usar coordenadas polares. El área completa viene dada por A (el doble de la integral que calculamos).

Saludos

[Maxi232]

Ahh gracias, habia llegado a eso pero como no sabia resolver la integral pense que lo habia hecho mal.
Saludos!

[aladan]

Hola

Si me permitís un pequeño matiz, el cálculo que plantea aesede es

                \( \displaystyle\frac{1}{4}A \)

con este dominio de integración

\( 0 \leq x \leq r \)   y \( 0 \leq y \leq \sqrt{r^2 - x^2} \)

Por otra parte la integral

\( \displaystyle\frac{1}{4} A = \displaystyle\int_{x=0}^{x=r} \sqrt{r^2 - x^2} dx  \)


puedes resolverla haciendo el cambio

\( x=r\sen t\Rightarrow{dx=r\cos tdt} \)

Con el siguiente cambio de  los límites

\( x=0\Rightarrow{t=0} \)  y \( x=r\Rightarrow{t=\displaystyle\frac{\pi}{2}} \)

nos lleva a

\( \displaystyle\frac{1}{4}A=\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}r^2\cos^2 tdt=r^2\displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\displaystyle\frac{1+\cos 2t}{2}dt=r^2\left[\displaystyle\frac{t}{2}+\displaystyle\frac{\sen 2t}{4}\right]^{\pi/2}_0=\displaystyle\frac{\pi r^2}{4} \)

Saludos

[aesede]

Hola

Si me permitís un pequeño matiz, el cálculo que plantea aesede es

                \( \displaystyle\frac{1}{4}A \)

con este dominio de integración

\( 0 \leq x \leq r \)   y \( 0 \leq y \leq \sqrt{r^2 - x^2} \)

Hola aladan. Tenés toda la razón.

Mitad área sería integrando desde 0 hasta 2r.

Gracias

Saludos.

[aladan]

Hola aladan. Tenés toda la razón.

Mitad área sería integrando desde 0 hasta 2r.

Gracias

Saludos.

¡OJO!, con esa ecuación de la circunferencia

                                   \( x^2+y^2=r^2 \)

para tener \( \displaystyle\frac{1}{2}A \) integrariamos en el intervalo \( [-r,r] \)

Saludos

[aesede]

Aladan, resolví la integral integrando en el intervalo \( [0,2r] \) y evidentemente tenés razón otra vez

Podrías explicarme?

No veo por qué se tiene que integrar en el intervalo \( [-r,r] \) y no se puede integrar en \( [0,2r] \).

Gracias de nuevo.

[aesede]

Entiendo. Qué tonto!

Es porque se trata de la función \( x^2+y^2=r^2 \) y NO de \( (x-r)^2+y^2=r^2 \).

La función \( x^2+y^2=r^2 \) no está definida para valores de \( x \in (r,2r] \).

Saludos aladan

[Jabato]

Hay otra forma de hacerla, supuesta la circunferencia centrada en el origen y de radio R:

\( S=\displaystyle\iint_{C}^{}da=\displaystyle\iint_{C}^{}dxdy=\displaystyle\int_{-R}^{R}dx\displaystyle\int_{-\sqrt[ ]{R^2-x^2}}^{\sqrt[ ]{R^2-x^2}}dy=2\displaystyle\int_{-R}^{R}\sqrt[ ]{R^2-x^2}dx \)

que con el cambio de variable \( x=Rt \) se convierte en:

\( {S=\displaystyle\iint_{C}^{}da=\displaystyle\iint_{C}^{}dxdy=\displaystyle\int_{-R}^{R}dx\displaystyle\int_{-\sqrt[ ]{R^2-x^2}}^{\sqrt[ ]{R^2-x^2}}dy=2\displaystyle\int_{-R}^{R}\sqrt[ ]{R^2-x^2}dx=2R^2\displaystyle\int_{-1}^{1}\sqrt[ ]{1-t^2}dt=4R^2\displaystyle\int_{0}^{1}\sqrt[ ]{1-t^2}dt=4R^2\displaystyle\frac{\pi}{4}=\pi R^2} \)

Saludos, Jabato.