Hola a todos.
Estaba dando clase de cálculo enseñando el tema de tasas de cambio relacionadas . Haciendo cálculos me encontré con algo que no me hace mucho sentido físico a ver qué opinan.
El problema que estaba resolviendo es el siguiente:
Tenemos una escalera de longitud 2m recargada en una pared. Si la base de la escalera por el suelo es tirada a una velocidad de 1m/s ¿a qué velocidad cae la punta de la escalera?
Es un clásico problema de razones de cambio relacionadas.
El problema se puede modelar suponiendo que la pared es el eje \( y \) y el suelo es el eje \( x \) y que la escalera está pues en el primer cuadrante. Si decimos que la base de la escalera se encuentra en el punto \( x(t) \) en el tiempo \( t \) y la punta de la escalera se encuentra a altura \( y(t) \) en el tiempo \( t \) (Tenemnos que \( x(0) = 0 \) y \( y(0)=2 \)).
Mis variables \( x \) y \( y \) están relacionadas por la ecuación \( x^2+y^2=2^2 \) así que diferenciando respecto a \( t \) tenemos:
\( x\frac{dx}{dt}+y\frac{dy}{dt}=0 \) y substituyendo \( dx/dt=1 \) encontramos que
\( dy/dt= -\frac{x}{y} \) para todo tiempo \( t\in (0,2) \)
Hasta aquí todo bien. Pero cuando nos preguntamos, a qué velocidad cayó la punta de la escalera, o bien cuál es la velocidad con la que la punta de la escalera toco el piso, tenemos que calcular:
\( \lim_{t\to2^+}-\frac{x(t)}{y(t)} = \lim_{x\to 2^+}-\frac{x}{y}= -\infty \)
Y eso es lo que me hace ruido. Eso quiere decir que en algún tiempo antes de que la punta de la escalera esté en el suelo, la velocidad con la que esta punta baja es tan grande como queramos, en particular debería de existir algún momento antes de los 2 segundos en la que la punta de la escalera está bajando a velocidad más alta que la de la luz
¿Es esto posible?
