Autor Tema: Aritmética de módulos y aplicación a criterios de divisibilidad

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31 Julio, 2011, 05:46 am
Respuesta #30

argentinator

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No entiendo lo que has intentado hacer.

Estás partiendo de suponer que \( (m-c_0)/10 - 2c_0 \) es múltiplo de 7,
y de ahí querrías probar que m es múltiplo de 7.

¿Y entonces?

30 Junio, 2017, 11:10 am
Respuesta #31

Ignacio Larrosa

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Sección 4. Criterios de Divisibilidad

Divisibilidad por 11

Aquí tenemos \( \alpha=0 \) para la fórmula (*), y que \( 10\equiv_{11} 10 \), \( 100\equiv_{11} 1 \), y luego estos restos se repiten cíclicamente.

\( m\equiv_{11} \sum_{\beta=0}^\infty \sum_{j=0}^1 c_{2\beta+j}r_j, \)

donde \( r_0=1, r_1=10 \).

Esto demuestra que  \( m \) es divisible por 11 si y sólo si la suma de sus cifras pares más 10 veces la suma de sus cifras impares \( m \) es múltiplo de 11.
Este criterio puede simplificarse un poco usando números negativos.
En efecto, observemos que \( 10\equiv_{11}{-1} \). En ese caso, podemos tomar \( r_1=-1 \) en la fórmula anterior, y obtenemos el conocido criterio que dice que \( m \) es múltiplo de 11 si y sólo si lo es la suma de sus cifras pares menos la suma de sus cifras impares.

Esto mismo se puede aplicar para la divisibilidad por \( b + 1\textrm{ en base }b \):

\( m\equiv_{b+1} \sum_{\beta=0}^\infty (-1)^{\beta} c_{\beta} \)

Para nuestra aritmética habitual en base \( 10 \) esto es interesante cuando \( b = 10^k,\; k\geq{}1 \). Par \( k = 1 \) es el conocido criterio de divisibilidad por \( 11 \).

Para \( k = 2 \) tenemos un criterio de divisibilidad por \( 101\textrm{ en base }100 \), que traducido a base \( 10 \) queda en sumar y restar alternativamente las cifras del número agrupadas de dos en dos, de derecha a izquierda.

Más interesante es el caso \( k = 3 \), pues \( 1001 = 7\cdot{}11\cdot{}13 \). Para saber si un número es divisible por \( 7, 11\textrm{ o }13, \) basta agrupar sus cifras de tres en tres a partir de las unidades y sumar y restar estos grupos alternativamente. Si el resultado es divisible por \( 7, 11\textrm{ o }13, \) el número de partida también lo será. Puede pensarse que no es muy práctico, pero en ocasiones si que lo es, como por ejemplo para los años:

¿Cuál es el resto de dividir \( 2017\textrm{ entre }7, 11\textrm{ y }13 \)?  Como

\( 2017\equiv_{1001}-2 + 017 = 15 \)

los restos de dividirlo por \( 7, 11,\textrm{ y }13 \) son respectivamente \( 1, 4\textrm{ y }2 \), y no es múltiplo de ninguno de ellos.

En cambio,

\( 2093\equiv_{1001}-2 + 093 = 91 = 7\cdot{}13 \)

por lo que \( 2093 \) es múltiplo de \( 7\textrm{ y }13 \), aunque no de \( 11 \). Quizás le resulte de utilidad a alguno en unas olimpíadas matemáticas del año \( 2093 \) ...

Saludos,
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)