Autor Tema: Ecuación diofántica lineal: ax+by=c

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22 Noviembre, 2014, 06:50 pm
Respuesta #10

Luis Fuentes

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Hola

Buenas, lo que no entiendo es cómo calcular los números x' y y' que dices. Por ejemplo, en la ecuación 7x-5a=1.
El primer paso es hallar el mcd (7,5) que es igual a 1; y como 1 es múltiplo de 1 pues la ecuación tiene soluciones enteras.
Ahora bien, para calcular la solución particular ¿cómo lo hago?
Me lo he leído todo pero no logro entender cómo hallar esta solución particular.

Muchas gracias.

P.S. Si no recuerdo mal, había un método para calcularla que se basa en realizar una caja pero el problema es que tampoco me acuerdo de cómo se hacía :-\

Tienes que usar el algortimo extendido de Eculides. Lo tienes (con ejemplos) descrito aquí:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,26742.0.html

Saludos.

22 Noviembre, 2014, 08:31 pm
Respuesta #11

numerosprimos

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Muchas gracias, ya lo he entendido.
Saludos.

05 Enero, 2015, 12:34 pm
Respuesta #12

minette

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Hola

Según el_manco la ecuación \( ax+by=c \) tiene la solución particular siguiente cuando
\( a \) , \( b \) son coprimos:

\( x_0=cx' \) ; \( y_0=cy' \)

sustituyendo

\( acx'+bcy'=c \)

\( ax'+by'=1 \)

esto es imposible salvo que \( x' \) o \( y' \) sean uno positivo y otro negativo.

Y también es necesario que \( a \), \( b \) no sean ambos pares. Lo cual se cumple al ser coprimos.

¿Estáis de acuerdo?

Saludos.

05 Enero, 2015, 12:58 pm
Respuesta #13

Luis Fuentes

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Hola

Según el_manco la ecuación \( ax+by=c \) tiene la solución particular siguiente cuando
\( a \) , \( b \) son coprimos:

\( x_0=cx' \) ; \( y_0=cy' \)

sustituyendo

\( acx'+bcy'=c \)

\( ax'+by'=1 \)

esto es imposible salvo que \( x' \) o \( y' \) sean uno positivo y otro negativo.

Y también es necesario que \( a \), \( b \) no sean ambos pares. Lo cual se cumple al ser coprimos.

¿Estáis de acuerdo?

Si. Aunque no sé si quieres llegar a algún sitio con esa observación.

Saludos.

P.D. Pones "según el_manco"; aclaro que aunque el post es mío, lo que he escrito es la teoría sobre ecuaciones diofánticas lineales que viene en todos los libros que tratan el tema.

05 Enero, 2015, 05:34 pm
Respuesta #14

minette

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Hola

Gracias el_manco.

Esta puntualización mía la puedo poner en Rincón Matemático y no en cualquier libro sobre las ecuaciones diofánticas.

Rincón Matemático, y para sus foristas, lo considero mejor a cualquier libro sobre el asunto. Además hace posible el diálogo.

Pienso que mi observación no es inútil. Y me ayuda a formarme en el tema.

Ahora otra observación.

La solución general que incluyes es

\( x=x_0+Kb \) ; \( x=cx'+Kb \)
\( y=y_0-Ka \) ; \( y=cy'-Ka \)

También para \( a \), \( b \) coprimos.

Mi pregunta ahora es si la solución general también se puede expresar así:

\( x=cx'-Kb \)
\( y=cy'+Ka \)

Y es equivalente a la anterior.

Saludos.

07 Enero, 2015, 10:08 am
Respuesta #15

Luis Fuentes

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Hola

La solución general que incluyes es

\( x=x_0+Kb \) ; \( x=cx'+Kb \)
\( y=y_0-Ka \) ; \( y=cy'-Ka \)

También para \( a \), \( b \) coprimos.

Mi pregunta ahora es si la solución general también se puede expresar así:

\( x=cx'-Kb \)
\( y=cy'+Ka \)

Y es equivalente a la anterior.

Si.

Saludos.

16 Diciembre, 2020, 10:09 pm
Respuesta #16

dycm

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Una programación en GAP sería, en sentido totalmente numérico, es

gap> ecuadiofan:=function(a,b,c)
> local mcm, res, num, resul;
> mcm:=Gcd(a,b);
> res:=RemInt(c,mcm);
> num:=c/mcm;
> resul:=num*GcdRepresentation(a,b);
> if res=0 then return resul;
> else Print("No es posible operar");
> fi;
> end;;

#Ejemplo: Una solución entera de 3200x+1536y=256 es
gap> ecuadiofan(3200,1536,256);
[ 2, -4 ]
Es decir: 3200(2) + 1536(-4) = 256