ZFC MK MK 
NBG
las clases de la MK son exactamente los mismos objetos que los conjuntos de la ZF
Esto no es correcto, y quizá sea la fuente de las confusiones.
No se trata de dos teorías distintas que dicen "lo mismo" con un lenguaje diferente.
Sino que en cierto modo ZFC es una "subteoría" estrictamente contenida en MK.
Ahora explico la cuestión.
La historia empieza con ZFC.
Supongo que estaremos de acuerdo que todos los axiomas de ZFC son necesarios, ya sea que figuren como axiomas o como teoremas. Son reglas que necesitamos para la matemática.
Así que cualquier otra teoría debe incluir a ZFC de alguna manera, o ser identica.
En ZFC la primitiva es "conjunto".
Pero
supongamos que les llamamos simplemente
"objetos".
Puede definirse la noción de "clase propia" como aquel "objeto" x que no pertenece a ningun otro "objeto" de la teoría.
También definimos "conjunto" como aquel objeto x que pertenece a algún otro "objeto".
Ahora bien. Se puede probar fácilmente que dado
cualquier objeto \( x \), existe un conjunto \( z \) tal que \( x\in z \).
El camino de probar esto es algo rebuscado, pero sencillo.
Primero, se usa el
axioma del PAR, que dice que para un par de "objetos" de ZFC, existe el "objeto" z que contiene a ambos, y sólo a ellos.
Entonces tomamos \( u = x \), \( v = x \), y formamos el par \( z=\{u,v\}=\{x,x\}=\{x\} \).
El
axioma del PAR nos dice que z efectivamente
EXISTE, como "objeto" de la teoría.
A su vez, se tiene que
x pertenece a z, luego, existe un "objeto" al cual \( x \) pertenece.
Conclusión: \( x \) es un "
conjunto".
Otra conclusión que obtenemos es esta: ningún "objeto" de ZFC es una "clase propia", porque hemos demostrado que para cada \( x \) que consideremos, \( x \) es un conjunto.
Así que en
ZFC, la
definición de clase propia puede darse, pero es superflua, porque
no existen clases propias.
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Qué pasa en MK con la clase universal.Vayamos por partes...
La distinción entre
conjuntos y
clases propias en MK está para evitar paradojas.
Pero las paradojas surgen cuando a una clase demasiado "grande" se le permite ser a su vez ser
elemento de alguna otra clase.
Esa es la idea general.Entonces, con gran sutileza e ingenio, los lógicos hicieron una
incisión muy fina en la piel de la teoría de conjuntos, y dictaminarion que una
clase,
para evitar paradojas, basta pedirle que
no pertenezca a otra clase.
He ahí la única diferencia que se pide, por definición, a los
conjuntos y a las
clases propias.
Pero, ¿existen
clases propias en MK?
Si te fijas en el libro de Ivorra (capitulo 8 en adelante), básicamente lo que uno puede hacer es partir de ZFC y reescribir los axiomas para MK, aunque ahora distinguiendo entre
conjuntos y
clases.
Así que te propongo un ejercicio: tomar ZFC, agregarle todos los axiomas de MK,
EXCEPTO el de
formación de clases.
Lo que se obtiene es un sistema axiomático que es tan potente como ZFC, y puede construir y probar todo lo de MK que no utilice el
axioma de Formación de Clases.
Aunque haya una distinción previa entre
clases y
conjuntos, ¿existe de verdad alguna
clase propia en esa teoría?
Si uno mira con cuidado los axiomas, se da cuenta que en realidad no se ha agregado nada.
Este nuevo sistema (sin Axioma de Formación de Clases) no agrega nuevos "objetos" a la teoría.
Entonces la clave está en el
Axioma de Formación de Clases.
Al agregar este Axioma, obtenemos MK, y ahora es que aparecen "objetos" que antes no estaban en la teoría, o no podían definirse, o lo que sea.
Uno de esos "objetos" es el siguiente:
\( u = \{x: x=x\} \)
El "objeto" \( u \) es una "clase", y es la famosa
"clase universal".
Si se supone que \( u \) es un "conjunto", entonces se llega a una
contradicción, usando los argumentos de Russell.
De esto se "deduce" que \( u \) es una "clase propia".
Pero esto
no es una paradoja. La "clase universal" \( u \) es un "objeto" de la teoría MK.
Esto muestra que la teoría MK habla de los "objetos" que ya estaban en ZFC (los "conjuntos"), y
además de otros objetos distintos (las "clases propias").
Si no se distinguiera entre "conjuntos" y "clases propias", o sea, si todos los "objetos" tuviesen las "mismas reglas de juego" en la lista de Axiomas, entonces
sí se obtendría la paradoja de Russell.
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Acá conviene observar algunas cosas.
Fijate en cómo se han enunciado los Axiomas de MK.
Se ha hecho la convención previa de que al escribir una fórmula \( \exists{x}(...) \), donde la letra \( x \) es minúscula, lo que significa es que se tiene una abreviatura, y que en realidad debe leerse lo siguiente:
\( \exists{X}(X\hbox{ es conjunto, y además se cumple...}) \).
Mientras no existían "clases propias" esa distinción era "superflua".
Cuando dejamos entrar al baile gente como la "clase universal", es ahí que la lista de Axiomas de MK y ZFC "automáticamente" difieren en su sentido.
Resulta que en cada Axioma de MK se está haciendo explícitamente todo el tiempo la restricción a "conjuntos".
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Se puede dar el sistema MK como si fuera la lista de Axiomas de ZFC, aunque distinguiendo siempre a las variables en minúsculas como "conjuntos", pensando en que "quizá" surja alguna "clase propia".
Demos todos los axiomas de ZFC, agregando esa distinción, EXCEPTO el
Axioma de Especificación.
Si ahora agregamos dicho Axioma, se obtiene, justamente una lista de Axiomas como los de ZFC, que distinguen entre conjuntos y clases. Pero luego, como no hay clases propias, resulta que la distinción es superflua, y en suma se obtiene ZFC.
Supongamos ahora que no hemos puesto el
Axioma de Especificación.
En su lugar agregamos el Axioma de Formación de Clases tal como está en la lista de MK.
Lo que se obtiene es MK.
(Acá me autocorrijo. Se puede probar que el Axioma de Especificación se deduce del Axioma de Reemplazo, así que habría que quitar ese Axioma también para tener una distinción más clara de lo que está ocurriendo).--------------------------------------
Otra cuestión crucial es que "hay que mirar con cuidado los Axiomas", y tratar de imaginarse cómo "funcionan" una vez que se los pone en acción al demostrar teoremas, o construir clases y conjuntos.
Para dar una somera idea de este tipo de cosas, es que en el Axioma de Formación de Clases apliqué directamente el Axioma para construir ciertas "clases" de MK.
La gracia está en que esas clases existen como "clases", pero no se sabe si son o no son "conjuntos".
Sin embargo, aunque esto por un "rato" no se sabe, lo bueno es que se pueden definir clases cualesquiera.
En MK, "toda fórmula lógica induce una clase". Hay una correspondencia uno-a-uno entre las fórmulas de la metateoría (que tiene cuantificadores, disyunciones, conjunciones, negaciones, implicaciones), y muchos "objetos" de la teoría.
En ZFC este jueguito de conectar fórmulas con "objetos" lo lleva a cabo el Axioma de Especificación.
En MK es el Axioma de Formación de clases.
Como este últimmo permite que haya "más fórmulas" representadas por "objetos" de la teoría, es natural que haya más "objetos" en MK.
En ZFC no toda fórmula tiene asociado un "objeto" de la teoría, pero en MK sí.
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Ahora bien. He dicho que sólo es básicamente uno de los axiomas el que hace la diferencia entre una teoría y otra.
Especificación versus Formación de Clases.(En relación a una autocorrección que hice antes, la confrontación sería mejor dicho, algo así: Especificación + Reemplazoversus Formación de Clases + Reemplazo.)
Pero a primera vista parece que MK es más "compacto".
El hecho es que hay cierta "redundancia" en loa Axiomas gracias a que el Axioma de Formación de Clases permite definir o demostrar como Teorema la existencia de muchas clases, que antes había que dar con más trabajo a mano.
Por ejemplo, la clase vacía existe por Formación de Clases, y no habría que dar un Axioma para él, porque su "existencia" ya queda probada.
Este tipo de cosas simplifica la exposición de la teoría de conjuntos, y es más coherente con el modo de trabajar de los matemáticos, y es por eso que resulta preferible en la práctica cotidiana.
Sin embargo, ¿es la clase vacía un conjunto o una clase propia?
El Axioma de Formación de clases no es suficiente para responder esa pregunta.
Así que todavía no hemos alcanzado a decir lo que ya nos decía
ZFC sobre el vacío.
Nos está faltando un "pedacito" del
Axioma del vacio, pues sabemos que existe como "
clase" (objeto de
MK), pero aún falta decir que es un "
conjunto".
Lo mismo pasa con otras clases definibles por
Axioma de Formación de Clases.
Sencillamente, esos "pedacitos" que faltan se agregan como
Axiomas.
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Espero que esto te ayude a ver mejor donde está la dificultad o las diferencias específicas entre las dos teorías.
Hay que embarrarse en los
Axiomas, el capitulo 8 de Ivorra, o al menos
(incluso mejor) empezar con el pequeño apunte de Ivorra cuyo enlace puse también por ahí.
Yo sé que esto puede abrumar un poco.
Lo sé porque lo he sufrido.
Y para empezar este thread tuve que luchar arduamente.
Pero es el camino.
Fijate que yo hablo alegremente de ciertas clases, fórmulas, y todo eso.
Pero todo eso tiene una forma bien precisa con la que hay que tratar de familirizarse.
O sea, acostumbrarse a la escritura de fórmulas en lenguaje de primer orden.
En algún momento espero escribir sobre ello, a fin de allanar un poco el camino.
Por ahora he puesto sólo los Axiomas, sin prestar demasiada atención al formulerío rudo que hay de trasfondo, y al que se ha de recurrir en última instancia.
En todo caso, mirando un poco la teoría, no sé si se va a comprender todo, pero te podés hacer una idea de que ciertas "verdades" de la teoría de conjuntos que uno considera básicas, en realidad hay que "construirlas", luego "demostrarlas", y finalmente tener cierta certeza de "coherencia".
